Analysis Band 1

Behrends Ehrhard

Description

Analysis verständlich dargestellt und von Studierenden mitentwickelt

Das Buch geht besonders auf die Studierenden ein und hat eine Sammlung von Verständnisfragen nach jedem Kapitel

Vollständige, ausführliche Lösungen zu den Übungsaufgaben auf der Autorenwebsite http://page.mi.fu-berlin.de/bhrnds/analysis/

Bei dieser Neuauflage wurden Tipps zu den Übungsaufgaben hinzugefügt

Includes supplementary material: sn.pub/extras

In diesem Analysisbuch wird besonders viel Wert darauf gelegt, die Anfängerschwierigkeiten zu berücksichtigen: Alle neuen Begriffe werden ausführlich motiviert, die Beweisstrukturen werden so transparent wie möglich gemacht. Während der Vorbereitung gab es eine besonders intensive Zusammenarbeit mit einer Gruppe von Studierenden; alles, was ihrer Meinung nach zum besseren Verständnis hätte gesagt werden können, ist aufgenommen worden. Das Buch enthält zahlreiche Übungsaufgaben und Tipps zur Lösung. Die vollständigen, ausführlichen Lösungen zu den Übungsaufgaben findet man auf der Verlagswebsite. Das Buch ist auch zum Selbststudium geeignet. Schon im Text gibt es zahlreiche Fragen zum Mitdenken, und nach jedem Kapitel findet man - für spätere Prüfungsvorbereitungen - eine Sammlung von Verständnisfragen.
Es werden auch viele Fragen angesprochen, die nicht direkt zur Analysis gehören: Grundlagen der Logik, Computeralgebrasysteme, Mathematik und Realität usw.

Die Menge R der reellen Zahlen.- Folgen und Reihen.- Metrische Räume und Stetigkeit.- Differentiation (eine Veränderliche).- Tipps zu den Übungsaufgaben.- Anhänge.

Sujets

• Sciences formelles
• Mathématiques générales
• Mathématiques générales
• Mathématiques fondamentales
• Mathématiques pures
• Taylor
• A
• Analysis
• Mathematics
• Sciences et techniques
• Mathematical Analysis

Informations

• Publié par: Springer Fachmedien Wiesbaden
• Date de parution: 12 septembre 2014
• Nombre de lectures: 0
• EAN13: 9783658071233
• Langue: Deutsch
• Poids de l'ouvrage: 4 Mo

