ORAL DE MATHÉMATIQUES DES GRANDES ÉCOLES - 123 EXERCICES CORRIGÉS ET COMMENTÉS - Analyse vol. 4

Franck Taieb, Denis Monasse, Collectif

Description

Recueil de 123 exercices et leurs corrigés pour s'entraîner aux oraux des concours d'entrée des Grandes Écoles scientifiques.

Informations

• Publié par: Rue des écoles
• Date de parution: 01 janvier 2023
• Nombre de lectures: 36
• EAN13: 9782820810427
• Langue: Français
• Poids de l'ouvrage: 1 Mo

Extrait

ORAL DE MATHÉMATIQUES
DES GRANDES ÉCOLES
123 EXERCICES
CORRIGÉS ET COMMENTÉS
Sous la direction de Denis Monasse
Analyse vol. 4
Topologie et espaces vectoriels normés
Franck Taïeb
Avec l’aimable autorisation de
REVUE DE LA FILIÈRE
MATHÉMATIQUES
Comité de rédaction de la RMS
Guy Alarcon, Richard Antetomaso, Arnaud Basson, Yves Duval,
Rafk Imekraz, Romain Krust, Roger Mansuy, Denis Monasse,
Hervé Pépin, Bernard Randé, Franck Taïeb, Alain Tissier,
Emmanuelle Tosel, Nicolas ToselEAN : 9782820810427
© rue des écoles, 2020
Éditions rue des écoles, 2 ter rue des Chantiers, 75005 Paris
Achevé d’imprimer en France par Dupliprint en décembre 2019
Dépôt légal : janvier 2020Table des matières
I. ESPACES VECTORIELS NORMÉS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
II. PROPRIÉTÉS TOPOLOGIQUES DES ENSEMBLES . . . . . . . . . . . . 63
III. CONTINUITÉ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
IV. CONVEXITÉ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
345
Préface
La RMS, anciennement Revue de Mathématiques Spéciales, désormais Revue de la Filière
Mathématique, a vu le jour en 1890 sous l’impulsion d’Henri Vuibert. Depuis cette date elle
a mis à la disposition des enseignants et étudiants de classes préparatoires aux grandes écoles
et de l’ensemble de la communauté mathématique, des articles, des problèmes corrigés, des
questions-réponses et des exercices d’oraux posés aux concours de l’année écoulée dont un
certain étaient corrigés pour leur intérêt mathématique ou pédagogique propre ou pour leur
originalité.
Ces exercices corrigés ont toujours suscité un grand intérêt des la part des lecteurs de
la RMS qui y trouvaient un instrument de travail de grande qualité. Même si la plupart des
bonnes bibliothèques mathématiques disposent de collections complètes de la RMS, il nous a
semblé intéressant de mettre à la disposition des enseignants, des étudiants et plus
généralement de l’ensemble de la communauté mathématique francophone des recueils des corrigés
parus au cours de ces 25 dernières années, regroupés par thèmes, après une relecture vigilante.
Dans ce laps de temps, les programmes des classes préparatoires ont évolué à plusieurs
reprises, si bien que quelques énoncés pourront apparaître comme "hors-programme". Il en va
de même de quelques solutions. C’est volontairement que nous avons renoncé à toute censure
de ce "hors-programme" et que nous avons maintenu ces énoncés et ces solutions, d’une part
en raison de leur intérêt mathématique propre et de leur originalité et d’autre part parce que
les programmes ne sont pas figés et sont certainement appelés à évoluer dans les prochaines
années. On peut espérer que certains sujets dont on peut regretter la disparition finiront par
revenir au grand jour. Les programmes passent mais les mathématiques restent.
Les énoncés et corrigés réunis dans ce volume ont été soigneusement relus et
éventuellement corrigés par Franck Taïeb, membre du comité de rédaction de la RMS. Certains
