Groupes de symétrie en physique

Jean Zinn-Justin

Description

Le XXe siècle a été témoin de l’importance croissante en physique de la notion de symétrie et donc de groupe de symétrie. En particulier, les groupes de symétrie ont joué un rôle essentiel dans la compréhension des lois fondamentales de la nature, dans la construction du modèle standard des particules élémentaires et dans la théorie des transitions de phase.Dans une première partie, le livre donne une introduction générale à la théorie des groupes, à la foisélémentaire et mathématiquement rigoureuse. Il décrit en détail un certain nombre de groupes parmi les plus utilisés en physique, comme le groupe des rotations SO(3) ou les groupes du modèle standard SU(N). Il passe ensuite en revue quelques applications importantes comme les lois de conservation résultant de symétries (théorème de Noether) ou les brisures de symétrie, discrètes ou continues, dans la théorie des transitions de phase.Bien que de nombreux ouvrages traitent de la théorie des groupes, ce livre présente le sujet dans lecontexte le plus récent. Issu de cours variés et de notes personnelles, il s’adresse aux étudiants de master, aux doctorants, aux chercheurs et aux enseignants.

Table des matières

1 Quelques réflexions sur le rôle des symétries en physique . . . . . . 1

2 La notion de groupe. Définition et propriétés . . . . . . . . . . . 5

2.1Groupes discrets. Groupes finis . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.2 Groupes abéliens discrets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.3 Groupe symétrique ou des permutations . . . . . . . . . . . . . 11

