Oral de mathématiques des grandes écoles, 166 exercices corrigés et commentés - Analyse volume 1, Suites et séries numériques , livre ebook

ORAL DE MATHÉMATIQUES
DES GRANDES ÉCOLES
166 EXERCICES
CORRIGÉS ET COMMENTÉS

Sous la direction de Denis Monasse

Analyse vol. 1
Suites et séries numériques

Guy Alarcon

Avec l’aimable autorisation de
REVUE DE LA FILIÈRE
MATHÉMATIQUES

Comité de rédaction de la RMS
Guy Alarcon, Richard Antetomaso, Arnaud Basson, Yves Duval,
Rafik Imekraz, Romain Krust, Roger Mansuy, Denis Monasse,
Hervé Pépin, Bernard Randé, Franck Taieb, Alain Tissier,
Emmanuelle Tosel, Nicolas Tosel

EAN : 9782820810076
© rue des écoles, 2019
Éditions rue des écoles, 2 ter rue des Chantiers, 75005 Paris
Achevé d’imprimer en France par Dupliprint en août 2019
Dépôt légal : septembre 2019

Table des matières

Épreuves orales des concours : corrigés7
I. Suites numériques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7
II. Séries numériques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .137

3

4

Épreuves orales des concours

RMS

Épreuves orales des concours

5

Préface
La RMS, anciennement Revue de Mathématiques Spéciales, désormais Revue de la Filière
Mathématique, a vu le jour en 1890 sous l’impulsion d’Henri Vuibert. Depuis cette date elle
a mis à la disposition des enseignants et étudiants de classes préparatoires aux grandes écoles
et de l’ensemble de la communauté mathématique, des articles, des problèmes corrigés, des
questions-réponses et des exercices d’oraux posés aux concours de l’année écoulée dont un
certain étaient corrigés pour leur intérêt mathématique ou pédagogique propre ou pour leur
originalité.
Ces exercices corrigés ont toujours suscité un grand intérêt des la part des lecteurs de
la RMS qui y trouvaient un instrument de travail de grande qualité. Même si la plupart des
bonnes bibliothèques mathématiques disposent de collections complètes de la RMS, il nous a
semblé intéressant de mettre à la disposition des enseignants, des étudiants et plus
généralement de l’ensemble de la communauté mathématique francophone des recueils des corrigés
parus au cours de ces 25 dernières années, regroupés par thèmes, après une relecture vigilante.
Dans ce laps de temps, les programmes des classes préparatoires ont évolué à plusieurs
reprises, si bien que quelques énoncés pourront apparaître comme "hors-programme". Il en va
de même de quelques solutions. C’est volontairement que nous avons renoncé à toute censure
de ce "hors programme" et que nous avons maintenu ces énoncés et ces solutions, d’une part
en raison de leur intérêt mathématique propre et de leur originalité et d’autre part parce que
les programmes ne sont pas figés et sont certainement appelés à évoluer dans les prochaines
années. On peut espérer que certains sujets dont on peut regretter la disparition finiront par
revenir au grand jour. Les programmes passent mais les mathématiques restent.
Les énoncés et corrigés réunis dans ce volume ont été soigneusement relus et
éventuellement corrigés par Guy Alarcon, membre du comité de rédaction de la RMS. Certains
corrigés ont même été complètement réécrits. Cela a demandé à cet enseignant réputé un travail
considérable et le résultat est à la hauteur de ses efforts. Nul doute que chacun y trouvera un
instrument de travail d’une qualité exceptionnelle.
Nous voudrions remercier tout particulièrement les lecteurs qui nous ont proposé tout au
long des ces années des solutions aux exercices qui leur étaient proposés. Nous tenons à leur
rendre un particulier hommage et nous avons choisi de conserver dans ces recueils les noms
de ces lecteurs, même si nous avons été amené à réécrire certaines de leurs solutions dans un
souci d’homogénéité de ces ouvrages.
Nos pensées vont tout particulièrement à Jacques Chevallet et André Warusfel qui ont
contribué de manière décisive à la vie de la RMS et à sa rubrique des exercices corrigés. Un
grand merci également à Philippe Sylvestre et sa maison d’édition Rue des Écoles qui ont
permis la survie et le développement de la RMS.
Pour le comité de rédaction de la RMS, Denis Monasse, rédacteur en chef.

RMS

6

Épreuves orales des concours

RMS

Épreuves orales corrigées
des concours d’entrée
aux grandes écoles

I. SUITES NUMÉRIQUES

8

Épreuves orales des concours

n n−1∗
On posefn(x) =x+x+. . .+x−1pourn∈N. Montrer qu’il existe un
unique élémentan∈R+tel quefn(an) = 0. Montrer que la suite(an)a une limite
ℓet trouver un équivalent dean−ℓ.
RMSAnnée 1994 - numéro 142.