corrigés ont même été complètement réécrits. Cela a demandé à cet enseignant réputé un travail
considérable et le résultat est à la hauteur de ses efforts. Nul doute que chacun y trouvera un
instrument de travail d’une qualité exceptionnelle.
Nous voudrions remercier tout particulièrement les lecteurs qui nous ont proposé tout au
long des ces années des solutions aux exercices qui leur étaient proposés. Nous tenons à leur
rendre un particulier hommage et nous avons choisi de conserver dans ces recueils les noms
de ces lecteurs, même si nous avons été amené à réécrire certaines de leurs solutions dans un
souci d’homogénéité de ces ouvrages.
Nos pensées vont tout particulièrement à Jacques Chevallet et André Warusfel qui ont
contribué de manière décisive à la vie de la RMS et à sa rubrique des exercices corrigés. Un
grand merci également à Philippe Sylvestre et sa maison d’édition Rue des Écoles qui ont
permis la survie et le développement de la RMS.
Pour le comité de rédaction de la RMS, Denis Monasse, rédacteur en chef.6Épreuves orales corrigées
des concours d’entrée
aux grandes écoles
I. ESPACES VECTORIELS NORMÉS8
SoitE un espace vectoriel normé complet, (a ) une famille libre.n n2N
a) Montrer queF = Vect(a ;:::;a ) est fermé dansE.n 1 n
b) Construire une suite ( ) de nombres réels strictement positifs vérifiantn
1
8n> 0;j jka k6 d( a ;F )n+1 n+1 n n n 1
3
X
Existence dex = a ? Existe-t-iln tel quex2F ?k k n
k>1
RMS Année 1994 - numéro 31.
Solution par Hugues Randriambololona
a) F est un sous espace de dimension finie deE. Comme tout espace vectoriel normé den
dimension finie, il est complet, et comme toute partie complête d’un espace métrique, il est
fermé.
b) Construisons la suite ( ) par récurrence.n
Supposons que ;:::; sont construits vérifiant les conditions exigées. PuisqueF est0 n n 1
1 dn
fermé et que a 2= F , on ad :=d( a ;F )> 0. Posons = . Onn n n 1 n n n n 1 n+1
3ka kn+1
a alors
d( a ;F ) 6 d( a ;f0g) = ka kn+1 n+1 n n+1 n+1 n+1 n+1
1 1 1
6 d = d( a ;F )6 ka kn n n n 1 n n
3 3 3
Xk ak1 1
On en déduit que8n2 N; k a k6 . La série a est donc absolumentn n n nn 13
n
convergente. CommeE est complet, elle converge, d’où l’existence dex.
X
Supposons par l’absurde que x 2 F . On pose alors y = a , et comme y =N n n
n>N+1X
x a , on en déduit quey2F . Alorsn n N
n6N
X X1
d 6k a yk6 k a k6 d :N+1 N+1 N+1 n n n
3
n>N+2 n>N+1
1
Mais commed 6 d , on en déduit quen n 1
3
X1 1 1
d 6 d = d ;N+1 N+1 N+1k3 3 2
k>06
9
Ce qui conduit à une contradiction.
On a donc ainsi démontré qu’un espace vectoriel normé complet ne peut avoir de base
dénombrable (ce qui peut également se montrer avec le théorème de Baire).
a) Existe-t-il surM (R) des normesk:k telles que :n
18A2M (R); 8P2GL (R); kP APk =kAk ?n n
b) On appelle semi-norme une application soumise aux mêmes hypothèses qu’une
norme, à l’exception de l’axiome de séparation. Déterminer toutes les semi-normes
N surM (R) satisfaisant :n
18A2M (R); 8P2GL (R); N(P AP ) =N(A):n n
RMS Année 1994 - numéro 230.
a) Soitk:k une norme vérifiant l’hypothèse :
18A2M (R);8P2GL (R);kP APk =kAk:n n
Appliquée àPA etP , cette hypothèse donne :
8A2M (R);8P2GL (R);kAPk =kPAk:n n
Les matrices inversibles étant denses dansM (R) (pour n’importe quelle norme, en particu-n
lier pourk:k, qui est en outre continue), on obtient, par prolongement des identités :
8A2M (R);8P2M (R);kAPk =kPAk:n n
2Mais, sin> 2, il existe un couple (A;P ) deM (R) tel que :AP = 0 etPA = 0. Parn
