Cohomologie galoisienne

David Harari

Description

Ce livre est une introduction aux méthodes modernes de la théorie des nombres. Issu de plusieurs cours de Master 2 donnés à l’Université de Paris-Sud, il est destiné à un public d’étudiants désireux d’acquérir des bases solides dans cette discipline, ou à des chercheurs d’autres domaines souhaitant se familiariser avec les problématiques rencontrées.
Cet ouvrage rassemble, en donnant des démonstrations complètes, les bases de cohomologie, la théorie du corps de classes local et global, et les théorèmes de dualité de Poitou-Tate. Il contient des chapitres introductifs sur les corps locaux et globaux, ainsi qu’un appendice résumant les résultats d’algèbre homologique qui sont utilisés.
Chaque chapitre du livre se termine par de nombreux exercices, certains donnant des compléments utiles au texte principal.

Sujets

• Sciences & Techniques
• Mathématiques
• Sciences formelles
• Mathématiques générales
• Mathématiques générales
• Mathématiques fondamentales
• Mathématiques pures
• Sciences et techniques
• Mathematics

Informations

• Publié par: EDP Sciences
• Date de parution: 12 janvier 2017
• Nombre de lectures: 2
• EAN13: 9782759820672
• Langue: Français
• Poids de l'ouvrage: 4 Mo

Extrait

COHOMOLOGIE GALOISIENNE
DAVID HARARI
ET THÉORIE DU CORPS DE CLASSES
MATHÉMATIQUES
MATHÉMATIQUE MATHÉMATIQUES S
MATHÉMATIQUES MATHÉMATIQUES S S MATHÉMATIQUEMATHÉMATIQUE S S
SAVOIRS ACTUELS
COHOMOLOGIE GALOISIENNE
ET THÉORIE DU CORPS DE CLASSES DAVID HARARI
Ce livre est une introduction aux méthodes modernes de la théorie des nombres. Issu de plusieurs cours
de Master 2 donnés à l’Université de Paris-Sud, il est destiné à un public d’étudiants désireux d’acquérir
des bases solides dans cette discipline, ou à des chercheurs d’autres domaines souhaitant se familiariser
avec les problématiques rencontrées.
Cet ouvrage rassemble, en donnant des démonstrations complètes, les bases de cohomologie, la théorie
du corps de classes local et global, et les théorèmes de dualité de Poitou-Tate. Il contient des chapitres
introductifs sur les corps locaux et globaux, ainsi qu’un appendice résumant les résultats d’algèbre COHOMOLOGIEhomologique qui sont utilisés.
Chaque chapitre du livre se termine par de nombreux exercices, certains donnant des compléments utiles
au texte principal. GALOISIENNEDavid Harari, professeur à l’Université de Paris-Sud (Orsay), est spécialiste d’arithmétique et
de géométrie algébrique.
ET THÉORIE DU CORPS
DE CLASSES
Série Mathématiques dirigée par Claude SABBAH
SAVOIRS ACTUELS
Collection dirigée par Michèle LEDUC
CNRS ÉDITIONS
www.cnrseditions.fr www.edpsciences.org DAVID HARARI
Création graphique : Béatrice Couëdel
Ces ouvrages, écrits par des chercheurs, reflètent des
enseignements dispensés dans le cadre de la formation à la
recherche. Ils s’adressent donc aux étudiants avancés, aux
9782759 820665 chercheurs désireux de perfectionner leurs connaissances ainsi 49 €
qu’à tout lecteur passionné par la science contemporaine.ISBN EDP Sciences 978-2-7598-2066-5 CNRS ÉDITIONS
ISBN CNRS ÉDITIONS 978-2-271-09509-1
9782759820665_cohomo.indd 1 07/10/2016 12:41

David Harari
Cohomologie galoisienne
et théorie du corps de classes
SAV O I R S A CTUELS
EDPSciences/CNRSÉDITIONS



Imprimé en France.
c 2017, EDP Sciences, 17, avenue du Hoggar, BP 112, Parc d’activités de Courtabœuf,
91944 Les Ulis Cedex A
et
CNRS ÉDITIONS, 15, rue Malebranche, 75005 Paris.
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ISBN EDP Sciences 978-2-7598-2066-5
ISBN CNRS Éditions 978-2-271-09509-1

