ORAL DE MATHÉMATIQUES DES GRANDES ÉCOLES 245 EXERCICES CORRIGÉS ET COMMENTÉS - Algèbre vol. 2

Bernard Randé, Denis Monasse, Collectif

Description

Recueil de 245 exercices et leurs corrigés pour s'entraîner aux oraux des concours d'entrée des Grandes Écoles scientifiques.

Informations

• Publié par: Rue des écoles
• Date de parution: 01 janvier 2023
• Nombre de lectures: 49
• EAN13: 9782820811080
• Langue: Français
• Poids de l'ouvrage: 1 Mo

Extrait

ORAL DE MATHÉMATIQUES
DES GRANDES ÉCOLES
245 EXERCICES
CORRIGÉS ET COMMENTÉS

Sous la direction de Denis Monasse

Algèbre vol. 2
Algèbre générale, Polynômes

Bernard Randé

Avec l’aimable autorisation de
REVUE DE LA FILIÈRE
MATHÉMATIQUES

Comité de rédaction de la RMS
Guy Alarcon, Richard Antetomaso, Arnaud Basson, Yves Duval,
Rafik Imekraz, Romain Krust, Roger Mansuy, Denis Monasse,
Hervé Pépin, Bernard Randé, Franck Taïeb, Alain Tissier,
Emmanuelle Tosel, Nicolas Tosel

EAN : 9782820811080
© rue des écoles, 2020
Éditions rue des écoles, 2 ter rue des Chantiers, 75005 Paris
Achevé d’imprimer en France par Dupliprint en septembre 2020
Dépôt légal : octobre 2020

Table des matières

Épreuves orales des concours : corrigés7
I. Algèbre générale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7
II. Polynômes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .153

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4

5

Préface
La RMS, anciennement Revue de Mathématiques Spéciales, désormais Revue de la Filière
Mathématique, a vu le jour en 1890 sous l’impulsion d’Henri Vuibert. Depuis cette date elle
a mis à la disposition des enseignants et étudiants de classes préparatoires aux grandes écoles
et de l’ensemble de la communauté mathématique, des articles, des problèmes corrigés, des
questions-réponses et des exercices d’oraux posés aux concours de l’année écoulée dont un
certain étaient corrigés pour leur intérêt mathématique ou pédagogique propre ou pour leur
originalité.
Ces exercices corrigés ont toujours suscité un grand intérêt des la part des lecteurs de
la RMS qui y trouvaient un instrument de travail de grande qualité. Même si la plupart des
bonnes bibliothèques mathématiques disposent de collections complètes de la RMS, il nous a
semblé intéressant de mettre à la disposition des enseignants, des étudiants et plus
généralement de l’ensemble de la communauté mathématique francophone des recueils des corrigés
parus au cours de ces 25 dernières années, regroupés par thèmes, après une relecture vigilante.
Dans ce laps de temps, les programmes des classes préparatoires ont évolué à plusieurs
reprises, si bien que quelques énoncés pourront apparaître comme "hors-programme". Il en va
de même de quelques solutions. C’est volontairement que nous avons renoncé à toute censure
de ce "hors programme" et que nous avons maintenu ces énoncés et ces solutions, d’une part
en raison de leur intérêt mathématique propre et de leur originalité et d’autre part parce que
les programmes ne sont pas figés et sont certainement appelés à évoluer dans les prochaines
années. On peut espérer que certains sujets dont on peut regretter la disparition finiront par
revenir au grand jour. Les programmes passent mais les mathématiques restent.
Les énoncés et corrigés réunis dans ce volume ont été soigneusement relus et
éventuellement corrigés par Bernard Randé, membre du comité de rédaction de la RMS. Certains
corrigés ont même été complètement réécrits. Cela a demandé à cet enseignant réputé un
travail considérable et le résultat est à la hauteur de ses efforts. Nul doute que chacun y trouvera
un instrument de travail d’une qualité exceptionnelle.
Nous voudrions remercier tout particulièrement les lecteurs qui nous ont proposé tout au
long des ces années des solutions aux exercices qui leur étaient proposés. Nous tenons à leur
rendre un particulier hommage et nous avons choisi de conserver dans ces recueils les noms
de ces lecteurs, même si nous avons été amené à réécrire certaines de leurs solutions dans un
souci d’homogénéité de ces ouvrages.
Nos pensées vont tout particulièrement à Jacques Chevallet et André Warusfel qui ont
contribué de manière décisive à la vie de la RMS et à sa rubrique des exercices corrigés. Un
grand merci également à Philippe Sylvestre et sa maison d’édition Rue des Écoles qui ont
permis la survie et le développement de la RMS.
Pour le comité de rédaction de la RMS, Denis Monasse, rédacteur en chef.