exemple, avec les notations habituelles :
A =E ; P =E :1;2 1;1
On obtient alors une contradiction.
b) Reprenons les calculs précédents en remplaçantk:k par une semi-norme N. Montrons
tout d’abord queN est continue. Si (e ) est une base deM (R), et six est dansM (R),i i2I n n
on a : X X
N(x) =N x e 6 jxjN(e )6Akxk;i i i i
i2I i2I
oùA désigne maxN(e ) etk:k la norme infinie associée à la base (e ) . D’autre part, lei i i2I
i2I
fait queN vérifie l’inégalité triangulaire implique :
28(x;y)2M (R) ; jN(x) N(y)j6N(x y):n6
6
6
10
Il en résulte finalement que N est lipschitzienne, de rapport inférieur ou égal à A. Cette
remarque permet de montrer, comme dans le a) que :
8A2M (R);8P2M (R); N(AP ) =N(PA):n n
Nous allons à présent étudier l’ensemble V des x de E tels que N(x) = 0. V n’est pas
réduit àf0g sinon N serait une norme, ce qui est exclu d’après la question précédent. Par
homogénéité, il est stable par multiplication externe. Enfin, six ety sont dansV , on a :
06N(x +y)6N(x) +N(y) = 0:
Ainsi,V est un sous-espace vectoriel deM (R), stable par conjugaison.n
Notons (E ) 2 la base canonique deM (R). On a :i;j (i;j)2[1;n] n
2
8(i;j)2 [[1;n] ; i =j =) E E =E ; E E = 0:i;j j;j i;j j;j i;j
Ainsi :
2
8(i;j)2 [[1;n]] ; i =j =) E 2V:i;j
De plus, sii =j,E +E E E est nilpotente, et manifestement semblable àE .i;i i;j j;i j;j i;j
Donc elle appartient àV , et par conséquentE E 2V .i;i j;j
2Il en résulte queV contientn 1 matrices indépendantes, toutes de trace nulle, et par
conséquentV contient l’hyperplan des de trace nulle. On a prouvé queN s’annule sur les
matrices de trace nulle.
Soit désormaisA une matrice quelconque deM (R). En posant = tr(A), on a :n
A =A E +E , doncN(A)6N(A E ) +N(E ):1;1 1;1 1;1 1;1
| {z }
=0
Posons :=N(E ). Il vient :N(A)6j tr(A)j . D’un autre côté :1;1
E = A +E +A et doncj tr(A)j6N(A):1;1 1;1
Finalement :N(A) =j tr(A)j:
On vérifie réciproquement que toutes les applications de cette forme sont des semi-normes.11
On se place dans l’espace vectoriel :
Z Zn +1 +1 o
1 0 2 2 2E = f2C (R;C); jf (t)j dt< +1 et tjf(t)j dt< +1
1 1
dans lequel on pose :
Z 1=2+1
2 0 2N (f) = jf(t)j +jf (t)j dt ;1
1
Z 1=2+1
2 2 0 2N (f) = tjf(t)j +jf (t)j dt :2
1
a) Montrer que (E;N ) et (E;N ) sont des espaces vectoriels normés. Sont-ils1 2
complets?
0b) Montrer qu’il existe des constantes strictement positives C et C telles que
Z 1
2 2jf(t)j dt6 CN (f) pour toutf deE à support compact inclus dans [ 1; 1]2
1
0et queN (f)6C N (f) pour toutf deE.1 2
00c) En déduire qu’il existe une constante strictement positiveC telle que :
Z Z Z 1=2 1=2+1 +1 +1
2 00 2 2 0 2jf(t)j dt6C tjf(t)j dt jf (t)j dt :
1 1 1
00d) Trouver la meilleure constanteC et les fonctionsf correspondantes.
RMS Année 1994 - numéro 243.
a) Prouvons d’abord queN est une norme car issue d’une forme sesquilinéaire positive à1
symétrie hermitienneb : il suffit en effet de prendre
Z +1
b (f;g) = (fg +fg):
1
Il en va de même pour N . Le caractère non-complet de ces deux espaces est clair si l’on2
j tj 0 1approche par exemple la fonction t 7! e , qui est de classeC mais nonC , par des
1 1
fonctions coïncidant avec elle en dehors d’intervalles du type ; et convenablement
n n
lissées sur ces ouverts de façon à appartenir àE.12
b) Étudions d’abord le cas d’une fonction f de E à support compact inclus dans [ A;A]
Z Z1 A
2 2 2avecA> 0, et montrons que jfj = jfj 6N (f) , ce qui répondra à la question2
1 A
avecC = 1, y compris pourA = 1.On peut en effet écriref( A) =f(A) = 0 et