Extrait

Analysis Band 1Ehrhard Behrends
Analysis Band 1
Ein Lernbuch für den sanften Wechsel
von der Schule zur Uni. Von Studenten
mitentwickelt
6., erweiterte Auf ageEhrhard Behrends
Fachbereich Mathematik und Informatik
Freie Universität Berlin
Berlin, Deutschland
ISBN 978-3-658-07122-6 ISBN 978-3-658-07123-3 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-658-07123-3
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detaillierte bibliograf sche Daten sind im Internet über http://dnb.d-nb.de abruf ar.
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www.springer-spektrum.deVorwort
Zun¨achst:HerzlichenGluc¨ kwunschzuIhremEntschluss,Mathematik
zustudieren. Sie haben sich ein Fach ausgesucht, das Sie ein ganzes Leben lang
faszinieren kann und das gleichzeitig interessante und gut bezahlte
Berufsperspektiven eroffnet.¨
Zu Beginn des Studiums stehen zwei Bereiche im Vordergrund, einmal die
Analysis, in der es um Fragen im Zusammenhang mit Grenzwerten,
Differentialund Integralrechnung geht, und dann die Lineare Algebra, in der Sie
Grundlegendes ub¨ er Vektorr¨aume und die Verbindungen zur analytischen Geometrie
und dem L¨osen von Gleichungssystemen lernen.
Beides zusammen ist so etwas wie das Alphabet, das alle kennen mussen,¨ die
sich ernsthaft mit Mathematik auseinander setzen wollen.
Im vorliegenden Buch geht es um die Analysis, es ist aus einem Skript
entstanden, das schon mehrfach die Grundlage fur Vorlesungen an der Freien Uni-¨
versitat Berlin gewesen ist. Bei der Ausarbeitung spielte die engagierte Mit-¨
wirkung einer Gruppe von Studierenden eine ganz wesentliche Rolle. Durch sie
wurden zahlreiche Anregungen zusatzlich aufgenommen, damit das im Unterti-¨
¨tel anvisierte Ziel, der sanfte Ubergang“, auch wirklich erreicht wird. Auf diese
”
Weise hat das Buch so etwas wie ein Studentenzertifikat.
Die ausfuhr¨ lichen Erl¨auterungen betreffen nicht nur die Analysis, es werden
auch Probleme behandelt, die sich ganz allgemein rund um das
Mathematikstudium ergeben: Wie schreibt man einen Beweis auf? Was bedeuten die logischen
Zeichen? Wie wird Mathematik angewendet?
Viel Erfolg bei Ihrem Studium!
Ehrhard Behrends, Berlin (Fru¨hjahr 2003)
Vorwort zur sechsten Auflage
Mittlerweilesinddie erstenfunfAuflagen ausverkauft.Esfreut michwirklich¨
sehr, dass das Buch so gut angenommen wird. Wie sehr es den Lesern gefallt,¨
merke ich auch an den sehr positiven bis euphorischen E-Mail-Zuschriften, die
mich hin und wieder erreichen.
Die vorliegende sechste Auflage ist noch einmal systematisch durchgesehen
¨worden.Auch bin ich dem Wunsch mehrerer Lesernachgekommen, alle
Ubungsaufgaben durch Tipps zu erganzen.¨ Bitte nutzen Sie die recht sparsam:
Erfahrungsgem¨aß wird n¨amlich ein Konzept umso besser verstanden, je mehr eigene
Gedanken man sich dazu gemacht hat.
Ehrhard Behrends, Berlin (August 2014)Einleitung
Es geht nicht anders, lieber T¨orleß, die Mathematik ist eine ganze Welt
fu¨r sich, und man muß reichlich lange in ihr gelebt haben, um alles zu
fuhl¨ en, was in ihr notwendig ist.
(aus: Die Verwirrungen des Zoglings Torleß“ von Robert Musil.)¨ ¨”
Wennjemandwissenwill,wieeinRadiofunktioniert,sokannersichineinem
kleinen Vortrag daru¨ber informieren lassen, wie man Transistoren,
Kondensatoren usw. zusammenl¨oten muss, um die Radiosignale des Senders in h¨orbare
Musik zu verwandeln.Auf die Anschlussfrage Wie funktioniertein Transistor?“
”
mu¨sste ein Kurzreferat zur Festk¨orperphysik folgen, schnell ist man bei der
Quantenmechanik und den Grenzen des gegenw¨artigen Wissens im
subatomaren Bereich. Stets lasst sich eine weitere Warum?“-Frage stellen, ein Ende des¨
”
Weiterfragens gibt es nicht.
In der Mathematik ist es ¨ahnlich; um trotzdem mit der Arbeit anfangen
zu konnen, geht man von Axiomen aus. Ein Axiom ist ein Ausgangspunkt, der¨
nichtmehr hinterfragtwird; die Idee, aufdiese Weise ein belastbaresFundament
der Mathematik zu schaffen, wurde erstmals vor uber 2000 Jahren von Euklid¨
verwirklicht. Bei ihm ging es um Geometrie, in diesem Buch werden Zahlen die
Hauptrolle spielen.
Ausgangspunkt der Analysis wird eine axiomatische Festlegung der
Eigenschaften der reellen Zahlen sein, das wollen wir in Kapitel 1 in Angriff nehmen.
Am Ende dieses Kapitels wird klar sein, was wir unter der Menge der
re”
ellen Zahlen“ verstehen wollen. Dazu muss man einige Vokabeln“ lernen, die
”
ausfuhrlichmotiviertund erlautertwerden:Menge,Addition,...Außerdemwer-¨ ¨
denschondie erstenFolgerungenausdenAxiomengezogen,Sielernendieersten
Satze und Beweise kennen. Dazu ist ein Exkurs in Logik notwendig; von dem¨