2.4 Transformations linéaires du réseau cubique général . . . . . . . . 12

Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

3 Groupes abéliens : translations, dilatations et groupe U(1) . . . . . 17

3.1 Translations sur la droite réelle et dilatations . . . . . . . . . . 17

3.2 Groupe U(1). Représentations . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

4 Groupes de matrice et algèbres : généralités . . . . . . . . . . . . 23

4.1 Algèbres et groupe de matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

4.2 Isomorphismes généraux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

4.3 Déterminants et représentations . . . . . . . . . . . . . . . . 25

4.4 Norme de matrices et exponentiation . . . . . . . . . . . . . . 26

4.5 Transformations linéaires et matrices . . . . . . . . . . . . . . 27

4.6Tenseurs. Produit tensoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

4.7 Représentations réductibles et irréductibles . . . . . . . . . . . 30

5 Groupes de Lie : rotations et réflexions du plan . . . . . . . . . . 31

5.1 Les groupes O(2) et SO(2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

5.2 Le groupe SO(2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

5.3 Représentations : formes bilinéaires et tenseurs . . . . . . . . . . 35

5.4 Décomposition en représentations irréductibles . . . . . . . . . . 37

5.5 Représentations des groupes U(1) et SO(2) . . . . . . . . . . . 40

5.6 Représentation complexe de O(2) . . . . . . . . . . . . . . . . 41

5.7 Mécanique quantique et représentations de dimension infinie . . . . 42

Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

6 Algèbres et groupes de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

6.1 Définition et propriétés générales . . . . . . . . . . . . . . . . 45

6.2 Groupe et algèbre de Lie : représentation adjointe . . . . . . . . 48

6.3 Matrices complexes 2 × 2, matrices de Pauli et algèbre de Lie . . . 50

Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

7 Un groupe de Lie : le groupe orthogonal O(3) . . . . . . . . . . . 55

7.1 Groupe SO(3) et algèbre de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . 56

7.2 Représentation adjointe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

7.3 Les représentations matricielles de SO(3) . . . . . . . . . . . . 60

7.4 Mécanique classique et tenseurs : le tenseur d’inertie . . . . . . . 62

7.5 Espace de fonctions et représentations . . . . . . . . . . . . . . 63

8 Les groupes unitaires U(2) et SU(2) . . . . . . . . . . . . . . . 65

8.1 Groupe SU(2) et matrices de Pauli . . . . . . . . . . . . . . . 66

8.2 Représentation adjointe de SU(2) et groupe SO(3) . . . . . . . . 68

8.3 Algèbre de Lie de SU(2) : représentations irréductibles . . . . . . 70

8.4 Les groupes SU(2) × SU(2) et SO(4) . . . . . . . . . . . . . . 73

8.5 Les groupes SO(3) et SU(2) et la mécanique quantique . . . . . . 75

9 Groupes de Lie plus généraux, les groupes O(N) et U(N) . . . . . . 77

9.1 Groupes matriciels et algèbres de Lie . . . . . . . . . . . . . . 77

9.2 Le groupe O(N) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

9.3 Algèbre de Lie du groupe SO(N) : construction explicite . . . . . 81

9.4 Un exemple : l’algèbre de Lie du groupe SO(4) . . . . . . . . . 83

9.5 Groupes unitaires U(N) et SU(N) . . . . . . . . . . . . . . . 85

9.6 Groupes U(N) et O(2N) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

9.7 Algèbre de Lie de SU(N) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

9.8 Représentations de SU(N) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

9.9 Un exemple : le groupe SU(3) . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

9.10 Représentations irréductibles du groupe SU(3) . . . . . . . . . 94

10 Algèbres de Lie et opérateurs différentiels . . . . . . . . . . . . 97

10.1 Le groupe SO(N) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

10.2 Le groupe SU(N) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

11 Groupe linéaire général GL(N,R) . . . . . . . . . . . . . . . 107

11.1 Produit tensoriel et tenseurs . . . . . . . . . . . . . . . . 108

11.2 Groupe symétrique et tenseurs : réduction des représentations . 111

12 Symétries en physique classique . . . . . . . . . . . . . . . . 115

12.1 Les équations du mouvement en mécanique lagrangienne . . . . 115

12.2 Mécanique hamiltonienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

12.3 Transformations canoniques. Crochets de Poisson . . . . . . . 117

12.4 Symétries et lois de conservation . . . . . . . . . . . . . . 119

12.5 Théorie classique des champs. Théorème de Noether . . . . . . 122

13 Symétries en physique quantique . . . . . . . . . . . . . . . 125

13.1 Rappels minimaux de mécanique quantique . . . . . . . . . . 125

13.2 Opérateurs de position et d’impulsion . . . . . . . . . . . . 127

14 Marche au hasard : symétries émergentes . . . . . . . . . . . 133

14.1 Symétrie cubique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

15 Brisure spontanée de symétrie . . . . . . . . . . . . . . . . 141

15.1 Mécanique classique : symétries discrètes et continues . . . . . 141

15.2 Théorie des champs, symétries continues et modes de Goldstone . 143

Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

16 Transitions de phase : approximation de champ moyen . . . . . 149

16.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

16.2 ´Energie libre et potentiel thermodynamique . . . . . . . . . . 151

16.3 Transformation de Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . 152

16.4 Approximation de champ moyen . . . . . . . . . . . . . . 154

16.5 Symétrie Z2 et propriétés universelles . . . . . . . . . . . . 155

16.6 Spins `a N composantes : groupes O(N) et cubique . . . . . . 157

16.7 Fonctions de corrélation spin–spin . . . . . . . . . . . . . . 161

16.8 Existence de transitions de phase en basse dimension . . . . . 163

Appendices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

A1 Groupes de Lie : remarque et autre application . . . . . . . . 167

A1.1 Algèbre de Lie : une identité utile et ses implications . . . . . 167

A1.2 Solide rigide classique libre . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

A1.3 Oscillateur harmonique quantique et algèbre de Lie . . . . . . 171

A2 Relativité Restreinte et groupes . . . . . . . . . . . . . . . 175

A2.1 Groupe relativiste généralisé O(1,N) : définition et algèbre de Lie 175

A2.2 Les groupes O(1,N) pour N = 1 et N =2 . . . . . . . . . . 176

A2.3 Le groupe physique O(1,3) ou groupe de Lorentz . . . . . . . 178

A2.4 Matrices γ de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179

Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183

Informations

• Publié par: EDP Sciences
• Date de parution: 25 août 2022
• Nombre de lectures: 3
• EAN13: 9782759827657
• Langue: Français
• Poids de l'ouvrage: 1 Mo

