Analyse numérique et équations différentielles

Jean-Pierre Demailly

Description

Cet ouvrage est la quatrième édition d’un livre devenu aujourd’hui un classique sur la théorie des équations différentielles ordinaires. Le cours théorique de base est accompagné d’un exposé détaillé des méthodes numériques qui permettent de résoudre ces équations en pratique.

De multiples techniques de l’analyse numérique sont présentées : interpolation polynomiale, intégration numérique, méthodes itératives pour la résolution d’équations. Suit un exposé rigoureux des résultats sur l’existence, l’unicité et la régularité des solutions des équations différentielles, avec étude détaillée des équations du premier et du second ordre, des équations et systèmes linéaires à coefficients constants. Enfin, sont décrites les méthodes numériques à un pas ou multi-pas, avec étude comparative de la stabilité et du coût en temps de calcul. De nombreux exemples concrets, des exercices et problèmes d’application en fin de chapitre facilitent l’apprentissage.

Plusieurs améliorations ont été apportées dans cette dernière version. De nouveaux problèmes ou exercices ont été introduits dans presque tous les chapitres. La principale nouveauté est que l’ouvrage est maintenant un pap-ebook : le site compagnon en accès libre propose au lecteur des compléments théoriques et pratiques, ainsi que la correction d’un grand nombre d’exercices.

Cet ouvrage accessible aux L3, M1 et M2 de mathématiques est très utilisé pour la préparation aux concours de l’enseignement. Il constitue un outil de référence pour les enseignants, chercheurs et scientifiques d’autres disciplines.

Sujets

• Sciences & Techniques
• Mathématiques
• Sciences formelles
• Mathématiques générales
• Mathématiques générales
• Mathématiques fondamentales
• Mathématiques pures
• Mathematics
• Sciences et techniques

Informations

• Publié par: EDP Sciences
• Date de parution: 10 mai 2016
• Nombre de lectures: 7
• EAN13: 9782759820047
• Langue: Français
• Poids de l'ouvrage: 2 Mo

Extrait

CO L L E C T I O NGR E N O B L ESC I E N C E S
DIRIGÉE PAR JEAN BORNAREL

ANALYSE NUMÉRIQUE
ET ÉQUATIONS
DIFFÉRENTIELLES

Nouvelle édition avec exercices corrigés

Jean-Pierre DEMAILLY

Analyse numérique
et équations différentielles

Grenoble Sciences
Grenoble Sciences est un centre de conseil, expertise et labellisation de l’enseignement
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à plusieurs niveaux (référés anonymes, comité de lecture interactif) qui permet la
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◮
des projets clairement définis sans contrainte de mode ou de programme,
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◮

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ISBN 978 2 7598 1926 3
cEDP Sciences 2016

Analyse numérique
et équations différentielles

Jean-Pierre Demailly

17, avenue du Hoggar
Parc d’Activité de Courtabœuf - BP 112
91944 Les Ulis Cedex A - France

Analyse numérique et équations différentielles
Cet ouvrage, labellisé par Grenoble Sciences, est un des titres du secteur
Mathématiques de la collection Grenoble Sciences d’EDP Sciences, qui regroupe des projets
originaux et de qualité. Cette collection est dirigée par Jean Bornarel, Professeur
émérite à l’Université Grenoble Alpes.
Comité de lecture de l’édition précédente :
◮
M. Artigue, Professeur à l’IUFM de Reims,
A. Dufresnoy, Professeur à l’Université Joseph Fourier, Grenoble 1,
◮
J.R. Joly, Professeur à l’Université Joseph Fourier, Grenoble 1,
◮
◮
M. Rogalski, Professeur à l’Université des Sciences et Technologies, Lille 1.
Cette nouvelle édition a été suivie par Stéphanie Trine. L’illustration de couverture
est l’œuvre d’Alice Giraud.

