Analyse complexe et équations différentielles

Claudia Valls, Barreira Luis

Description

Ce recueil d'exercices vise principalement les étudiants qui s'initient à l'analyse complexe, aux équations différentielles, ou aux deux domaines.
On y considère notamment les notions de :
• fonctions holomorphes,
• fonctions analytiques,
• équations différentielles ordinaires,
• séries de Fourier,
• applications aux équations aux dérivées partielles.

Au total, le livre propose 400 exercices. Plus de deux cents d'entre eux sont complètement résolus, les autres sont présentés avec leurs solutions. Le contenu et la progression de ces exercices suivent de près le manuel « Analyse Complexe et Équations Différentielles » de Barreira, publié dans la même collection.

 

Sujets

• Sciences & Techniques
• Mathématiques
• Sciences formelles
• Mathématiques générales
• Mathématiques générales
• Mathématiques fondamentales
• Mathématiques pures
• Mathematics
• Sciences et techniques

Informations

• Publié par: EDP Sciences
• Date de parution: 01 août 2011
• Nombre de lectures: 7
• EAN13: 9782759812226
• Langue: Français
• Poids de l'ouvrage: 5 Mo

Extrait

COLLECTION ENSEIGNEMENT SUP //// Mathématiques

L2M1
Analyse Complexe et
Équations Différentielles
EXERCICES CORRIGÉS

Luís Barreira et Clàudia Valls

EXERCICES D’ANALYSE
COMPLEXE ET ÉQUATIONS
DIFFÉRENTIELLES

Luís Barreira, Clàudia Valls
Traduit par les auteurs

Collection dirigée par Daniel Guin

17, avenue du Hoggar
Parc d’activités de Courtabœuf, BP 112
91944 Les Ulis Cedex A, France

Édition originale :Exercicios de análise complexa e equações diferenciais,
c ISTPress, Lisboa, 2009

Imprimé en France

ISBN: 978-2-7598-0616-4
Tous droits d’adaptation et de reproduction par tous procédés réservés pour tous pays. Toute
reproduction ou représentation intégrale ou partielle, par quelque procédé que ce soit, des pages publiées
dans le présent ouvrage, faite sans l’autorisation de l’éditeur est illicite et constitue une contrefaçon.
Seules sont autorisées, d’une part, les reproductions strictement réservées à l’usage privé du copiste et
non destinées à une utilisation collective, et d’autre part, les courtes citations justifiées par le caractère
scientifique ou d’information de l’œuvre dans laquelle elles sont incorporées (art. L. 122-4, L. 122-5 et
L. 335-2 du Code de la propriété intellectuelle). Des photocopies payantes peuvent être réalisées avec
l’accord de l’éditeur. S’adresser au : Centre français d’exploitation du droit de copie, 3, rue Hautefeuille,
75006 Paris. Tél. : [phone].

c2011, EDP Sciences, 17, avenue du Hoggar, BP 112, Parc d’activités de Courtabœuf,
91944 Les Ulis Cedex A

Avant-Propos

I

II

III

IV

V

TABLE DES MATIÈRES

Nombres complexes
I.1Exercices corrigés. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
I.2Exercices proposés .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
I.3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Solutions .

Fonctions holomorphes
II.1Exercices corrigés. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
II.2Exercices proposés .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
II.3Solutions .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Suites et séries
III.1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Exercices corrigés
III.2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Exercices proposés .
III.3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Solutions .

v

1
1
13
17

19
19
38
43

45
45
60
64

Fonctions analytiques67
IV.1Exercices corrigés. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .67
IV.2Exercices proposés .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .97
IV.3. . . . . . . Solutions .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

Équations différentielles ordinaires107
V.1Exercices corrigés. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
V.2Exercices proposés .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
V.3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133. . . . . . . Solutions .

Exercices d’analyse complexe et équations Différentielles

iv

VI

VII

Résolution d’équations différentielles137
VI.1Exercices corrigés. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
VI.2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155Exercices proposés .
VI.3. . . . . . . Solutions .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

Équations aux dérivées partielles163
VII.1Exercices corrigés. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
VII.2Exercices proposés .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
VII.3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195Solutions .. . . . . . .