Extrait

PHYSIQUESAVOIRS ACTUELS
GROUPES DE SYMÉTRIE
EN PHYSIQUE
BRISURE SPONTANÉE
ET TRANSITIONS DE PHASE
V(ф)
Im(ф)
Re(ф)
JEAN ZINN-JUSTINPHYSIQUE
GROUPES DE SYMÉTRIE EN PHYSIQUE
BRISURE SPONTANÉE ET TRANSITIONS DE PHASE JEAN ZINN-JUSTIN
eLe XX siècle a été témoin de l’importance croissante en physique de la notion de symétrie et donc de
groupe de symétrie. En particulier, les groupes de symétrie ont joué un rôle essentiel dans la compréhension
des lois fondamentales de la nature, dans la construction du modèle standard des particules élémentaires
et dans la théorie des transitions de phase.
Dans une première partie, le livre donne une introduction générale à la théorie des groupes, à la fois
élémentaire et mathématiquement rigoureuse. Il décrit en détail un certain nombre de groupes parmi les
plus utilisés en physique, comme le groupe des rotations SO(3) ou les groupes du modèle standard SU(N).
Il passe ensuite en revue quelques applications importantes comme les lois de conservation résultant de
symétries (théorème de Noether) ou les brisures de symétrie, discrètes ou continues, dans la théorie des
transitions de phase.
Bien que de nombreux ouvrages traitent de la théorie des groupes, ce livre présente le sujet dans le
contexte le plus récent. Issu de cours variés et de notes personnelles, il s’adresse aux étudiants de master,
aux doctorants, aux chercheurs et aux enseignants.
Jean Zinn-Justin, membre de l’Académie des sciences, est spécialiste de la théorie quantique
des champs en physique des particules. Il est conseiller scientifique au Commissariat à l’énergie
atomique et aux énergies alternatives (CEA).
Série Physique dirigée par Michèle LEDUC et Michel LE BELLAC
SAVOIRS ACTUELS
Collection dirigée par Michèle LEDUC
www.edpsciences.org
www.cnrseditions.fr
Création graphique : Béatrice Couëdel
Ces ouvrages, écrits par des chercheurs, reflètent des
enseignements dispensés dans le cadre de la formation à la
recherche. Ils s’adressent donc aux étudiants avancés, aux
9 782759 827640 chercheurs désireux de perfectionner leurs connaissances ainsi
qu’à tout lecteur passionné par la science contemporaine.ISBN EDP Sciences 978-2-7598-2764-0
ISBN CNRS ÉDITIONS 978-2-271-14459-1Jean Zinn-Justin
Groupes de symétrie
en physique
Brisure spontanée et transitions de phaseDans la même collection
Symétries continues
Franck Laloë
Plasmas créés par laser – Généralités et applications choisies
Patrick Mora
Physique de la turbulence – Des tourbillons aux ondes
Sébastien Galtier
Le temps dans la géolocalisation par satellites
Pierre Spagnou et Sébastien Trilles
Physique quantique, information et calcul – Des concepts aux applications
Pascal Degiovanni, Natacha Portier, Clément Cabart, Alexandre Feller et
Benjamin Roussel
Théorie statistique des champs – Tomes 1 et 2
François David
Mécanique quantique – Tomes I, II et III
Claude Cohen–Tannoudji, Bernard Diu et Franck Laloë
Retrouvez tous nos ouvrages et nos collections sur
http ://laboutique.edpsciences.fr
Imprimé en France
c 2022, EDP Sciences, 17, avenue du Hoggar, BP 112, Parc d’activités de
Courtabœuf, 91944 Les Ulis Cedex A
et
CNRS Éditions, 15, rue Malebranche, 75005 Paris.
Tous droits de traduction, d’adaptation et de reproduction par tous procédés
réservés pour tous pays. Toute reproduction ou représentation intégrale
