Repères clés : Bac spécialité Mathématiques

Collectif

Description

Tout le programme du Bac Spécialité Mathématiques en 30 fiches pratiques. - Le cours expliqué de façon claire et efficace - Les définitions clés et les formules à connaître - Une organisation synthétique pour bien mémoriser

Informations

• Publié par: Rue des écoles
• Date de parution: 13 juillet 2021
• Nombre de lectures: 67
• EAN13: 9782820812278
• Langue: Français
• Poids de l'ouvrage: 13 Mo

Extrait

Repères clés
Terminale
BAC
 Spécialité 
Mathématiques
Avec la collaboration de
Aurélie Cronier EAN : 9782820812278
© rue des écoles, 2021.
Éditions rue des écoles
2 ter rue des Chantiers – 75005 ParisSommaire
Algèbre et géométrie
Fiche 1 Combinatoire : principes additif et multiplicatif ......................... 4
Fiche 2 Dénombrement : manipulations d’ensembles ............................ 6
Fiche 3 Manipulation des vecteurs et des droites dans l’espace.............. 8
Fiche 4 Les plans, les bases et les repères de l’espace ...........................10
Fiche 5 Caractérisation de l’orthogonalité dans l’espace ......................12
Fiche 6 Caration des distances dans l’espace ..............................14
Fiche 7 Représentations paramétriques et équation cartésienne ...........16
Analyse
Fiche 8 Suites particulières et raisonnement par récurrence .................18
Fiche 9 Comportement et limites d’une suite .......................................20
Fiche 10 Limites de fonctions (1) ...........................................................22
Fiche 11 onctions (2) 24
Fiche 12 Dérivées usuelles et opérations sur les dérivées ........................26
Fiche 13 Applications de la dérivation et dérivée seconde .......................28
Fiche 14 Continuité, théorème des valeurs intermédiaires ......................30
Fiche 15 Fonction logarithme : définitions et propriétés algébriques .......32
Fiche 16 Fonction logarithme : dérivée, limites et croissance comparée ......34
Fiche 17 Fonctions sinus et cosinus (1) ..................................................36
Fiche 18 Fonctions sinus et cosinus (2) 38
Fiche 19 Primitives ...............................................................................40
Fiche 20 Équations différentielles .........................................................42
Fiche 21 Intégration : lien avec les primitives, propriétés des intégrales ......44
Fiche 22 Utilisations de l’intégration .....................................................46
Probabilités
Fiche 23 Loi de Bernoulli ......................................................................48
Fiche 24 Loi binomiale .........................................................................50
Fiche 25 Linéarité de l’espérance ..........................................................52
Fiche 26 Étude probabiliste des échantillons de variables
indépendantes identiques .......................................................54
Fiche 27 Formules de majoration 56
Fiche 28 Loi faible des grands nombres et utilisations possibles ..............58
Algorithmique / logique
Fiche 29 Instructions élémentaires........................................................60
Fiche 30 Boucles et itérateurs, instructions conditionnelles ....................62Fiche Algèbre et géométrie
Combinatoire : principes additif 1
et multiplicatif
L’essentiel du cours
Porte d’entrée sur l’infini, le raisonnement par récurrence a été formalisé comme
r aisonnement fondamental par Pascal et Peano, même s’il était utilisé comme mode
de démonstration par les mathématiciens anciens.
Les ensembles finis
Lorsque n est un entier naturel non nul, si E , E , …, E sont n ensembles finis deux 1 2 n•
à deux disjoints, on peut appliquer le principe additif : le nombre d’éléments de
l’ensemble EE...E est égal à la somme du nombre d’éléments de chacun des
12 n
ensembles E , E , …, E .1 2 n
nPropriété : soit E un ensemble constitué de n éléments. Alors il existe 2 parties dis-•
tinctes de E. Exemple : Soient E = {A ; S ; P} un ensemble fini contenant 3 éléments, et
F l’ensemble fini des entiers de 5 (inclus) à 15 (inclus), contenant 11 éléments. Alors
EF contient 3 + 11 = 14 éléments, car E et F sont deux ensembles finis et disjoints.
Les parties de E sont : E (composé de 3 éléments) ; les sous-ensembles {A ; S}, {A ; P} et
{S ; P} composés de 2 éléments chacun ; les sous-ensembles {A}, {S} et {P}, composés
4 de 1 élément chacun ; et l’ensemble vide.
Une p-liste
On dit que a est la première composante du couple (a ; b), b la deuxième compos ante •
du couple. On dit que c est la troisième composante du triplet (a ; b ; c). Exemple : Soit
G.= Alors (3 ; 5) est une 2-liste de G (on dit aussi un couple de G). (2018 ; 2019 ; 2020)
est une 3-liste de G (on dit aussi un triplet de G). Et on a : (3 ; 5) ≠ (5 ; 3), car dans une
p-liste, l’ordre dans lequel les éléments sont écrits est important.
Notation : Soient E un ensemble fini et p un entier naturel non nul. L’ensemble •
* P 2des p-listes p . d’éléments de E se note E . Avec cette notation, E représente
l’en1semble des couples d’éléments de E. On pose E = E.
Propriété : Soit E un ensemble fini possédant n éléments, soit Le nombre de p-listes •
