Calcul en logique du premier ordre
306 pages
Français
Obtenez un accès à la bibliothèque pour le consulter en ligne
En savoir plus

Calcul en logique du premier ordre

-

Obtenez un accès à la bibliothèque pour le consulter en ligne
En savoir plus
306 pages
Français

Description

Un calcul logique, au sens large, est une méthode de résolution appliquée au traitement d’une structure propositionnelle. Les propositions constituant cette structure peuvent aussi bien être des expressions d’une langue naturelle (comme le français) que des expressions d’un langage formalisé (comme l’arithmétique), liées entre elles par une dépendance de nature fonctionnelle.
Cet ouvrage constitue une introduction à deux outils de calcul en logique du premier ordre, soit le calcul en arbres de consistance et le calcul en déduction naturelle. La première partie, centrée sur la notion de structure propositionnelle, expose les concepts, les objets et les méthodes propres à la logique propositionnelle. Dans la deuxième partie, la logique propositionnelle est étendue à la logique prédicative au moyen de la quantification et de concepts caractéristiques d’un langage du premier ordre. Les deux outils de calcul sont ensuite enrichis de manière à pouvoir traiter des fonctions propositionnelles, soit des prédicats du premier ordre.
De nombreux exemples et exercices, accompagnés de leurs solutions, aideront l’étudiant à progresser vers des calculs toujours plus complexes et à raffiner ses méthodes de calcul logique.

Sujets

Informations

Publié par
Date de parution 04 février 2015
Nombre de lectures 0
EAN13 9782760542105
Langue Français
Poids de l'ouvrage 4 Mo

Informations légales : prix de location à la page 0,0062€. Cette information est donnée uniquement à titre indicatif conformément à la législation en vigueur.

Exrait

YVES BOUCHARD
Calcul en logique
du premier ordreCalcul en logique
du premier ordrePresses de l’Université du Québec
Le Delta I, 2875, boulevard Laurier, bureau 450, Québec (Québec) G1V 2M2
Téléphone : 418 657-4399 Télécopieur : 418 657-2096
Courriel : puq@puq.ca Internet : www.puq.ca
Diffusion / Distribution :
Canada Prologue inc., 1650, boulevard Lionel-Bertrand, Boisbriand (Québec) J7H 1N7
Tél. : 450 434-0306 / 1 800 363-2864
France AFPU-D – Association française des Presses d’université
Sodis, 128, avenue du Maréchal de Lattre de Tassigny, 77 403 Lagny, France – Tél. : 01 60 07 82 99
Belgique Patrimoine SPRL, avenue Milcamps 119, 1030 Bruxelles, Belgique – Tél. : 02 7366847
Suisse Servidis SA, Chemin des Chalets 7, 1279 Chavannes-de-Bogis, Suisse – Tél. : 022 960.95.32
La Loi sur le droit d’auteur interdit la reproduction des œuvres sans autorisation des titulaires de droits.
Or, la photocopie non autorisée – le « photocopillage » – s’est généralisée, provoquant une baisse des
ventes de livres et compromettant la rédaction et la production de nouveaux ouvrages par des
professionnels. L’objet du logo apparaissant ci-contre est d’alerter le lecteur sur la menace que représente pour
l’avenir de l’écrit le développement massif du « photocopillage ».
Membre deYVES BOUCHARD
Calcul en logique
du premier ordreCatalogage avant publication de Bibliothèque et Archives nationales
du Québec et Bibliothèque et Archives Canada
Bouchard, Yves,
1963Calcul en logique du premier ordre
Comprend des références bibliographiques et un index.
ISBN 978-2-7605-4209-9
1. Logique du premier ordre. 2. Calcul propositionnel. I. Titre.
BC128.B68 2015 160 C2014-942383-7
Les Presses de l’Université du Québec
reconnaissent l’aide financière du gouvernement du Canada
par l’entremise du Fonds du livre du Canada
et du Conseil des Arts du Canada pour leurs activités d’édition.
Elles remercient également la Société de développement
des entreprises culturelles (SODEC) pour son soutien financier.