Wort sollte sich aber niemand erschrecken lassen, denn es ist nichts weiter
er¨forderlich als die Ubertragung des gesunden Menschenverstands in den Bereich
der Mathematik.
In Kapitel 2beschaftigenwiruns dannausfuhrlichmit dem Grenzwertbegriff.¨ ¨
Der ist fundamental fur die gesamte Analysis, wirklich alles, was folgt, baut¨
1)daraufauf.SiealsAnf¨anger habendasgroßeGluc¨ k,ihnineinervergleichsweise
gut verst¨andlichen Form kennen lernen zu k¨onnen. Das war nicht immer so, bis
zum 19. Jahrhundert war man auf eine mehr oder weniger gut funktionierende
Intuition angewiesen, um mit den unendlich kleinen Gr¨oßen“ sinnvoll arbeiten
”
zu k¨onnen. Rund um den Grenzwertbegriff wird von einigen damit
zusammenhangenden Begriffen die Rede sein, wie Folgen, Reihen, Cauchy-Folgen usw.¨
Kapitel 3 ist den Themen Abstand“ und Stetigkeit“ gewidmet. Oft ist es
” ”
n¨amlich so, dass man mit Zahlen oder Funktionen arbeiten muss, die man nur
ungefahr kennt. Statt mit der richtigen“ Zahl/Funktion muss man mit einer¨
”
1)Natu¨rlich sind Anfanger¨ innen ebenfalls gemeint. Diese Bemerkung gilt sinngem¨aß auch
fur¨ die vielen anderen Stellen dieses Buches, an denen Sie pers¨onlich angesprochen werden.viii EINLEITUNG
√
arbeiten, die in der Nahe liegt, z.B. statt mit 2 mit der Approximation 1.414.¨
Hat das zu große Fehler fur das Endresultat zur Folge?¨
Der geeignete Rahmen fur¨ die Behandlung dieser Fragen ist der Begriff des
metrischen Raumes, damit wird in Kapitel 3 begonnen. Wir beschaf¨ tigen
uns
¨zun¨achstmitderUbertragungdesKonvergenzbegriffsundmitoffenenundabgeschlossenen Mengen. Dann studieren wir Kompaktheit. Das ist ein fur¨ Anf¨anger
etwas schwieriger zug¨anglicher Begriff, Motivation und Aufbau werden
dementsprechend besonders ausfuhrlich sein.¨
Und am Ende des Kapitels behandeln wir stetige Funktionen“,das sind
Ab”
bildungen, die nahe beieinander liegende Objekte aufebenfalls nahe beieinander
liegende abbilden. Bei dieser Gelegenheit wird auch etwas ub¨ er mathematische
Modelle gesagt werden: Wie wird Mathematik in der richtigen“ Welt
angewen”
det?
Kapitel 4 knupft¨ wieder an ein Thema an, das Ihnen aus der Schule vertraut
ist, es geht um die Differentiation. Das Kapitel beginnt mit der Formalisierung
der Idee, dass differenzierbar bei x“fur eine Funktion f bedeutet, dass sie in0 ¨
” ”
der Nahe von x “ durch ihre Tangente ersetzt werden darf. Es handelt sich um¨ 0
eine Eigenschaft mit weit reichenden Konsequenzen, insbesondere werden wir
die Mittelwertsatze kennen lernen.¨
Dann ist es Zeit, sich um ein fast unersch¨opfliches Reservoir konkreter
Funktionen zu kummer¨ n, um Potenzreihen. Das sind Funktionen, die sich aus den
einfachsten Bausteinen fur¨ das Arbeiten mit Zahlen, also aus +“, ·“ und
” ”
Grenzwerten aufbauen lassen. Potenzreihen werden gleich angewendet, um
einige spezielle, fur konkrete Rechnungen wichtige Funktionen – Exponentialfunk-¨
tion, Logarithmus und trigonometrische Funktionen – kennen zu lernen. Damit
ist dann der Weg frei, um einige einfache Typen von Differentialgleichungen
zu losen. Differentialgleichungen sind deswegen wichtig, weil sie am Ende vieler¨
mathematischer Modellierungen stehen, der Grund ist die Tatsache, dass
viele Ph¨anomene allein durch Nahwirkungs-Einflusse¨ beschrieben werden k¨onnen.
Außerdem wird gezeigt, wie sich aus der Existenz beliebiger Wurzeln im
Bereich der komplexen Zahlen der Fundamentalsatz der Algebra mit analytischen
Mitteln herleiten l¨asst.
Ich m¨ochte Sie noch auf einige Besonderheiten aufmerksam machen, die
Ihnen das Durcharbeiten des Buches erleichtern sollen:
¨• Am Ende jedes Kapitels finden Sie Ubungsaufgaben. In der Mathematik
ist es n¨amlich wie beim Geige spielen, Ski fahren, Schnur¨ senkel binden:
Aus Buchern allein kann man es nicht lernen, man muss es selber gemacht¨
haben. Mit hoher Wahrscheinlichkeit klappt es nicht gleich beim ersten
Mal perfekt. Deswegen haben wir fur Sie einige Musterlosungen auf der¨ ¨
Internetseite http://www.math.fu-berlin.de/~behrends/analysisins
Netz gestellt.
• Jedes Kapitel schließt mit einer Reihe von Verstandnisfragen. Was sollten¨
Sie nach dem Durcharbeiten kennen, was sollten Sie k¨onnen?Antworten
sind natur¨ lich auch vorbereitet, die stehen ebenfalls im Internet.EINLEITUNG ix
• Es gibt am Anfang eines Mathematik-Studiums ziemlich viele neue
Begriffe, die man verinnerlichen muss. Deswegen ist versucht worden, das
schnelle Finden von Informationen durch Ausnutzen der Randspalten zu
erleichtern. Sie finden Stichpunkte zum behandelten Stoff