Applications mathématiques avec MATLAB Vol. 3 : théorie élémentaire du signal , livre ebook

Théorie élémentaire du signal© LAVOISIER, 2005
LAVOISIER
11, rue Lavoisier
75008 Paris
Serveur web : www.hermes-science.com
2-7462-0993-4 ISBN Général
2-7462-0996-9 ISBN Volume 3
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®AVEC MATLAB
Théorie élémentaire
du signal
rappel de cours et exercices corrigés
Luc Jolivet
Rabah Labbas

TabledesmatiŁres
Avant-propos ..................................... 9
Chapitre1.Les nombrescomplexes ....................... 13
1.1. DØÞnitionsetreprØsentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.1.1. PartierØelleetpartieimaginaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.1.2. Moduleetargument . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.2. OpØrationssurlescomplexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.2.1. EgalitØdedeuxcomplexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.2.2. ComplexesconjuguØs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.2.3. Sommeetproduitdedeuxcomplexes . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.2.4. NotationalgØbriqueettrigonomØtrique . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.2.5. CalculsavecMatlab.......................... 18
1.2.6. FormuledeDeMoivreetapplications . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.2.7. Formulesd Euleretexponentiellecomplexe . . . . . . . . . . . . 21
1.2.8. Racinesn d uncomplexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.3. Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.3.1. ModuleetargumentavecMatlab .................. 25
1.3.2. PartierØelleetpartieimaginaireavecMatlab ........... 25
1.3.3. VØriÞcationsd identitØscomplexes . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.3.4. Racinescubiquesde ........................ 26
1.3.5. Polyn mesdeTchebycheff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.4. Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
Chapitre2.GØnØralitØssurlessignaux ..................... 35
2.1. IntroductionetdØÞnitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.1.1. Qu est-cequ unsignal? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.1.2. DiffØrentstypesdesignaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.1.3. Remarques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
56 MathØmatiques avec Matlab
2.1.4. Analyseetreconstitutiond unsignal . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.2. Exempledesignalcausal,introductifàladistributiondeDirac . . . . . 39
2.3. Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.3.1. Etuded unsignalàvaleurscomplexes . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.3.2. Etuded unsignaloscillant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.4. Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
Chapitre3.NotionssurlessØries ......................... 53
3.1. Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.2. SØriesnumØriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.2.1. DØÞnitions-Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.2.2. EspacevectorieldessØriesconvergentes . . . . . . . . . . . . . . 58
3.2.3. CritŁresdeconvergencepourlessØriesàtermespositifs . . . . . 58
3.2.4. SØriesalternØesetcritŁred Abel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.2.5. CalculsavecMatlab.......................... 60
3.3. SØriesdefonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.3.1. Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.3.2. DØÞnitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
3.3.3. PropriØtØsdessØriesdefonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
3.4. Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
3.4.1. SØriesnumØriques:Øtudedeconvergence . . . . . . . . . . . . . 67
3.4.2. SØriesgØomØtriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
3.4.3. SØriedefonctionsàvaleurscomplexes . . . . . . . . . . . . . . . 68
3.4.4. SommestrigonomØtriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
3.5. Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
Chapitre4.AnalysedessignauxpØriodiques .................. 75
4.1. LessØriestrigonomØtriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
4.1.1. DØÞnitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
4.1.2. ConvergencedelasØrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
4.1.3. Illustrationgraphique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
4.2. SØriesdeFourierd unsignal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
4.2.1. CoefÞcientsdeFourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
4.2.2. PropriØtØsdessØriesdeFourier. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
4.2.3. EnergieetformuledeParsevald unsignal . . . . . . . . . . . . . 78
4.2.4. ExemplemodŁle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
4.2.5. EcriturecomplexedessØriesdeFourier . . . . . . . . . . . . . . . 83
4.3. Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
4.3.1. SØriedeFourierd unsignalcrØneau . . . . . . . . . . . . . . . . 89
4.3.2. SØriedeFourierd unsignalsinuso dalredressØ . . . . . . . . . . 90
4.4. Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91











Tabledes matiŁres 7
Chapitre5.NotionssurlesintØgralesgØnØralisØes ............... 99
5.1. Casd unintervallebornØ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
5.1.1. DØÞnition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
5.1.2. ExemplederØfØrence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
5.1.3. CritŁresdeconvergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
5.1.4. Remarque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
5.2. Casd unintervallein Þni ..................... 103
5.2.1. DØÞnition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
5.2.2. Remarque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
5.3. Casd unintervalleouvert ....................... 105
5.3.1. DØÞnition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
5.3.2. Remarque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
5.4. IntØgralegØnØralisØesousMatlab ..................... 107
5.5. Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
5.5.1. IntØgralegØnØralisØeetfonctionsØquivalentes . . . . . . . . . . . 107
5.5.2.deGauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
5.5.3. IntØgralegØnØralisØesur .................. 108
5.6. Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
Chapitre6.Laconvolutiondesignaux ...................... 113
6.1. Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
6.2. DØÞnitionsetpropriØtØs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
6.2.1. Convolutioncontinue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
6.2.2. Exempledeconvolutioncontinue . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
6.2.3. ConvolutiondiscrŁte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
6.2.4. ExempledeconvolutiondiscrŁte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
6.3. Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
6.3.1. Convolutiondedeuxportes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
6.3.2. Convolutiond unsignalparuneportedeDirac . . . . . . . . . . 124
6.3.3. Constructiond unefonction"plateau" . . . . . . . . . . . . . . . 125
6.4. Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
Chapitre7.AnalysedesignauxapØriodiques .................. 139
7.1. Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
7.2. LatransformØedeFouriercontinue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
7.2.1. DØÞnition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
7.2.2. ConditionssufÞsantesd existence . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
7.2.3. Remarque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
7.2.4. Temporel/FrØquentiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
7.2.5. Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
7.2.6. PropriØtØs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
7.2.7. TransformØedeFourierinverse. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
8 MathØmatiques avec Matlab
7.3. TransformØedeFourieretsignauxdiscrets . . . . . . . . . . . . . . . . 147
7.3.1. TransformØedeFourieràtempsdiscret . . . . . . . . . . . . . . . 147
7.3.2. TdeFourierdiscrŁte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
7.3.3. PropriØtØsdelaTFD. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
7.3.4. NotiondeÞltred unsignal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
7.4. Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
7.4.1. SignaltriangulaireettransformØedeFourier . . . . . . . . . . . . 162
7.4.2.detypeexponentielettransformØedeFourier . . . . . . . 163
7.4.3. TFDd