MANUEL DE mathématiques ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ - Terminale
476 pages
Français

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Description

Véritable ouvrage d'excellence, ce livre s'adresse aux élèves de Terminale souhaitant suivre des études scientifiques. Son style affirme un choix de rigueur et d'exigence plus clair que la plupart des autres livres du cycle terminal. L'objectif est de préparer progressivement les élèves à comprendre et maîtriser les modes de raisonnement qui seront utilisés au lycée et dans l'enseignement supérieur.

Sujets

Informations

Publié par
Date de parution 01 janvier 2023
Nombre de lectures 112
EAN13 9782820811165
Langue Français
Poids de l'ouvrage 6 Mo

Informations légales : prix de location à la page 0,0498€. Cette information est donnée uniquement à titre indicatif conformément à la législation en vigueur.

Extrait

MANUEL DE
mathématiques
ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ
Terminale

NOUVEAU PROGRAMME

Sous la direction de Denis Monasse

Stéphane Piat,
Mohamed Piroussa,
Luc Villemot

EAN : 9782820811165
© rue des écoles, 2021
Éditions rue des écoles,
2 ter rue des Chantiers, 75005 Paris
Achevé d’imprimer en France en février 2021
Dépôt légal : mars 2021

Table des matières

Préface

Chapitre 1. Suites réelles : convergence et divergences.
1. Suitesréelles convergentes.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1 Définition.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Limited’une suite convergente. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Quelquesrésultats de convergence immédiatement issus de la définition.. . .
1.4 Convergencepar comparaison.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5 Convergencepar opérations.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6 Casdes suites monotones.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.7 Localisationde la limite.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.8 Suitesadjacentes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.9 Casdes suites récurrentes d’ordre 1.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2. Suitesdivergentes.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1 Extensionde la notion de limite : limites infinies.. . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Divergencede seconde espèce.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3. Algèbredes limites.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1 Sommede limites.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Produitde limites. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Quotientde limites.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Chapitre 2. Limites de fonctions. Continuité.
1. Limitesà l’infini.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1 Limiteinfinie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Limitefinie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Troisièmecas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
2. Étudede la fonction inversex7→.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
x
2.1 Quelquesconsidérations sur la fonction inverse.. . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Leslimites deI. . . . . . . . . .aux bornes de son ensemble de définition.
2.3 Interprétationsgéométriques des limites obtenues.. . . . . . . . . . . . . . .
3. Limited’une fonctionfen un réelx0.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1 Comportementd’une fonctionfenx0. . . . . . . . . . . . . .« à droite ».
3.2 Comportementd’une fonctionfenx0« à gauche ».. . . . . . . . . . . . . .
3.3 Comportementd’une fonctionfenx0. Dans quels cas peut on parler de
limite d’une fonction au point d’abscissex0? .. . . . . . . . . . . . . . . .
4. Limiteset opérations.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1 Lacomposition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 L’algèbredes limites. Les formes indéterminées. .. . . . . . . . . . . . . . .
4.3 Exemplesdivers. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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4

5. Interprétationsgéométriques.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1 Asymptotehorizontale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2 Asymptoteverticale. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3 Compléments: courbes asymptotes.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6. Miscellanées.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7. Continuité.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.1 Continuitéen un point.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2 Prolongementpar continuité.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.3 Continuitéet opérations.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.4 Continuitésur un intervalle. Théorème des valeurs intermédiaires.. . . . . .
7.5 Continuitéséquentielle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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70
70
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Chapitre 3. Dérivation. Convexité.91
1. Dérivation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .91
1.1 Tauxd’accroissement et nombre dérivé. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .91
1.2 Nombredérivé .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .94
1.3 Tangenteà une courbe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .95
1.4 Fonctionsdérivées .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .96
2. Sensde variation de fonctions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .103
3. Extremumd’une fonction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .104
4. Approfondissement1 : Méthode d’approximation : Méthode d’Euler,
méthode de Newton. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .107
4.1 Méthoded’Euler : Approximation de fonctions. . . . . . . . . . . . . . . . 107
4.2 Méthodede Newton : résolution approchée de l’équationf(x) = 0. . . . . . 107
5. Approfondissement2 : Dérivées successives. . . . . . . . . . . . . . . . . .109
6. Convexité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .113
6.1 Généralités.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
6.2 Interprétationgéométrique .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
6.3 Convexitéet inégalités classiques.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
7. Approfondissement3 : Accroissements finis. . . . . . . . . . . . . . . . . .120

