Analyse dans les espaces métriques

Emmanuel Russ, Hervé Pajot

Description

L’analyse dans les espaces métriques est un domaine des mathématiques qui s’est beaucoup développé ces dernières années. Celui-ci a de nombreuses applications, en géométrie et en synthèse d’image par exemple. Ce livre, issu de plusieurs cours de Master 2 donnés à l’Université Grenoble Alpes, est destiné à un large public d’étudiants qui souhaitent aller au-delà des cours traditionnels d’analyse de niveau L3/M1, ainsi qu’à des chercheurs de divers domaines intéressés par les bases de l’analyse non lisse, notamment sur des espaces fractals.
Le premier chapitre propose quelques compléments de théorie de la mesure et introduit plusieurs notions et outils fondamentaux, ainsi que le groupe de Heisenberg. Les trois autres chapitres présentent une description de l’état de l’art sur la théorie géométrique de la mesure, les espaces de Sobolev, les inégalités de Poincaré et la théorie quasi-conforme, le tout dans les espaces métriques généraux. La théorie classique dans les espaces euclidiens est revue au début de chacun de ceux-ci.
Chaque chapitre du livre se termine par de nombreux exercices. Certains, donnant des compléments utiles au texte principal, sont inspirés d’articles de recherche récents.

Sujets

• Sciences & Techniques
• Mathématiques
• Sciences formelles
• Mathématiques générales
• Calcul
• Mathématiques générales
• Mathématiques fondamentales
• Mathématiques pures
• Mathematical Analysis
• Sciences et techniques
• mathématiques
• Mathematics

Informations

• Publié par: EDP Sciences
• Date de parution: 03 mai 2018
• Nombre de lectures: 6
• EAN13: 9782759822577
• Langue: Français
• Poids de l'ouvrage: 3 Mo

Extrait

Hervé Pajot et Emmanuel Russ

Analyse dans les espaces
métriques
SAVOIRS ACTUELS
EDPSciences/CNRSÉDITIONSImprimé en France.


© 2018, EDP Sciences, 17, avenue du Hoggar, BP 112, Parc d’activités de Courtabœuf,
91944 Les Ulis Cedex A
et
CNRS ÉDITIONS, 15, rue Malebranche, 75005 Paris.