Conception graphique
Michèle Blondeau
Mise en pages
Yves Bouchard
er trimestre 2015Dépôt légal : 1
› Bibliothèque et Archives nationales du Québec
› Archives Canada
© 2015 – Presses de l’Université du Québec
Tous droits de reproduction, de traduction et d’adaptation réservés
Imprimé au CanadaÀ Ghislaine et GuillaumeAvant-propos
Cet ouvrage présente le contenu relatif à deux outils de calcul en logique
des prédicats du premier ordre, soit le calcul en arbres de consistance et
le calcul en déduction naturelle. Dans la première partie, on retrouve les
concepts, les objets et les méthodes propres à la logique propositionnelle
(chapitres 1 à 3). L’approche de cette partie est centrée sur la notion de
structure propositionnelle. Dans la deuxième partie, la logique
propositionnelle est étendue à la logique prédicative au moyen de la quantification et
de concepts caractéristiques d’un langage du premier ordre (chapitre 4). Les
deux outils de calcul sont enrichis de manière à pouvoir traiter des fonctions
propositionnelles (chapitre 5 et 6), à savoir des prédicats du premier ordre.
Les exemples et les exercices utilisés dans chaque chapitre répondent bien
sûr au besoin d’illustration mais surtout aux impératifs liés à la progression
dans les développements plus techniques.
Tout au long de la préparation de cet ouvrage, j’ai pu bénéficier de l’aide
et de l’appui de plusieurs collègues. Je tiens en particulier à remercier Serge
Robert et André Mayers pour leurs suggestions de corrections qui m’ont
permis de réduire les défauts dans ma présentation. Je remercie également
BenoîtCôtéetGillesBeauchamp pourleuraide,notamment danslarévision
des exercices et dans l’exploration de voies inédites.
AEn ce qui concerne la typographie LT X, les arbres de consistance ontE
été réalisés à l’aide de la librairie de commandes pst-tree développée par
Timothy Van Zandt et Herbert Voß, et les déductions naturelles, au moyen
de la librairie fitch programmée par Peter Selinger.
Enfin,j’aimeraisinviterlelecteurattentifàmecommuniquertouteerreur
qui a pu échapper à mon attention (yves.bouchard@usherbrooke.ca).Table des matières
Avant-propos ix
Introduction 1
I Logique propositionnelle 9
1 Les connecteurs logiques 11
1.1 Objets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.1.1 Propriétés des connecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.1.2 Définitions des connecteurs . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.1.3 Relations entre les connecteurs . . . . . . . . . . . . . 18
1.1.4 Traduction de la langue naturelle . . . . . . . . . . . . 21
1.2 Méthodes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.2.1 Tables de vérité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.2.2 Calcul par réduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
1.2.3 Tautologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
1.3 Solutions des exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2 Les arbres de consistance I 45
2.1 Forme normale disjonctive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.2 Construction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.3 Calcul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
2.3.1 Énoncé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
2.3.2 Ensemble d’énoncés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
2.3.3 Inférence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
2.4 Objets et méthodes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71xii TABLE DES MATIÈRES
2.5 Sommaire des règles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
2.6 Solutions des exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
3 La déduction naturelle I 105
3.1 Construction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
3.2 Règles d’introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
3.3 Règles d’élimination . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
3.4 Calcul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
3.5 Sommaire des règles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
3.6 Solutions des exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
II Logique prédicative 159
4 La quantification 161
4.1 Prédicat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
4.1.1 Abstraction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
4.2 Quantificateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
4.2.1 Dualité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
4.2.2 Instanciation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
4.2.3 Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
4.3 Traduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
4.4 Propriétés des relations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
4.5 Langage du premier ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
4.5.1 Point de vue syntaxique . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
4.5.2 Point de vue sémantique . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
4.6 Solutions des exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
5 Les arbres de consistance II 193
5.1 Construction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
5.1.1 Première approche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
5.1.2 Règles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
5.2 Interprétation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
5.3 Objets et méthodes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
5.4 Calcul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
5.5 Sommaire des règles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
5.6 Solutions des exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217TABLE DES MATIÈRES xiii
6 La déduction naturelle II 237
6.1 Règles d’introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237
6.2 Règles d’élimination . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240
6.3 Règles définitoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243
6.4 Calcul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
6.5 Sommaire des règles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260
6.6 Solutions des exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263
Bibliographie 279
Index 285Introduction
Given a number of premises, logic does
not tell us what conclusions we ought to
draw from them; it merely tells us what
conclusions we may draw from them – if
we wish and if we are clever enough.