ou partielle, par quelque procédé que ce soit, des pages publiées dans le
présent ouvrage, faite sans l’autorisation de l’éditeur est illicite et
constitue une contrefaçon. Seules sont autorisées, d’une part, les
reproductions strictement réservées à l’usage privé du copiste et non destinées
à une utilisation collective, et d’autre part, les courtes citations
justifiées par le caractère scientifique ou d’information de l’œuvre dans laquelle
elles sont incorporées (art. L. 122-4, L. 122-5 et L. 335-2 du Code de la
propriété intellectuelle). Des photocopies payantes peuvent être réalisées avec
l’accord de l’éditeur. S’adresser au : Centre français d’exploitation du droit de
copie, 3, rue Hautefeuille, 75006 Paris. Tél. : [phone].
EDP Sciences,
ISBN (papier) : 978-2-7598-2764-0, ISBN (ebook) : 978-2-7598-2765-7
CNRS Éditions,
ISBN (papier) : 978-2-271-14459-1, ISBN (ebook) : 978-2-271-14461-4Table des mati`eres
1 Quelques r´eflexions sur le rˆole des sym´etriesenphysique ...... 1
2 La notion de groupe. D´efinition et propri´et´es ........... 5
2.1Groupesdiscrets.Groupesfinis ................ 9
2.2 Groupes ab´eliens discrets . ..................10
2.3e sym´etrique ou des permutations .............11
2.4 Transformations lin´eaires du r´eseau cubique g´en´eral ........12
Exercices ............................14
3 Groupes ab´eliens : translations, dilatations et groupe U(1) .....17
3.1 Translations sur la droite r´eelle et ..........17
3.2 Groupe U(1). Repr´esentations .................19
4 Groupes de matrice et alg`ebres : g´en´eralit´es ............23
4.1 Alg`ebres et groupe de matrices23
4.2 Isomorphismes g´en´eraux ....................24
4.3 D´eterminants et repr´esentations ................25
4.4 Norme de matrices et exponentiation ..............26
4.5 Transformations lin´eaires et matrices27
4.6Tenseurs.Produittensoriel ..................27
4.7 Repr´esentations r´eductibles et irr´eductibles ...........30
5 Groupes de Lie : rotations et r´eflexionsduplan ..........31
5.1 Les groupes O(2) et SO(2)31
5.2 Le groupe SO(2) .......................33
5.3 Repr´esentations : formes bilin´eaires et tenseurs35
5.4 D´ecomposition en repr´esentations irr´eductibles ..........37
5.5 Repr´esentations des groupes U(1) et SO(2) ...........40
5.6 Repr´esentation complexe de O(2) ................41
5.7 M´ecanique quantique et repr´esentations de dimension infinie ....42
Exercices ............................44
6 Alg`ebresetgroupesdeLie ...................45
6.1 D´efinition et propri´et´es g´en´erales45
6.2 Groupe et alg`ebre de Lie : repr´esentation adjointe ........48
6.3 Matrices complexes 2×2, matrices de Pauli et alg`ebre de Lie . . . 50
Exercices54
7 Un groupe de Lie : le groupe orthogonal O(3) ...........55
7.1 Groupe SO(3) et alg`ebredeLie ................56
7.2 Repr´esentation adjointe . . ..................59
7.3 Les repr´esentations matricielles de SO(3) ............60
7.4 M´ecanique classique et tenseurs : le tenseur d’inertie .......62
7.5 Espace de fonctions et repr´esentations ..............63
8 Les groupes unitaires U(2) et SU(2) ...............65
8.1 Groupe SU(2) et matrices de Pauli66vi Table des mati`eres
8.2 Repr´esentation adjointe de SU(2) et groupe SO(3) ........68
8.3 Alg`ebre de Lie de SU(2) : repr´esentations irr´eductibles ......70