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ISBN EDP Sciences 978-2-7598-2256-0 (papier) – 978-2-7598-2257-7 (ebook)
ISBN CNRS Éditions 978-2-271-12149-3 (papier) – 978-2-271-12150-9 (ebook) TABLE DES MATIÈRES
Motivations et plan................................................ 1
Notations............................................................ 5
Espaces métriques................................................ 5
Structures euclidiennes............................................ 5
Mesures........................................................... 6
Espaces fonctionnels.............................................. 6
1. Éléments de théorie de la mesure............................. 7
1.1. Mesures...................................................... 7
n1.2. La mesure de Lebesgue dansR .............................. 21
1.3. Lemmes de recouvrement.................................... 36
1.4. Espaces de nature homogène................................. 46
1.5. Compléments sur les groupes de Lie.......................... 56
1.6. Fonction maximale de Hardy-Littlewood..................... 66
1.7. Différentiation de mesures.................................... 71
1.8. Exercices..................................................... 96
2. Applications lipschitziennes et théorie géométrique de la
mesure............................................................ 107
2.1. Définition,exemplesetpropriétésélémentairesdesapplications
lipschitziennes................................................ 107
2.2. Mesures et dimension de Hausdorff........................... 110
2.3. Différentiabilité des applications lipschitziennes
et approximation par des fonctions lisses..................... 134
2.4. Théorèmes de prolongement des applications lipschitziennes . 159
2.5. Autour de la théorie de la rectifiabilité....................... 171
2.6. Formules de l’aire et de la coaire............................. 195
2.7. Exercices..................................................... 214ii TABLE DES MATIÈRES
3. Espaces de Sobolev............................................. 225
n3.1. Espaces de Sobolev dans des ouverts deR .................. 225
3.2. Espaces de Sobolev dans les espaces métriques............... 272
3.3. Exercices..................................................... 301
4. Inégalités de Poincaré, espaces de Loewner et applications309
4.1. Le cas euclidien.............................................. 309
4.2. Inégalités de Poincaré dans les espaces métriques............ 319
4.3. Exemples d’espaces de Loewner.............................. 346
4.4. Applications.................................................. 379
4.5. Exercices..................................................... 402
Bibliographie....................................................... 409
Index terminologique.............................................. 421MOTIVATIONS ET PLAN
Les notes qui suivent correspondent à un cours de M2 recherche donné
par les auteurs à l’université Joseph Fourier en 2014-2015 mais ont été
complétées pour aller plus loin qu’un cours de niveau master. On s’y consacre
à l’analyse dans les espaces métriques mesurés, en se concentrant
essentiellement sur les questions de différentiabilité dans les espaces métriques
et le texte contient aussi bien des résultats et outils classiques (lemmes de
recouvrement, fonction maximale, différentiation de mesures) que des
développements récents concernant la théorie géométrique de la mesure et le
calcul des variations, les espaces de Sobolev et les inégalités de Poincaré
dans les espaces métriques.
nLes espaces de Sobolev dans des ouverts deR jouent depuis longtemps
un rôle essentiel dans diverses branches des mathématiques (analyse,
équations aux dérivées partielles, géométrie). Rappelons que, si p 2 [1; +1]
n pet UR est un ouvert, une fonction u2L (U) appartient à l’espace de
1;pSobolevW (U)si,etseulementsi,upossèdeungradientfaible(ausensdes
pdistributions) qui appartient à L (U). Les propriétés de base de cet espace
1;p n(densité des fonctions lisses, prolongement en une fonction de W (R ),
règle de composition, changement de variables, existence de la trace sur@U,
pplongements dans des espaces L ou des espaces de fonctions hölderiennes)
sont bien connues et classiques (voir par exemple [1, 22, 45, 102, 154]).
Certaines propriétés de ces espaces (notamment les inégalités données par
les plongements de Sobolev) ont pu être étendues à des contextes
géométriques plus généraux. En particulier, certaines inégalités de Sobolev sont
reliées au comportement du semi-groupe de la chaleur engendré par
l’opérateur de Laplace-Beltrami sur des variétés, et des phénomènes comparables
ont été découverts dans des contextes discrets (groupes, graphes). On se
reportera à [145] pour ces différents contextes géométriques.2 MOTIVATIONS ET PLAN
LathéoriedesespacesdeSobolevdansdesespacesmétriquesacommencé
à être développée à la fin des années 1990. Une motivation de ce
développement était l’étude (motivée elle-même par des questions de rigidité en
géométrie hyperbolique par exemple) des applications quasi-conformes dans les
nespaces à géométrie bornée. Rappelons que, dansR , un homéomorphisme
nquasi-conforme entre des domaines deR est différentiable presque partout
1;net appartient localement à W . La notion d’application quasi-conforme
s’étend sans difficulté aux espaces métriques. Toutefois, l’identification des
conditions géométriques sur l’espace qui permettent de donner une
description analytique des applications quasi-conformes dans un espace métrique
a été une étape essentielle du développement de l’analyse dans les espaces
métriques mesurés, mettant en évidence le rôle central joué par la condition
de doublement et les inégalités de Poincaré sur les boules. Ceci a amené à
la notion d’espace de Loewner, qui est devenu un cadre général pour traiter
de questions d’analyse géométrique.
Un objectif majeur de ce cours est de présenter des développements
récents de l’analyse dans les espaces métriques, en mettant l’accent sur la
différentiabilitédanslesespacesmétriques,lathéoriegéométriquedelamesure
etlecalculdesvariations,lesespacesdeSobolevetlesinégalitésdePoincaré.
Nous commencerons toujours par rappeler la situation classique, c’est-à-dire
dans les espaces euclidiens munis de la mesure de Lebesgue. Puis, nous
expliquerons comment l’étendre à d’autres contextes géométriques (espaces de
Banach, groupes de Carnot, espaces métriques à géométrie bornée...). Ces
notes ne prétendent pas donner une présentation exhaustive de l’analyse
dans les espaces métriques, un domaine qui a connu un fort développement
ces dernières années. Le cours est accessible à tout étudiant ayant un
niveau M1 et comporte notamment les compléments nécessaires en théorie de
lamesure.Nousinsisteronssurlesaspects«géométriemétrique».Ainsi,des
connaissances en géométrie riemannienne ne sont pas nécessaires (même si
elles peuvent être utiles parfois, voir le chapitre 4 pour une introduction à la
notion de courbure). Plus de 80 exercices et problèmes sont aussi proposés.
On décrit maintenant brièvement le contenu des quatre chapitres. Le
premier présente des résultats fondamentaux d’analyse dans les espaces de
nature homogène. Ces espaces ont été introduits dans les années 1970 par
Coifman et Weiss ([28]) comme un cadre général pour faire de l’analyse
harmonique (sans théorie des représentations). Un espace de nature homogène
est un espace métrique (X;d) muni d’une mesure de Radon qui
satisfait à la condition de doublement, c’est-à-dire(B(x; 2r))6C (B(x;r))DV
pour une certaine constante uniforme C > 0 (appelée souvent constanteDV
de doublement). On commence par donner des compléments de théorie deMOTIVATIONS ET PLAN 3
la mesure et d’analyse (théorèmes de représentation de Riesz, de
RadonNikodym, d’Egoroff, lemme d’Urysohn, inégalité isodiamétrique...). On
introduit ensuite les espaces de nature homogène et l’on décrit un exemple
fondamental qui sera repris plusieurs fois dans le cours : le groupe de
Heisenberg (ou plus généralement les groupes de Carnot). On démontre les
théorèmes de recouvrement classique (lemme 5r, Vitali, Besicovitch...) et
on en donne des applications : théorème de différentiation de Lebesgue,
fonction maximale de Hardy-Littlewood, dérivation de mesures, fonctions
absolument continues... Ce chapitre doit être considéré comme un
prolongement des cours classiques d’analyse et d’intégration de L3 et M1.
Le chapitre 2 porte sur les fonctions lipschitziennes et propose une
introduction à la théorie géométrique de la mesure et au calcul des variations.
On démontre les principales propriétés des fonctions lipschitziennes dans le
cas euclidien : théorème de Rademacher sur la différentiabilité, théorème
de Kirszbraun sur l’extension, théorème de Whitney (approximation par
des fonctions lisses)