Hintikka, 1962
Un calcul logique, au senslarge, est une méthode de résolution appliquée
au traitement d’une structure propositionnelle. Une structure
propositionnelle doit présenter certaines propriétés afin de pouvoir faire l’objet d’un
calcul et les propositions constituant cette structure peuvent aussi bien être
des expressions d’une langue naturelle (comme le français) que des
expressions d’un langage formalisé (comme l’arithmétique). Le rapport structurel
entre ces propositions fait en sorte d’établir entre elles une forme de
dépendance assimilable à celle d’une fonction. Ainsi, la notion de calcul en logique
est-elle tributaire de deux notions fondamentales, celle de structure
propositionnelle et celle de fonction propositionnelle. Ces notions sont elles-mêmes
issues de développements dont l’histoire passe principalement par Aristote,
Boole et Frege.
Aristote
Aristote a le mérite d’avoir préparé la voie à la notion de calcul en
mettant en lumière les propriétés logiques de certaines structures
propositionnelles dans ses Premiers analytiques. Pour Aristote, une proposition (ou un
jugement) est une relation logique entre deux termes, le sujet et le prédicat
(le verbe canonique étant la copule), et les propositions formant les schémas
inférentiels de base sont réduites à quatre formes, selon que la proposition2 Introduction
est affirmative ou non (aspect qualitatif) et universelle ou non (aspect
quantitatif). On utilise habituellement le carré d’Apulée, appelé aussile carré des
oppositions, pour représenter ces formes :
Tous lesX sontY AucunX n’estY
A contrariété E
contradiction
I sous-contrariété O
QuelquesX sontY QuelquesX ne sont pasY
Dans ce carré, chaque type de propositions entretient des rapports
inférentiels avec les autres types. Par exemple, la vérité d’une proposition A
implique la fausseté de la proposition E (sa contraire), et la vérité d’une
proposition O implique la fausseté de la proposition A (sa contradictoire).
De tels rapports logiques sont dits immédiats, puisqu’une seule proposition
suffit à en inférer une autre. Lorsqu’une proposition est inférée à partir
de deux propositions, la structure devient celle d’un syllogisme. La
spécificité de la conclusion d’un syllogisme est de mettre en rapport deux termes
(les termes extrêmes) par le biais d’un troisième (le moyen terme). L’une
des contributions majeures d’Aristote réside dans la reconnaissance qu’une
structure comme celle d’un syllogisme garantit la vérité de la conclusion,
étant donnée la vérité des prémisses, suivant certains arrangements des trois
termes (figure) selon la quantité et la qualité (mode). Par exemple, dans le
syllogisme
Tous les êtres humains sont mortels.
Tous les hommes sont des êtres humains.
Donc, tous les hommes sont mortels.
le moyen terme (le terme commun aux deux prémisses) est être humain, le
grand terme (l’extrême de la majeure et le prédicat de la conclusion) est
mortel et le petit terme (l’extrême de la mineure et le sujet de la
conclusion) est homme. Du point de vue de la qualité et de la quantité, les trois
propositions sont affirmatives et universelles (type A). En utilisant M, T
et t pour désigner respectivement le moyen, le grand et le petit termes, on
obtient la configuration :
subalternation
subalternationIntroduction 3
Majeure M T A
Mineure t M A
Conclusion t T A
La liaison opérée par le moyen terme dans ce syllogisme assure logiquement
la vérité de la conclusion, puisque la classe des hommes est incluse dans la
classesdesêtreshumainsquiestelle-mêmeinclusedanslaclassedesmortels.
Aristoteainitialementidentifiéquatorzestructuresinférentiellesvalidessous
formesyllogistiquecatégoriquequisontclassifiéesselonlapositiondumoyen
termedanslesprémissesetlaqualité/quantité despropositions(1947,I4-6).
Ce cadre d’analyse logique élaboré par Aristote va traverser le moyen âge et
el’époque moderne pour perdurer jusqu’au xix siècle, tout en faisant l’objet
1de raffinements successifs notamment de la part des logiciens médiévaux .