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Épreuves orales corrigées
des concours d’entrée
aux grandes écoles

I. Algèbre générale

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α
a)Soitpun nombre premier. SoitGun groupe fini, de cardinalp, oùα>1,
opérant sur un ensemble finiE. On note

G
E:={x∈E;∀g∈G g.x=x}.

G
Montrer que|E| ≡ |E|modp.
b)SoitHun groupe fini de cardinaln, etpun diviseur premier den.
Démontrer queHcontient un élément d’ordrep. On pourra, pour ce faire, utiliser
l’enp
sembleEdes(x1, . . . , xp)∈Htels quex1. . . xp= 1, et une opération du groupe
additifZ/pZsurE.
c)SoitHun groupe abélien fini de cardinalnetmun entier tel que

∀x∈H

m
x= 1.

α
Montrer qu’il existeα∈Ntel quen|m .

a)Considérons l’application

fx:G
g

−→E
7→g.x .

RMSAnnée 1994 - numéro 204.

Son image, notéeG.x, est, par définition, l’orbite dex. On a

−1
fx(g) =fx(h)⇐⇒g.x=h.x⇐⇒(h g).x=x.

Ceci incite à introduire le stabilisateur dex, notéGx, ensemble des élémentskdeGtels que

k.x=x.

Ainsi,
−1
fx(g) =fx(h)⇐⇒h g∈Gx.
Il est facile de constater queGxest un sous-groupe deG, dont le cardinal divise donc celui
deG(théorème de Lagrange). Par ailleurs,

G
x∈E⇐⇒Gx=G.

À présent, notons∼la relation d’équivalence associée à l’applicationfx. Grâce à la
facx
torisation canonique de l’applicationfx, nous savons qu’il existe une bijection entreG/∼
x
|G|
etG.x. MaisG/∼=.
x
|Gx|
D’un autre côté, les orbites réalisent une partition deE; il suffit pour cela de vérifier que les
orbites sont les classes d’équivalence associées à la relation :

x≡y⇐⇒ ∃g∈G

y=g.x.

Nous obtenons ainsi

X XX
|G|
|R|=|α|=|G.xi|=.
|Gxi|
α∈E/≡i∈I i∈I

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G
Dans cette dernière somme, mettons de côté lesitels quexiappartienne àE, qui
corres|G|
pondent donc à= 1.Il vient
|G|
xi

X
|G|
G
|E|=|E|+,
|Gxi|
i∈J

|G|
où, siiappartient àJune puissance de, estpet est non égal à1. En particulier,
|G|
xi

X
|G|
= 0 modp,
|Gxi|
i∈J

ce qui assure le résultat.
b)Faisons agirG=Z/pZsurEgrâce à

k.(x ,. . . , xp) = (x ,. . . , x).
1 1+k p+k

L’élément de droite est bien encore dansE, car

. . . xx=x⇒. . xx .x= 1,
x .. . xp= 1⇒x1p21 1p1
1

et ensuite par récurrence. On vérifie en outre qu’il s’agit bien d’une action deGsurE.
D’après lea, on a
G
|E|=|E|modp.

G p
MaisEest l’ensemble des(x, . . . , x)tels quex= 1.Son cardinal est manifestement
p
égal à celui desxtels quex= 1.Par ailleurs,Eest en bijection avec l’ensemble des
p−1
(x1, . . . , xp−1), c’est-à-dire avec un ensemble de cardinaln. En tous cas,|E|est divisible
G
parp, et par conséquent|E|aussi. En particulier, cet ensemble contient au moins deux
éléments, donc un différent du neutre; c’est donc un élément d’ordrep. Ce résultat est dû à
Cauchy.
c)Soitpun facteur premier den. D’après ce qui précède,Hcontient un élémentx
Y
vp
d’ordrep; doncpdivisem. Il en résulte que, sin=p, alorsmest divisible par
vp>1
Y
α
p. Il en découle quendivisem, avec par exempleα= maxvp.
vp>1

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a)SoitGun groupe fini, etHun sous-groupe deG, distinct deG. PourxdansG,
−1
on posex={g xg}g∈G.Montrer

∃x∈G

x∩H=∅.

b)Montrer que le résultat précédent tombe en défaut lorsqueGn’est pas fini.
RMSAnnée 1994 - numéro 205.

a)Nous utiliserons les résultats obtenus dans l’exercice de la page 8.
Faisons opérerGsur lui-même par automorphisme intérieur, en posant

∀(g, x)∈G×G

−1
g.x=gxg .