Bibliographie

197

AVANT-PROPOS

Ceci est un livre d’exercices d’analyse complexe et équations différentielles.
Il vise principalement les étudiants fréquentant un cours donnant la première
introduction à l’analyse complexe, aux équations différentielles, ou aux deux
domaines. Le contenu et la progression de ces exercices suivent de près le cours [3].
On considère en particulier les nombres complexes, les fonctions holomorphes, les
suites, les séries, les fonctions analytiques, les équations différentielles ordinaires.
On étudie et on met en œuvre des méthodes pour résoudre équations différentielles
et équations aux dérivées partielles. Pour chaque sujet, on a inclu des exercices
avec des corrigés complets et des exercices proposés avec indication des résultats.
Au total, le livre contient 400 exercices, dont la moitié est constituée d’exercices
complètement résolus.
Nous soulignons que ce texte est uniquement destiné à être un auxiliaire dans
l’apprentissage des théories évoquées et qu’il ne peut venir qu’en complément de
l’étude d’un bon manuel d’analyse complexe et équations différentielles.
Nous sommes très reconnaissants à Agnès Henri (EDP Sciences) pour sa
disponibilité et pour son aide, et plus particulièrement à Daniel Guin pour sa révision
très attentive de la traduction initiale.

Luís Barreira et Clàudia Valls
Barcelone, janvier 2011

7KLV SDJH LQWHQWLRQDOO\ OHIW EODQN

et

I

Exercices corrigés

2 +i(2 +i)(3 +i) 5+ 5i1 1
= == +i.
3−i(3−i)(3 +i) 10 22

(2 + 3i) + (5−i) = (2 + 5) + (3−1)i= 7 + 2i

I.1.

Solution.En multipliant le numérateur et le dénominateur par le conjugué de
3−i, on obtient

ExerciceI.2.Déterminer la partie réelle et la partie imaginaire de(2 +i)/(3−i).

Solution.On a

(2 + 4i)(3−i) = (2∙3−4∙(−1)) + (2∙(−1) + 4∙3)i= 10 + 10i.

l’ensembleCdes nombres complexes,
racines. On considère également
plucomme l’exponentielle, le cosinus, le

Les exercices de ce chapitre portent sur
leur addition, multiplication, puissances et
sieurs fonctions d’une variable complexe,
sinus et la valeur principale du logarithme.

ExerciceI.1.Calculer(2 + 3i) + (5−i)et(2 + 4i)(3−i).

NOMBRES COMPLEXES

Chapitre I.Nombres complexes

2

Donc,

2 +i1
ℜ=
3−i2
(voir la Figure I.1).

1/2

et

2 +i1
ℑ=
3−i2

(2 +i)/(3−i)

1/2

FigureI.1. Partie réelle et partie imaginaire de(2 +i)/(3−i).

3
ExerciceI.3.Déterminer le module et l’argument dei /(2 +i).

Solution.Puisque

3
i−i(2−i)−1−2i
= =,
2 +i(2 +i)(2−i) 5

on a

3 2
i1 25 1
= += =√
2 22
2 +i5 55 5
et
3
i−2/5
arg =π+ Arctan=π+ Arctan 2,
2 +i−1/5
oùArctanest la fonction réciproque de la fonction tangente, à valeurs dans
π π
l’intervalle]−,[.
2 2

ExerciceI.4.
5
calculerz.

√ √
Écrire le nombre complexez= 2−2isous la forme polaire et

I.1.Exercices corrigés

√
Solution.On a|z|= 2+ 2 = 2et
√
−2π
argz= Arctan√= Arctan(−1) =−.
2 4

−iπ/4
Ainsi,z= 2eet donc

5 5−i5π/4−i5π/4
z= 2e= 32e .

ExerciceI.5.Déterminer les racines cubiques de−4.

iπ
Solution.Soitz=−4. Puisque|z|= 4etargz=π, on az= 4e, et donc les
racines cubiques de−4sont
√ √
3 3
i(π+2πj)/3iπ(1+2j)/3
wj= 4e= 4e ,j= 0,1,2.

Plus précisément,
√
1 +i3
w0=√,
3
2

(voir la Figure I.2).

w1

√
3
w1=−4

et

w0

w2

√
1−i3
w2=√
3
2

√
3
4

FigureI.2. Racines cubiques de−4.

3

Chapitre I.Nombres complexes

4

ExerciceI.6.Calculerlog(−3)etlog(2 + 2i).

Solution.Soitz=−3. On a|z|= 3etargz=π, et donc

log(−3) = log3 +iπ.