Boole
La notion de calcul logique proprement dite, bien qu’envisagée par
Leibniz, ne trouve sa véritable première réalisation qu’avec l’algèbre de Boole
2(1847,1848,1854) .L’idée ingénieuse deBooleconsistait àreprésenter
symboliquement les quatre schémas de proposition de la syllogistique
aristotélicienneafindetraiterlesrelationsinférentielles aumoyend’unealgèbre. Pour
Boole, les termes mis en relation dans une proposition sont conçus comme
des membres de classes et les propositions comme des résultats d’opération
sur des classes. Une proposition est considérée comme une fonction de
sélection (elective function) des objets du domaine de référence. Les fonctions
de sélection qui correspondent aux schémas aristotéliciens sont
Proposition Fonction
Tous les X sontY (A) xp1´yq“ 0
Aucun X n’est Y (E) xy“ 0
Quelques X sontY (I) v“xy
Quelques X ne sont pas Y (O) v“xp1´yq
oùx,y etv sont des classes,et 1´xet 1´y sont des compléments de classe.
Danscette algèbre, lesopérationsdéfinies sontl’addition etlamultiplication
avec leurs propriétés (commutativité et distributivité). De plus, l’algèbre de
nBoole satisfait l’équation x “ x (idempotence de la multiplication), étant
1. Pour une présentation de la syllogistique aristotélicienne, on consultera entre autres
Łukasiewicz(1957,2010),Bocheński(1961),KnealeetKneale(1962),Robert(1978),Blais
(1985) ainsi que Parry et Hacker (1991).
2. De Morgan a aussi publié en 1847 un traité de logique intitulé Formal Logic : Or,
the Calculus of Inference, Necessary and Probable, maislanotiondecalcul yestdavantage
exploitée dans l’exposition des probabilités que dans l’analyse de la syllogistique.4 Introduction
donné que les seules valeurs du domaine sont t0,1u. Pour vérifier la
validité d’un syllogisme, on traite symboliquement les fonctions de sélection des
deux prémisses (majeure et mineure) de manière à obtenir par réduction la
fonction de sélection de la conclusion. Par exemple, la validité du syllogisme
Tous les Y sontX.
Tous les Z sontY.
Donc, tous les Z sontX.
peut être démontrée au moyen du calcul booléen suivant :
1. yp1´xq“ 0 prémisse (majeure)
2. zp1´yq“ 0 prémisse (mineure)
3. y“yx par algèbre, 1
4. z“zy par algèbre, 2
5. z“zyx par substitution yx{y, 3 et 4
26. zy“zy x par multiplication, 5
7. zy“zyx par idempotence, 6
8. z“zx par division, 7
9. zp1´xq“0 par algèbre, 8
La fonction de sélection zp1´xq“ 0 (ligne 9) signifie que tous les Z sont
X, ce qui correspond à la conclusion du syllogisme.
L’une des conséquences de ce type de calcul est qu’il nous permet de
sortir du cadre rigide du syllogisme, selon lequel les trois termes sont
répartis dans deux prémisses, et de traiter un ensemble de prémisses comme un
système d’équations. Grâce au théorème d’expansion de Boole (1848, 1854),
stipulant que toute fonction de sélection à n variables (soit n classes) peut
être développée dans une expression constituée d’une somme de produits de
n facteurs, la notion de fonction autorise désormais une généralisation sur la
structure propositionnelle. Il s’agit là d’un progrès tout à fait remarquable,
qui a donné une impulsion nouvelle, avec les travaux de Frege, au
développement de la logique cantonnée jusque-là aux limites du cadre aristotélicien.
Frege
Frege, quant à lui, est à l’origine d’un nouvel effort d’abstraction qui va
procurer à la logique les ressources suffisantes pour opérer définitivement
son déploiement formel. À cet égard, on ne peut manquer d’être étonné en
constatant que d’un point de vue strictement chronologique, Frege se
présente comme le point de rencontre de deux axes historiques dont l’évolution
estrelativement indépendante etquitrouvent tousdeuxleurpointdedépart
eauiv siècle avant notre ère avec, d’un côté, les Premiers analytiques
d’Aristote et, de l’autre, les Éléments d’Euclide (présentation axiomatique de laIntroduction 5
géométrie). C’est en 1879 que Frege publie la Begriffsschrift (idéographie),
la toute première axiomatisation de la logique.