TABLE DES MATIÈRES
Avant-propos........................................................ 1
Notations et conventions.......................................... 5
Partie I. Cohomologie des groupes et cohomologie galoisienne :
généralités
1. Cohomologie des groupes finis : propriétés de base......... 11
1.1. Notion de G-module 12
1.2. La catégorie des G-modules.................................. 15
i1.3. Les groupes de cohomologie H (G,A)........................ 18
1.4. Calcul de la cohomologie avec les cochaînes.................. 23
1.5. Changement de groupe : restriction, corestriction, suite
spectrale de Hochschild-Serre.................................... 26
1.6. Corestriction; applications................................... 33
1.7. Exercices..................................................... 35
2. Groupes modifiés à la Tate, cohomologie des groupes
cycliques........................................................ 39
2.1. Les groupes de cohomologie modifiés de Tate................ 39
2.2. Changement de groupe. Transfert............................ 43
2.3. Cohomologie d’un groupe cyclique 50
2.4. Quotient d’Herbrand......................................... 51
2.5. Cup-produits................................................. 53
2.6. Cup-produits pour la cohomologie modifiée.................. 55
2.7. Exercices..................................................... 63
3. p-groupes, théorème de Tate-Nakayama...................... 65
3.1. Modules cohomologiquement triviaux........................ 65
3.2. Théorème de Tate-Nakayama................................ 70
3.3. Exercices 73iv TABLE DES MATIÈRES
4. Cohomologie des groupes profinis............................. 75
4.1. Notions de base sur les groupes profinis...................... 75
4.2. G-modules discrets........................................... 80
4.3. Cohomologie d’un G-module discret.......................... 82
4.4. Exercices..................................................... 88
5. Dimension cohomologique...................................... 91
5.1. Définitions, premiers exemples............................... 91
5.2. Propriétés de la dimension cohomologique.................... 93
5.3. Exercices 96
6. Premières notions de cohomologie galoisienne............... 99
6.1. Généralités................................................... 99
6.2. Théorème de Hilbert 90 et applications...................... 100
6.3. Groupe de Brauer d’un corps................................. 101
6.4. Dimension cohomologique d’un corps......................... 102
6.5. Corps C ..................................................... 1041
6.6. Exercices 106
Partie II. Corps locaux
7. Rappels sur les corps locaux................................... 111
7.1. Anneaux de valuation discrète................................ 111
7.2. Corps complet pour une valuation discrète................... 112
7.3. Extensions d’un corps complet............................... 113
7.4. Théorie de Galois d’un corps complet pour une valuation
discrète........................................................ 115
7.5. Théorème de structure; filtration du groupe des unités....... 116
7.6. Exercices..................................................... 118
8. Le groupe de Brauer d’un corps local........................ 121
8.1. Axiome du corps de classes local............................. 121
8.2. Calcul du groupe de Brauer.................................. 122
8.3. Dimension cohomologique; théorème de finitude............. 126
8.4. Exercices 128
9. Corps de classes local : l’application de réciprocité......... 131
9.1. Définition et principales propriétés........................... 131
9.2. Théorème d’existence : lemmes préliminaires et cas d’un corps
p-adique..................................................... 137
9.3. Exercices 141
10. Dualité locale de Tate.........................................143
10.1. Module dualisant............................................ 143
10.2. Le théorème de dualité locale............................... 147TABLE DES MATIÈRES v
10.3. Caractéristique d’Euler-Poincaré............................ 149
10.4. Cohomologie non ramifiée................................... 151
10.5. Du théorème de dualité au théorème d’existence............ 152
10.6. Exercices.................................................... 154
11. Corps de classes local : théorie de Lubin-Tate............. 157
11.1. Groupes formels............................................. 157
11.2. Changement d’uniformisante................................ 161
11.3. Corps associés aux points de torsion........................ 164
11.4. Calcul de l’application de réciprocité........................ 166
11.5. Théorème d’existence (cas général).......................... 168
11.6. Exercices.................................................... 171
Partie III. Corps globaux
12. Rappels sur les corps globaux................................ 175
12.1. Définitions, premières propriétés............................ 175
12.2. Extensions galoisiennes d’un corps global................... 179
12.3. Idèles, théorème d’approximation forte...................... 180
12.4. Quelques compléments dans le cas d’un corps de fonctions. . 187
12.5. Exercices 188
13. Cohomologie des idèles : axiome du corps de classes...... 191
13.1. Cohomologie du groupe des idèles........................... 191
13.2. La seconde inégalité......................................... 194
13.3. Extensions de Kummer..................................... 199
13.4. Première inégalité et axiome du corps de classes............ 202
13.5. Preuve de l’axiome du corps de classes pour un corps de
fonctions........................................................ 207
13.6. Exercices.................................................... 210
14. Loi de réciprocité et théorème de Brauer-Hasse-Noether 213
14.1. Existence d’une extension cyclique neutralisante. . . . . . . . . . . . 213
14.2. Invariant global et symbole de reste normique............... 217
14.3. Exercices 222
15. Le groupe de Galois abélien d’un corps global............. 223
15.1. Application de réciprocité et groupe des classes d’idèles..... 223
15.2. Le théorème d’existence global.............................. 226
15.3. Le cas du corps de fonctions................................ 232
15.4. Corps de classes de rayons; corps de classes de Hilbert...... 235
15.5. Groupes de Galois de ramification restreinte................ 241
15.6. Exercices.................................................... 245vi TABLE DES MATIÈRES
Partie IV. Théorèmes de dualité
16. Formations de classes......................................... 251
16.1. Notion de formation de classes.............................. 251
16.2. La suite spectrale des Ext................................... 254
16.3. Le théorème