Ainsi,G.x=xetGx={g∈G;gx=xg}.
Supposons, par l’absurde, queHrencontre toute classe de similitude. On peut donc choisir un
élément dans chacune de ces classes qui soit dansH. Notons(xi)i∈Ila famille ainsi formée.
On obtient
X X
|G)
|G|=|G.xi|=,
|Gxi|
i∈I i∈I
ou encore
X
1
1 =.
|Gxi|
i∈I
Par ailleurs, on peut faire opérerHsur lui-même de façon analogue (étant entendu que
l’action va deH×HversH). Il vient
X
|H|
|H|=,
|Hxi|
i∈I∪J

soit

Mais

L’égalité

implique que

Appliquons ceci àxi=
contradiction souhaitée.

X
1
1 =.
|Hxi|
i∈I∪J

1 1
∀i∈I Hxi⊂Gxi⇒6.
|Gxi| |Hxi|

X X
1 1
=
|Gxi| |Hxi|
i∈I i∈I∪J

∀i∈I Hxi=GxietJ=∅.
1; puisqueH1=HetG1=G, on a bienG=H, ce qui est la

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b)PosonsG:=SO(E), oùEest un espace vectoriel euclidien de dimension3, etHle
groupe des rotations d’axeΔ, oùΔest donné. Toute rotation est évidemment conjuguée à un
élément deH, bien queHsoit différent deG.

Ivan Gozard fournit un autre exemple : toute matrice deGLn(C)est conjuguée à une matrice
triangulaire supérieure, dont l’ensemble forme un sous-groupe strict deGLn(C). Ou encore
(A. Reisner) : toute matrice deUn(C)est conjuguée à une matrice diagonale deUn(C).

Soit(P, Q)un couple de polynômes réels simplement scindés tels qu’entre deux
racines de l’un il y ait toujours au moins une racine de l’autre. Montrer que le
2
polynômeλP+µQreste scindé lorsque le couple(λ, µ)décritR.
RMSAnnée 1994 - numéro 209.

Il est loisible de se ramener au cas oùλ6= 0et où les deux polynômes sont de la forme
i=n j=m
Y Y
P= (X−ai)etQ= (X−bj), avecm=noum=n−1. Nous supposerons de
i=1j=1
plus que :
a1< b1< a2< b2< .. .< an< bn

lorsquem=n, cas que nous traiterons en premier.
P
Le signe des valeurs de la fonction rationnelleaux voisinages des infinis et des réelsbj,
Q
ainsi que son annulation en les réelsai, montre que l’équation
λ P(x) +µ Q(x) = 0possède au moinsnracines réelles siλ+µ6= 0, à savoir une dans
chaque intervalle]bj, bj+1[et une autre dans l’un des deux intervalles]− ∞, b1[et]bn,+∞[,
et au moinsn−1racines réelles dans le cas contraire – la dernière pouvant être alors
considérée comme étant devenue «infinie». Ce nombre de racines étant toujours exactement égal
au degré deλ P+µ Q, ce dernier polynôme est donc (simplement) scindé.
Il en va tout de même sim=n−1(ici d’ailleurs le degré deλ P+µ Qest toujours égal
àn). Notons queλ P+µ Qest scindé (mais alors non simplement) dans le casλ=µ= 0.

SoitH(K)l’ensemble des polynômes symétriques homogènesP(X, Y)à coefficients
dans un corpsK, vérifiant les identités :

P(X,0) = 0etP(X, Y) +P(X+Y, Z) =P(Y, Z) +P(X, Y+Z).

a)DéterminerH(Q).
b)DéterminerH(Z/pZ).

RMSAnnée 1994 - numéro 212.

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a)Restons d’abord dans le cadre d’un corps quelconque. SoitN=n+ 2le degré d’un
n
X
n−r+1r+1
polynômePdeH(K), par définition de la