L’idéographie de Frege est une nouvelle forme de langage destinée à
rendre explicite d’un point de vue symbolique (et graphique) les
enchaîne3ments inférentiels des raisonnements logiques . Pour ce faire, il développe
un graphisme original pour exprimer les rapports de conditionnalité. À la
base de ce graphisme, on retrouve l’assemblage d’un trait horizontal pour
signifier le contenu d’un jugement (proposition) et d’un trait vertical pour
désigner l’assertion de ce contenu. Par exemple, pour référer au contenu de
l’expression 1`1“ 2, on écrit
1`1“ 2
et pour asserter ce même contenu, on le préfixe d’un trait vertical :
1`1“ 2.
Seule une assertion peut avoir une valeur de vérité. La négation d’une
expression est réalisée à l’aide d’un trait vertical sous le trait de contenu. Pour
affimer la négation de l’expression 2`2“ 5, on écrit
2`2“ 5.
Pour exprimer un lien de conditionnalité entre deux expressions, on asserte
la dépendance des contenus en liant deux traits de contenu par un trait
vertical :
2x “ 4
x`2“ 4,
2cequisignifiequelesconditionsdevéritédex “ 4dépendentdesconditions
2de vérité de x`2“ 4 de manière telle que si x`2“ 4 alors x “ 4.
La présentation axiomatique de la logique développée par Frege dans
l’idéographie s’exprime dans ce symbolisme qui permet d’identifier aisément
lesrelationsd’implicationetlesrelationsd’équivalence.Parexemple,àpartir
de la prémisse que si A implique B alors A implique C et de la prémisse que
A implique B, on peut tirer la conclusion que A implique C :
3. La clarté et l’expressivité sont pour Frege des propriétés essentielles dusymbolisme.
L’indéniable avantage notationnel de Leibniz sur Newton en regard ducalcul infinitésimal
témoigne de manière éloquente de l’importance de ces propriétés. Par contre, le langage
formulaire de Frege ne connaîtra pas une telle postérité.6 Introduction
C
A
B
A
B
A
C
A
La verticalité du graphisme symbolise de cette manière la conditionnalité,
ce qui facilite le repérage des enchaînements logiques.
Frege a insisté fortement sur les caractéristiques de son langage
formulaire, qu’il conçoit comme un langage au sens fort du terme plutôt que
comme un simple outil de calcul : « Je n’ai pas voulu créer seulement un
calculus ratiocinator mais une lingua characterica au sens de Leibniz, étant
bien entendu que le calcul de la déduction est à mon sens partie obligée
d’une idéographie » ([1882] 1971, 71). Il reprocha même à Boole, sans doute
avec trop de sévérité, d’avoir cherché avec son calcul à « habiller la logique
4abstraite du vêtement des signes algébriques » ([1882] 1971, 73) .
Parmi les innovations que l’on retrouve dans l’idéographie de Frege, en
plus de son aspect axiomatique, deux éléments en particulier auront un
impact important sur le développement de la logique. Le premier élément
concerne la distinction rigoureuse et fondamentale que Frege établit entre
la notion de fonction et la notion d’argument. Ce sont ces deux notions
complémentaires qui sont appelées à être substituées aux notions logiques
traditionnellesdeprédicatetdesujet.Danslapréfacedel’idéographie,Frege
écrit:«Jecroisqueleremplacement desconceptsdesujet etdeprédicat par
argument et fonction fera ses preuves à la longue » ([1879] 1999, 9). C’est
bien ce qui s’est produit. Le prédicat logique sera dorénavant entendu au
sens d’une fonction propositionnelle.
L’autre élément, qui est en lien avec le premier, est une théorie de la
quantification. Avec son idéographie, Frege fournit les moyens de
représenter la généralité de même que sa négation (ce qu’on appelle aujourd’hui
les quantificateurs). On peut dès lors exprimer formellement la généralité
des variables constitutives des fonctions. Pour désigner de manière générale
toutes les valeurs que peut prendre une fonction fpxq, on écrit :
4. Le caractère de calculabilité de la logique rendu manifeste par l’algèbre n’est pas
qu’un aspect ornemental pour Boole, il est plutôt de l’ordre d’une loi de la pensée (1854,
1 §10).Introduction 7
x fpxq.