Soit maintenantz= 2 + 2i. On a
√ √
2 2
|z|= 2+ 22= 8= 2

et

Donc,

2π
argz= Arctan= Arctan1 =.
2 4

√
π3π
logz2) += log(2i= log2 +i .
4 24

2i i
ExerciceI.7.Calculer(2i)et(−1).

iπ/2
Solution.Puisque2i= 2e, on a

et donc,

π
log(2i2 +) = logi
2

2i2ilog(2i)
(2i) =e
2i(log 2+iπ/2)
=e
i2 log 2−π
=e e

−π
=ecos(2 log 2) +isin(2 log 2).

iπ
D’autre part, puisque−1 = 1e, on a

et donc

log(−1) = log 1 +iπ=iπ

i ilog(−1)i(iπ)−π
(−1) =e=e=e .

z

z

w

w

I.1.Exercices corrigés

z+w

z+w

FigureI.3. Les pointsz,w,z+wet leurs conjugués.

ExerciceI.8.Vérifier quez+w=z+w(voir la Figure I.3).

Solution.On écritz=a+ibetw=c+id, aveca, b, c, d∈R. En prenant leurs
conjugués, on obtient alors

Donc,

D’autre part,

et donc

z=a−ib

et

w=c−id.

z+w= (a+c)−i(b+d).

z+w= (a+c) +i(b+d),

z+w= (a+c)−i(b+d).

L’identitéz+w=z+wrésulte alors de (I.1) et (I.2).

2
ExerciceI.9.Vérifier quezz=|z|.

(I.1)

(I.2)

5

Chapitre I.Nombres complexes

6

Solution.On écritz=a+ib, aveca, b∈R. Alorsz=a−ib, et donc,

zz= (a+ib)(a−ib)
2 2
= (a+b) +i(a(−b) +ba)
2 22
=a+b=|z|.

ExerciceI.10.Déterminer la partie réelle et la partie imaginaire de la fonction
3
f(z) =z+ 3.

Solution.On écritz=x+iy, avecx, y∈R. On obtient alors

et

Donc,

3 33 22 3
z= (x+iy) =x+ 3ix y−3xy−iy

3 22 3
f(z) = (x−3xy+ 3) +i(3x y−y).

3 2
ℜf(z) =x−3xy+ 3

et

2 3
ℑf(z) = 3x y−y .

ExerciceI.11.Déterminer la partie réelle et la partie imaginaire de la fonction
f(z) = logzpourℜz >0.

Solution.On écritz=x+iy, avecx, y∈R. Puisqueℜz >0, on a

y
2 2
|z|=x+yetargz= Arctan,
x
oùArctanest la fonction réciproque de la fonction tangente, à valeurs dans
π π
l’intervalle]−,[. Ainsi
2 2

et donc,

logz= log|z|+iargz
1y
2 2
= log(x+y) +iArctan,
2x

1
2 2
ℜf(zlog() =x+y)
2

et

y
ℑf(z) = Arctan.
x

ExerciceI.12.Déterminer l’ensemble des pointsz∈Ctels que2|z| ≤ |z−4|.

I.1.Exercices corrigés

Solution.Puisque|z|et|z−4|sont des nombres positifs ou nuls, la condition
2 2
2|z| ≤ |z−4|est équivalente à4|z| ≤|z−4|. Maintenant, on écritz=x+iy
avecx, y∈R. On a alors

2 22
4|z|= 4(x+y)

et

2 22 22
|z−4|= (x−4) +y=x−8x+ 16 +y .

2 2
Donc, la condition4|z| ≤|z−4|est équivalente à

et aussi à

2 22 2
4(x+y)≤x−8x+ 16 +y

2 2
3x+ 8x+ 3y≤16.

Puisque

2
4 16
2
3x+ 8x= 3x+−,
3 3
la condition (I.3) est alors équivalente à

2
4 64
2
x+ +y≤.
3 9

(I.3)

8
Donc, l’ensemble des pointsz∈Ctels que2|z| ≤ |z−4|est le cercle de rayon
3
4
centré en−(voir la Figure I.4).
3

−4/3

8 4
FigureI.4. Cercle de rayoncentré en−.
3 3

7

Chapitre I.Nombres complexes

8

2
ExerciceI.13.Déterminer l’ensemble des pointsz∈Ctels que|z|=z.

iα22 2iα
Solution.Soitz=|z|e. La condition|z|=zest équivalente à|z|=|z|e.
Maintenant, on observe quez= 0est une solution. Pourz= 0, on obtient la
2iα2iα
condition équivalente1 =|z|e, ce qui donne|z|= 1ete= 1(on rappelle
que deux nombres complexes sont égaux si et seulement s’ils ont le même
module et le même argument, à un multiple entier de2πprès). Par conséquent,
α= 0ouα=π, et donc,

iα i0
z=|z|e