Pd’éléments de E est égal à n . Exemple : Pour composer un digicode, on utilise un
clavier numérique contenant les dix chiffres 0, 1, … , 9, ainsi que les lettres A et B. Un
6code correct pour entrer dans l’immeuble est composé de 6 éléments. Il y a 12  6-listes
différentes pour un digicode. Cela représente presque trois millions de codes différents
à essayer pour entre si on ne connaît pas le bon !
Le produit cartésien
Lorsque n est un entier naturel non nul, si E , E , …, E sont n ensembles finis, on 1 2 n•
peut appliquer le principe multiplicatif : le nombre d’éléments du produit cartésien
E  × E  × … × E est égal au produit du nombre d’éléments des ensembles E × E × … × E .
1 2 n 1 2 n
3Exemple : Soit G.= (2018 ; 2019 ; 2020) est un triplet de =× × .Mots-clés à connaître
Ensemble fini Produit cartésien
On dit que E est un ensemble fini si et Soient E et F deux ensembles. Le
proseulement si on peut en compter les duit cartésien de E par F (noté E × F) est
éléments. l’ensemble de tous les couples dont la
première composante appartient à E,
Partie d’un ensemble fini E
et la seconde à F.
Soit F un ensemble. On dit que F est une
Soient n un entier naturel non nul et
partie (ou un sous-ensemble) de E si et
E , E , …, E n ensembles. Le produit 1 2 nseulement si F est un e dont tous cartésien E × E × … × E est
l’en1 2 nles éléments sont des éléments de E. semble de toutes les n-listes dont la
première composante appartient à E , p-liste 1
ela deuxième à E , …, et la n   com-Soit E un ensemble fini, soit p un entier 2
2posante à E . On a donc E × E = E et naturel non nul. Une p-liste (aussi n
3E × E × E = E .appelé p-uplet) d’éléments de  E est
une suite finie de p éléments de E.
Histoire des mathématiques
Combinatoire Le triangle de Pascal apparaît
réellement pour la première fois au Moyen-Des propriétés arithmétiques du triangle
e Orient au xx siècle et en Chine au de Pascal étaient présentes dans les
tra5e xii siècle. Il servait alors à développer vaux combinatoires des mathématiques
nla formule du binôme (a + b) , ainsi indiennes et chinoises.
qu’à généraliser à des degrés supé-Entre 400 et 200 av. J.-C., en Inde, les
rieurs à 2 la méthode d’extraction de jaïnistes introduisent les premiers
la racine.concepts de cardinalité et de nombres
Pendant l’Antiquité, les calculs de transfinis, car ils sont persuadés que
combinatoire étaient des moments de tous les nombres infinis ne sont pas
prédilection lors des récréations mathé-égaux. L’école de Pingala parle déjà du
matiques. La combinatoire est restée système binaire et utilise le triangle de
présente durant tous les siècles suivants, Pascal, même si cette notion sera
redée jusqu’aux arithméticiens du xix siècle couverte plus tard.
(Lucas, Delannoy, etc.).Au moins 200 ans av. J.-C., les Chinois
Enfin, le développement de l’informa-ont développé une sorte de numération
tique et de l’intelligence artificielle s’est en système binaire et des techniques
appuyé sur les « mathématiques dis-arithmétiques qui leur permettaient de
crètes » et les méthodes combinatoires faire des calculs d’astronomie déjà très
pour exploiter ces nouvelles technolo-élaborés ou des recherches de carrés
gies au maximum.magiques (qui peuvent être utilisés dans
les échecs, les jeux de cartes ou encore
les dominos).Fiche Algèbre et géométrie
Dénombrement : 2
manipulations d’ensembles
L’essentiel du cours
On peut souligner le développement récent des mathématiques discrètes, pour
l’informatique et l’intelligence artificielle.
Manipuler des arrangements
Exemple : Soit F l’ensemble des entiers de 5 (inclus) à 15 (inclus). (5, 10, 7, 6) est un •
arrangement de quatre éléments de F, alors que (5, 10, 5, 6) n’est pas un arrangement
de F, car 5 est écrit deux fois.
Propriété : Soit E un ensemble contenant n éléments, n étant un entier naturel non •
nul. Soit p un entier tel que 1 < p ≤ n. Le nombre d’arrangements de p éléments de E est
égal à n × (n – 1) × (n – 2) × … × (n –(p – 1)).
Remarques : Le produit n × (n – 1) × (n – 2) × … × (n –(p – 1)) contient p facteurs. •
Lorsque p = 1, il y a n arrangements de 1 élément (singleton) de E.
Manipuler les permutations
Exemple : Soit E = {s ; c ; o ; 1 ; a ; i ; r ; e}. (s, i, c, o, l, a, e, r) est une permutation •
de E, mais pas (s, i, c, o, l, a, e, c), car l’élément c est répété.
6 Propriété : Le nombre de permutations de E est égal à n × (n – 1) × (n – 2) × … × 2 × 1. •
Notation : le nombre n × (n – 1) × (n – 2) × … × 2 × 1 est noté n! et se lit « factorielle n ».
Exemple : 7 invités sont autour d’une table. Il existe 7! plans de table différents, soit
5 040 possibilités.
Propriété : Soit E un ensemble contenant n éléments, n étant un entier naturel non •
nul. Soit p un entier tel que 1 < p ≤ n. Le nombre d’arrangements de p éléments de E
n!
est égal à .
pn!( − p)!
Manipuler les combinaisons
Exemple : Soit E = {s ; c ; o ; 1 ; a ; i ; r ; e}. F = {s, l, e} est une combinaison de 3 élé-•
ments de E. F = {e, e, 1} en est également une. ∅ est la combinaison de zéro élément
de E. E est la combinaison des 8 éléments de E.
Propriété : Soit E un ensemble contenant n éléments, n étant un entier naturel. •
Soit p un entier tel que 0 ≤ p ≤ n. Le nombr