Autres ouvrages labellisés sur des thèmes proches (chez le même éditeur)
Méthodes numériques appliquées pour le scientifique et l’ingénieur (J.-P.Grivet)
•Petit traité d’intégration (J.-Y. Briend)•Introduction aux variétés
différentielles (J. Lafontaine)•Nombres et algèbre (J.-Y.
Mérindol)•Exercices corrigés d’analyse avec rappels de cours. Tomes I et II (D. Alibert)
•Outils mathématiques à l’usage des scientifiques et ingénieurs (E.
Belorizky)•Mathématiques pour l’étudiant scientifique. Tomes I et II (P.-J. Haug)
•Mécanique. De la formulation lagrangienne au chaos hamiltonien (C. Gignoux
& B. Silvestre-Brac)•Problèmes corrigés de mécanique et résumés de cours.
De Lagrange à Hamilton (C. Gignoux & B. Silvestre-Brac)•Mathématiques pour
les sciences de la Vie, de la Nature et de la Santé (J.-P. Bertrandias & F.
Bertrandias)•Description de la symétrie. Des groupes de symétrie aux structures fractales
(J. Sivardière)•Symétrie et propriétés physiques. Des principes de Curie aux
brisures de symétrie (J. Sivardière)•Approximation hilbertienne. Splines, ondelettes,
fractales (M. Attéia & J. Gaches)•Analyse statistique des données expérimentales
(K. Protassov)•Introduction à la mécanique statistique (E. Belorizky & W. Gorecki)
•Mécanique statistique. Exercices et problèmes corrigés (E. Belorizky & W. Gorecki)
•Magnétisme : I Fondements, II Matériaux (sous la direction d’E. du Trémolet de
Lacheisserie)•La mécanique quantique. Problèmes résolus. Tomes I et II (V.M.
Galitski, B.M. Karnakov & V.I. Kogan)•Relativité générale et astrophysique, problèmes
et exercices corrigés (Denis Gialis & François-Xavier Désert)•Éléments de Biologie
à l’usage d’autres disciplines. De la structure aux fonctions (P. Tracqui & J.
Demongeot)•Minimum Competence in Scientific English (S. Blattes, V. Jans & J. Upjohn)

et d’autres titres sur le site internet
https://grenoble-sciences.ujf-grenoble.fr

Table

des

mati`res

Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1

Chapitre I.Calculs num´riques approch´s. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 5

1. Cumulationdes erreurs d’arrondi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 5
2. Ph´nom`nesde compensation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3. Ph´nom`nesd’instabilit´ num´rique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .15
4. Probl`mes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

Chapitre II.Approximation polynomiale des fonctions num´riques. . . . . . . . . . . .21

1.
2.
3.
4.
5.
6.

M´thode d’interpolation de Lagrange. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Convergence des polynˆmes d’interpolation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Meilleure approximation uniforme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Stabilit´ num´rique du proc´d´ d’interpolation de Lagrange. . . . . . . . . . . . . . . . .
Polynˆmes orthogonaux. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Probl`mes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21
31
40
47
52
57

Chapitre III.Int´gration num´rique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

1. M´thodesde quadrature ´l´mentaires et compos´es. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .61
2. ´valuationde l’erreur. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
3. M´thodesde Gauss. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .76
4. Formuled’Euler-Maclaurin et d´veloppements asymptotiques. . . . . . . . . . . . . . . .80
5. M´thoded’int´gration de Romberg. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 88
6. Probl`mes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .92

Chapitre IV.M´thodes it´ratives pour la r´solution d’´quations. . . . . . . . . . . . .101

1. Principedes m´thodes it´ratives. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .101
2. Casdes fonctions d’une variable. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .103

vi

Analyse num´rique et ´quations diff´rentielles

m m
3. Casdes fonctions deRdansR. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
4. Leth´or`me des fonctions implicites. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .122
5. Probl`mes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

Chapitre V.´quations diff´rentielles.R´sultats fondamentaux. . . . . . . . . . . . . . .135

1. D´finitions. Solutions maximales et globales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .135
2. Th´or`med’existence des solutions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 141
3. Th´or`med’existence et d’unicit´ de Cauchy-Lipschitz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .150
4. ´quationsdiff´rentielles d’ordre sup´rieur ` un. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .157
5. Probl`mes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .159

Chapitre VI.M´thodes de r´solution explicite des ´quations diff´rentielles. . .169

1. ´quationsdu premier ordre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
′
2. ´quationsdu premier ordre non r´solues eny .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .185
er
3. Probl`mesg´om´triques conduisant ` des ´quations diff´rentielles du 1ordre 191
4. ´quationsdiff´rentielles du second ordre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 198
5. Probl`mes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .208

Chapitre VII.Syst`mes diff´rentiels lin´aires. . . . . . . . . . . . . . . . . .