Chapitre 4. Fonctions logarithmes.127
1. Définitionde la fonction logarithme népérien. . . . . . . . . . . . . . . . .127
2. Variationset limites aux bornes de la fonction logarithme népérien. . . . .128
3. Propriétésalgébriques de la fonction logarithme népérien. . . . . . . . . .129
4. Dérivéede la fonction logarithme népérien. . . . . . . . . . . . . . . . . . .135
5. Concavitéde la fonction logarithme népérien. . . . . . . . . . . . . . . . .139
6. Fonctionlogarithme base a. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .139

Cours de mathématiques spécialité en Terminale

5

7. Puissanced’exposant réel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .140
8. Fonctionexponentielle basea. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .141
9. Fonctionracinen−ième d’un réel positif. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .143
10. Croissancescomparées. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .145
11. Deuxièmedéfinition de la fonction logarithme népérien. . . . . . . . . . . .146

Chapitre 5. Fonctions trigonométriques.149
1. Étudedes fonctions trigonométriques.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .149
1.1 Quelquesrappels. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
1.2 Étudeconjointe des fonctions sinus et cosinus. .. . . . . . . . . . . . . . . . 151
2. Quelquesétudes de fonctions.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .161
3. Inversiondes fonctions sinus et cosinus.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .171
3.1 Casde la fonction sinus.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
3.2 Casde la fonction cosinus.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
4. Étudede la fonction tangente.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .176
4.1 Rapideétude de la fonction tangente. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
4.2 Lafonctionarctan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179

Chapitre 6. Primitives.183
1. Définitionet propriétés élémentaires des fonctions primitives. . . . . . . .183
2. Primitivesde fonctions usuelles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .186
3. Primitiveset opérations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .187
4. Exercicesd’application directe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .188
x
5. Primitivesdes fonctions de la formeP(x)e. . . . . . . . . . . . . . . . . .190
6. Primitivesde fonctions rationnelles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .192

Chapitre 7. Équations différentielles.195
1. Introductionaux équations différentielles. . . . . . . . . . . . . . . . . . .195
2. Quelquesgénéralités. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .196

3. Équationdifférentielley=f. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .197

4. Équationdifférentielley=ay,a∈R. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .197

5. Équationdifférentielley=ay+b,a∈R,b∈R. . . . . . . . . . . . . .198
′′2∗
6. Équationdifférentielley=−ω y,ω∈R. . . . . . . . . . . . . . . . . .200
+
6.1 Systèmemasse-ressort .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
′′2∗
6.2 Étudede l’équation différentielley=−ω y,ω∈R. . . . . . . . . . . . 201
+

Cours de mathématiques spécialité en Terminale

6

7.
8.

′ ∗
Équation différentielley=ay+b(t),a∈R. . . . . . . . . . . . . . . .202
Modèle logistique de P.F. Verhulst. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .204

Chapitre 8. Calcul intégral.207
1. Activitéintroductrice. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .207
2. Intégraled’une fonction continue et positive sur un intervalle fermé. . . .209
3. Intégraled’une fonction continue sur un intervalle fermé. . . . . . . . . .217
4. Inégalitéde Cauchy-Schwarz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .221
5. Intégrationpar parties. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .222
6. Encadrementd’intégrales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .226
7. Calculd’aires à partir d’intégrales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .229
8. Suiteset intégrales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .232
9. Sommesde Riemann. . . . . .

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