′n−1
outx>0, ox) 0)=−1et
Pour tn afn( =nx+. . .+ 1>1>0. D’autre part,fn(
fn(1) =n−1. La fonctionfnétant strictement croissante et continue surR+, il existe un
unique élémentandeR+tel quefn(an) = 0. De plus,an∈]0,1[sin>2.
n+1
On a aussif(a) = 0 =a a)quedon résulte
n+1n+1n+1+fn(n+1cfn(an+1)<0. Il en
an+1< an. Ainsi, la suite(an)est décroissante positive donc convergente.
n+1
1−x
n
Pourx6= 1, on peut écrirefn(x) =x+. . .+x+ 1−2 =−2. On a donc
1−x
n+1
1−a
n
fn(an) = 0 =−2pourn>2soit :
1−an

n+1
2an−1 =a
n

Mais, pourn>2, on a0< an6a2<1, d’où

n+1n+1
0< a6a
n2

1
n+1
= 0. Compte tenu
puislimande(1),liman=.
n→+∞n→+∞
2
n+1
Étudions maintenant(2an)en prenant le logarithme :

n+1n+1
ln(2an) =(n+ 1) ln(2an)∼(n+ 1)(2an−1) = (n+ 1)an
+∞

(1)

(2)

n+1n+1
Or, l’encadre0,lim (
ment(2)montre quelim (n+ 1)an=d’où2an) =1puis
n→+∞n→+∞
1
n+1
∼
2an−1 =an:
n+1
+∞
2

RMS

1 1
an− ∼
n+2
+∞
2 2

Épreuves orales des concours

n
X
1
2
Soit(an)n∈Nune suite réelle bornée. Montrer queatend vers0si et
seulek
n
k=0
ment s’il existe une partieA⊂Ntelle que :

liman= 0
n∈/A
n→∞

et

1
limcard(A∩[0, n]) = 0.
n→∞
n

(Indication : considérer une suite(Np)telle que

n
X
1 1
2
∀n>Np, a6
k
n p
k=0

et
A={k∈N/∃p∈N:Np6k < Np+1et|ak|> αp}
oùαpest à déterminer.)
RMSAnnée 1995 - numéro 134.

La condition est suffisante.
2
ConsidéronsM>0tel que∀n∈N,a6M.
n
ε
′
Pour toutε >0posonsε=∙
2(M+ 1)
Il existe un entierNtel que :
′
∀n>Ncard(A∩[0, n])6ε n.
Alors pour toutn>N, on a :
h i
n nn
X XX
1 11
2 22
a=a+a
k kk
n nn
k=0k=0
k=0
k∈/A k∈A
n
X
1
2′
6a+M ε.
k
n
k=0
k∈/A

2′
De pluslima= 0donc il existeN>1tel que :
n
n→+∞
n /∈A
′2′
∀n>N a6ε .
n
′
Pourn>max(N, N), on a :
′
n N−1
h i
X X
1 11
2 2′ ′′
a6a+ (n−N+ 1)ε+M ε
k k
n nn
k=0k=0
K
′
6+ (M+ 1)ε
n

9

RMS

10

Épreuves orales des concours

′
N−1
X
2
oùKest la constanteK=a.
k
k=0
k /∈A
K Kε
′′ ′′
Comme tendvers 0 il existeN>1tel quen>N=⇒<.
n n2
′ ′′
Finalement pourn>max(N, N, N)on a :
n
X
1ε
2′
06a6+ (M+ 1)ε=ε.
k
n2
k=0
La condition est nécessaire.
!
n
X
1
2
t ilexiste une suite
CommeCn=akstrictement croissante d’entiersend vers 0
n
k=0
(Np)p∈Ntelle que :
∗
1
N0= 0et∀p>1∀n>Np, Cn6∙
p
Considérons(αp)une suite décroissante de réels strictement positifs, que nous fixerons
ultérieurement, et posons, pourp>0,
Ap={k∈[Np, Np+1[/|ak|> αp}
[
A=Ap.
p>1

Pour tout entiern>N1, il existe un unique entierp>0tel quen∈[Np, Np+1[et on a :
n n
X X
1 11 1
2 22
>a>a>card(A∩[0, n])α .
k kp
p nn n
k=0
k=0
k∈A
Soit :
1 1
card (A∩[0, n])6∙
2
n pα
p
1
−
Prenonsαp= (p+ 1). alors :
3
1
lim cardA∩[0, n] = 0.
n
n→+∞
De plus pour toutn∈/ A, soitpl’unique entier tel quen∈[Np, Np+1[on a, par définition de
A,|an|6αp. On déduit :
∀ε >0∃n0:∀n>n0n /∈A=⇒ |an|6ε
1
(il suffit de prendren0=Np0avecp0>), c’est-à-dire :
3
ε
liman= 0.
n→+∞
n /∈A