8.4 Les groupes SU(2)×SU(2) et SO(4) ..............73
8.5 Leses SO(3) et SU(2) et la m´ecanique quantique75
9 Groupes de Lie plus g´en´eraux, les groupes O(N) et U(N) ......77
9.1 Groupes matriciels et alg`ebresdeLie77
9.2 Le groupe O(N) .......................80
9.3 Alg`ebre de Lie du groupe SO(N) : construction explicite .....81
9.4 Un exemple : l’alg`ebre de Lie du groupe SO(4) .........83
9.5 Groupes unitaires U(N)et SU(N) ...............85
9.6es U(N)et O(2N) . ..................86
9.7 Alg`ebre de Lie de SU(N) .87
9.8 Repr´esentations de SU(N)90
9.9 Un exemple : le groupe SU(3) .................92
9.10 Repr´esentations irr´eductibles du groupe SU(3) .........94
10 Alg`ebres de Lie et op´erateurs diff´erentiels ............97
10.1 Le groupe SO(N) ......................99
10.2 Lee SU(N) ..................... 100
Exercices ........................... 104
11 Groupe lin´eaire g´en´eral GL(N,R) ............... 107
11.1 Produit tensoriel et tenseurs ................ 108
11.2 Groupe sym´etrique et : r´eduction des repr´esentations . 111
12 Sym´etriesenphysiqueclassique 115
12.1 Les ´equations du mouvement en m´ecanique lagrangienne .... 115
12.2 M´ecanique hamiltonienne . ................. 116
12.3 Transformations canoniques. Crochets de Poisson ....... 117
12.4 Sym´etries et lois de conservation .............. 119
12.5 Th´eorie classique des champs. Th´eor`emedeNoether ...... 122
13 Sym´etriesenphysiquequantique ............... 125
13.1 Rappels minimaux de m´ecanique quantique .......... 125
13.2 Op´erateurs de position et d’impulsion ............ 127
14 Marche au hasard : sym´etries ´emergentes ........... 133
14.1 Sym´etriecubique ..................... 135
Exercices ........................... 139
15 Brisure spontan´ee de sym´etrie ................ 141
15.1 M´ecanique classique : sym´etries discr`etes et continues ..... 141
15.2 Th´eorie des champs, sym´etries continues et modes de Goldstone . 143
Exercices 148
16 Transitions de phase : approximation de champ moyen ..... 149
16.1 Introduction ....................... 149
´16.2 Energie libre et potentiel thermodynamique .......... 151
16.3 Transformation de Legendre ................ 152
16.4 Approximation de champ moyen .............. 154
16.5 Sym´etrie Z et propri´et´es universelles ............ 1552
16.6 Spins a` N composantes : groupes O(N)etcubique ...... 157
16.7 Fonctions de corr´elation spin–spin 161Table des mati`eres vii
16.8 Existence de transitions de phase en basse dimension ..... 163
Appendices. .......................... 167
A1 Groupes de Lie : remarque et autre application ........ 167
A1.1 Alg`ebre de Lie : une identit´e utile et ses implications ..... 167
A1.2 Solide rigide classique libre ................. 169
A1.3 Oscillateur harmonique quantique et alg`ebredeLie ...... 171
A2 Relativit´eRestreinteetgroupes ............... 175
A2.1 Groupe relativiste g´en´eralis´e O(1,N): d´efinition et alg`ebre de Lie 175
A2.2 Les groupes O(1,N) pour N=1et N=2 .......... 176
A2.3 Le groupe physique O(1,3)ougroupedeLorentz ....... 178
A2.4 Matrices γdeDirac .................... 179
Index ............................. 183Introduction
Cet ouvrage, bas´e initialement sur un cours de DEA de physique donn´e` a
l’Universit´e de Cergy-Pontoise en 2000-2001 (Saclay preprint T01/019), mais
´edit´e et compl´et´e par des fragments d’autres enseign