Cette expression signifie que pour tous lesx,fpxq. La concavité dans le trait
de contenu sert à délimiter la portée de la généralité. Quant à la négation
de la généralité,
x fpxq,
elle signifie qu’il existe au moins un x tel que non fpxq. La théorie de la
quantification de Frege dans l’idéographie, bien qu’elle présente un certain
nombre de difficultés propres, demeure néanmoins la première en date qui
ait été formulée explicitement.
Ainsi, comme on peut le voir à partir d’Aristote, de Boole et de Frege,
l’itinéraire des notions de structure et de fonction à la base de la notion
de calcul logique se présente-t-il de manière assez linéaire mais discontinue
dans le temps. L’important est d’apprécier les différentes étapes du progrès
dans l’abstraction logique et les avancées théoriques qui en résultent.Première partie
Logique propositionnelle1
Les connecteurs logiques
1.1 Objets
Danslecadredelalogiquepropositionnelle,
l’objetd’étudeestleconnecteur logique. Un connecteur logique est une relation entre des propositions
ou énoncés. Cette relation peut comporter plusieurs objets, ou plusieurs
places vides, un peu à la manière d’une structure comportant des espaces à
saturer. Le nombre d’objets requis par une relation donnée est dit l’arité de
la relation. Les connecteurs que nous allons considérer sont principalement
des connecteurs binaires, c.-à-d. des relations à deux places. Les connecteurs
n-aires sont dits connecteurs à n-places.
1.1.1 Propriétés des connecteurs
Considérons d’abord les propriétés des éléments mis en relation par les
connecteurs logiques, à savoir les propositions. Toute proposition possède
plusieurspropriétéssémantiques.Lapremièrepropriétésémantiquequivient
à l’esprit est le contenu linguistique de la proposition, ce que la proposition
signifie. La valeur de vérité d’une proposition est également une propriété
sémantique. Ainsi, une relation entre des propositions peut très bien refléter
un rapport entre des contenus linguistiques, tout comme un rapport entre
desvaleurs de vérité. Detellesrelationssont néanmoins trèsdifférentes l’une
de l’autre. En effet, la relation entre les contenus linguistiques Yves est le
père de Guillaume et Guillaume est le fils de Yves demande une analyse de
tout ce qui fait que ces notions sont liées l’une à l’autre. Par contre, une
relation entre les valeurs de vérité de ces propositions ne requiert que la
valeur de vérité comme telle de chaque proposition. Un connecteur logique12 Les connecteurs logiques
est précisément une relation entre les valeurs de vérité des propositions qu’il
lie. Les connecteurs peuvent être considérés dans cette perspective comme
des fonctions de vérité, c’est-à-dire des fonctions ayant pour arguments des
valeurs de vérité, soit tv,fu. Cette propriété des connecteurs est la
vérifonctionnalité. Puisque le contenu linguistique d’une proposition n’est pas
pertinent l’analyse logique des connecteurs, on peut l’inhiber complètement
de manière à n’isoler que la valeur de vérité d’une proposition. On utilise à
cette fin des variables propositionnelles, telles p, q, r pour représenter une
proposition et sa valeur de vérité. Une variable propositionnelle sera dite
atome propositionnel, parce que l’énoncé qu’elle représente ne comporte
aucun connecteur. Une proposition atomique comme la neige est blanche
pourra être symbolisée par p, indiquant par là que seule la valeur de vérité
de la neige est blanche nous intéresse.
Les connecteurs logiques possèdent également une autre propriété
distinctive et remarquable. Étant donné que ces relations entre des valeurs de
vérité ont elles-mêmes pour résultantes des valeurs de vérité, les fonctions
de vérité peuvent elles-mêmes servir d’arguments à d’autres fonctions de
vérité,enl’occurrencedesconnecteurslogiques.Decettefaçon,lesconnecteurs
peuventavoircommeargumentsdespropositionset desconnecteurs, etainsi
les connecteurs peuvent entrer en composition avec d’autres propositions et
d’autres connecteurs. Cette propriété des connecteurs est la
compositionnalité.
Les connecteurs logiques sont définis à l’aide de tables de vérité. Il s’agit
d’une définition de nature sémantique, ce qui signifie ici qu’il s’agit d’une
interprétation en termes de valeursde vérité. La table de vérité d’un
connecteur nous procure toute l’information logique relative àun connecteur. Iln’y
a ainsi aucune différence entre la signification du connecteur et la table de
vérité de ce connecteur. La table du connecteur nous renseigne sur son
comportement logique, c’est-à-dire la façon dont il varie en fonction de la valeur
de vérité des objets propositionnels qu’il met en relation.