RMS

Épreuves orales des concours

1
Soit un réela >0. On supposeu1>0etun+1=un+∙
a
n un
Trouver une condition surapour que la suite de(un)converge. Donner un
équivalent simple deun−λsi(un)tend versλet deunsi la suite diverge.
RMSAnnée 1995 - numéro 194.

Solution composée d’après les réponses d’Ariel Dufetel et de Moubinool Omarjee

On obtient les résultats suivants :

11

1. lasuite(un)converge si et seulement sia >1;
1
2. sia >1etλ= lim(un)alorsλ−un∼;
a−1
λ(a−1)n
√
3. sia= 1alorsun∼2 lnn;
r
2
(1−a)/2
4. si0< a <1alorsun∼n.
1−a
∗
La suiteuest strictement positive et strictement croissante donc a une une limite dansR∪
+
{+∞}.
•Sia >1, alors on a :
1
0< un+1−un6;
a
n u1
le critère de Riemann prouve la convergence de la série de terme généralun+1−un, donc la
convergence de la suite(un). Notonsλla limite de la suite(un).
On a :
Z
n+1
1 1
−a
un+1−un∼ ∼tdt.
a
n λλ
n
Donc d’après le théorème d’équivalents de restes de séries convergentes :
Z
+∞
1 1
−a
λ−un∼tdt∼.
a−1
λ λ(a−1)n
n
•Réciproquement, si la suiteunconverge alors,λétant sa limite, on a :

1
un+1−un∼,
a
n λ
et comme la sérieΣ (un+1−un)converge il faut quea >1.
•Si0< a61, la suiteuntend vers+∞.
On a :
Z
n+1
2 12
2 2−a
u−u+= 1∼ ∼2tdt.
n+1n
a a2a
n2n un
n n

RMS

12

Épreuves orales des concours

D’après le théorème sur les équivalents de sommes partielles de séries divergentes :
Z
n
2
2 2 2−a1−a2
u−u∼u∼2tdt∼nsia <1,etu∼2 lnnsia= 1.
n1n n
1−a
1
On en déduit les résultats annoncés.

n
k
X
n(−1)
∗
Pourp>1etn∈Non poseSn=. Déterminer un équivalent de
k pk+ 1
k=0
Snlorsquentend vers+∞.
RMSAnnée 1996 - numéro 201.

Solution parJean-Louis Garcin

Γ(1/p)
Nous allons montrer quelimSn= 0etSn∼ ∙
1/p
n→+∞n→+∞
pn
p
Effectuons un premier changement de variables en posant :x=u.
Z
1
1
n−1+1/p
AinsiSn= (1−u)udupuis, en posantv=nu, il vient :
p
0
Z
n
n
1v
−1+1/p
Sn= 1−vdv.
1/p
pn0n

Considérons alors la suite de fonctions continues(fn)définies surR+par :
n>1
( n
x
−1+1/p
1−xsix∈[0, n],
fn(x) =n
0six>n.

−x−1+1/p
D’une part la suitefnconverge simplement vers la fonctionx−7→e xsur
n>1
+−x−1+1/p
Ret d’autre part on vérifie quefn(x)6e xpour tousx∈R+etn>1.
−x−1+1/p
Or la fonctionx7−→e xest intégrable sur[0,+∞[, son intégrale valantΓ(1/p).
Alors d’après le théorème de convergence dominée :
Z Z
+∞n

xn
−1+1/p
limfn(x) dx= lim1−xdx
n
n→+∞n→+∞
0 0
Z
+∞
−x−1+1/p
=e xdx= Γ(1/p).
0

Par conséquent :

RMS

Γ(1/p)
Sn∼ ∙
1/p
pn
n→+∞

∗
Soitn∈N. On pose :

Épreuves orales des concours

2n
x x
fn(x) =−1 +x+ +∙ ∙ ∙+∙
2n

a)Montrer que pourn >1, il existe un unique élémentxnde]0,1[tel que
fn(xn) = 0.
b)Montrer que la suite(xn)est décroissante.
c)Trouver la limiteλde cette suite.
n
d)Montrer qu’il existeq∈]0,1[etb >0pour lesquelsxn−λ6bq.
RMSAnnée 1996 - numéro 203.

Solution par Ivan Gozard

13

n−