1.1.2 Définitions des connecteurs
La conjonction (^)
La conjonction logique^ permet d’exprimer les items linguistiques qui
marquent une coordination, comme et, mais, car, etc. La table de vérité de
la conjonction est :1.1 Objets 13
p q p ^ q
v v v v v
v f v f f
f v f f v
f f f f f
La table indique qu’une conjonction n’est vraie que dans un seul cas, celui
oùlesénoncéspetq sontvrais.Exemplesd’énoncéspouvantêtrereprésentés
par p^q :
La neige est blanche et la pelouse est verte.
La Terre est la troisième planète du système solaire et elle a un
diamètre de 12 756 km.
Il est manifeste toutefois que l’expression symbolique de la conjonction ne
parvient pas à capturer toutes les nuances que l’on peut retrouver dans la
langue naturelle. Par exemple, la conjonction est parfois connotée
temporellement ou causalement, mais cette connotation suplémentaire demeure
tacite dans la formulation symbolique. Considérez les différences entre les
énoncés suivants :
Le livre est intéressant et il est dispendieux.
Le livre est intéressant, mais il est dispendieux.
Le livre est intéressant, car il est dispendieux.
Le livre est intéressant, bien qu’il soit dispendieux.
Les modulations sémantiques des items de coordination de ces exemples
échappent à la représentation symbolique. Il ne s’agit pas là d’une
limitation inhérente au symbolisme en général, mais plutôt d’une limitation liée
au choix d’une forme de symbolisme en particulier. Il serait possible de
développer un symbolisme pour représenter ces différentes nuances dans la
coordination, mais cela n’est pas la tâche de la logique propositionnelle
classique. Il ne faut pas perdre de vue par ailleurs que la symbolisation n’a
pas pour objectif la représentation exacte de toute l’information livrée par
une proposition en langue naturelle, donnée dans un contexte particulier. La
symbolisation en logique propositionnelle vise à représenter l’information de
manière à la rendre traitable dans un calcul sur des valeurs de vérité. À cet
égard,toutel’informationdisponibleenlanguenaturelle n’estpaspertinente
dans le cadre strict d’un calcul logique.
La disjonction (_)
La disjonction_représente l’item linguistique ou. Sa table devérité est:14 Les connecteurs logiques
p q p _ q
v v v v v
v f v v f
f v f v v
f f f f f
Exemples d’énoncés pouvant être représentés par p_q :
Catherine ou Jean assisteront à la présentation.
Je m’inscrirai au cours d’introduction aux probabilités ou au cours
d’introduction aux statistiques.
Une disjonction est vraie lorsqu’au moins l’un des deux disjoints est vrai.
Cette forme de disjonction est aussi dite inclusive, parce qu’elle inclut le
cas où les deux disjoints sont vrais. Toutefois, lorsque l’on veut exprimer
une alternative, par exemple Jean est à Paris ou Jean est à Londres, ce
qui entraîne qu’il ne puisse pas être aux deux endroits en même temps, la
disjonction estalorsexclusive. Lesitemslinguistiques quimarquent unetelle
relation sont, par exemple, soit p soit q, ou bien p ou bien q. La disjonction
exclusiveY a pour table :
p q p Y q
v v v f v
v f v v f
f v f v v
f f f f f
Exemples d’énoncés pouvant être représentés par pYq :
Soit vous tournez à gauche, soit vous tournez à droite.
Ou bien il y a de la vie extraterrestre, ou bien il n’y en a pas.
La disjonction exclusive est vraie seulement lorqu’un disjoint est vrai et
l’autre faux.
L’implication matérielle (Ą)
L’implication matérielle Ą, ou le conditionnel, exprime une relation de
conditionnalité entre deuxpropositions.C’estlefameuxsi p alors q.Satable
est :
p q p Ą q
v v v v v
v f v f f
f v f v v
f f f v f

  • Accueil Accueil
  • Univers Univers
  • Ebooks Ebooks
  • Livres audio Livres audio
  • Presse Presse
  • BD BD
  • Documents Documents