La simulation de Monte Carlo

Bruno Tuffin

Description

La simulation de Monte Carlo est un outil statistique puissant pour résoudre des problèmes mathématiques complexes ou plus exactement pour approcher leur solution aussi précisément que souhaité.
Cet ouvrage décrit les principaux problèmes auxquels s'attaque la simulation de Monte Carlo : calcul de sommes ou d'intégrales, d'espérances mathématiques, de problèmes d'optimisation, de résolution d'équations linéaires, intégrales ou différentielles. La simulation de Monte Carlo est illustré de nombreux exemples d'application issus de domaines aussi variés que les télécommunications, la finance, la fiabilité, la physique, etc. Il expose comment les solutions peuvent être approchées et l'erreur analysée via un intervalle de confiance contenant la solution avec une probabilité donnée.
Ce livre présente également les différentes techniques d'accélération réduisant l'intervalle de confiance pour un temps de simulation donné. D'autres questions fondamentales sont traitées comme la génération du hasard et des variables aléatoires ou la méthode de simulation de quasi-Monte Carlo qui utilise des suites non aléatoires mais mieux réparties sur le domaine d'échantillonnage, permettant une convergence plus rapide.
Avant-propos. Chapitre 1. Introduction et concepts de base. Chapitre 2. Génération de variables aléatoires. Chapitre 3. Transformation sous forme d'espérance mathématique. Chapitre 4. Analyse des résultats de simulation. Chapitre 5. Techniques de réduction de la variance. Chapitre 6. Simulation de Monte Carlo en optimisation. Chapitre 7. Méthodes de quasi-Monte Carlo. Annexes. Bibliographie. Index.

Sujets

• Mathématiques

Informations

• Publié par: Hermès - Editions Lavoisier
• Date de parution: 05 février 2010
• Nombre de lectures: 42
• EAN13: 9782746240841
• Langue: Français
• Poids de l'ouvrage: 3 Mo

Extrait

La simulation de Monte Carlo



































' LAVOISIER, 2010
LAVOISIER
11, rue Lavoisier
75008 Paris

www.hermes-science.com
www.lavoisier.fr

ISBN 978-2-7462-2521-3
ISSN 1956-6808


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La simulation


de Monte Carlo












Bruno Tuffin













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Collection MØthodes stochastiques appliquØes
SOUS LA DIRECTION DE NIKOLAOS LIMNIOS ET JACQUES JANSSEN


Fran ois B RUCKER et Jean-Pierre BARTH LEMY , ElØments de classification, 2007.

Thierry CHAUVEAU, L Øquilibre dun modŁle financier, 2004.

Arnaud CL MENT -GRANDCOURT et Jacques JANSSEN, MØthodes quantitatives en
gestion des risques financiers et papillons noirs, 2010.

Arnaud CL MENT -GRANDCOURT et Jacques JANSSEN, Gestion des risques financiers
et papillons noirs, 2010.

Olivier GAUDOUIN et James LEDOUX, ModØlisation alØatoire en fiabilitØ des
logiciels, 2007.

Faris HAMZA et Jacques JANSSEN, Choix optimal des actifs financiers et gestion
de portefeuille, 2008.

Marius IOSIFESCU, Nikolaos LIMNIOS et Gheorghe OPRISAN, ModŁles stochastiques,
2007.

Jacques JANSSEN et Raimondo MANCA, Outils de construction de modŁles internes
pour les assurances et les banques, 2009.

Mikhail NIKULIN, LØo GERVILLE-R ACHE et Vincent COUALLIER, Statistique des
essais accØlØrØs, 2007.

Odile PONS, Statistique de processus de renouvellement et markoviens, 2008.

Table des matières
Avant-propos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
Chapitre1.Introductionetconceptsdebase . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.1. Modélisation mathématique et probabiliste . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2. Simulation : définition et algorithme de base . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.3. Pourquoi et quand utiliser la simulation de Monte Carlo ? . . . . . . . . 20
1.4. Exemples simples et illustratifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.4.1. Aiguille de Buffon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.4.2. Calcul d’une surface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.4.3. Intégrale d’une fonction unidimensionnelle . . . . . . . . . . . . . 27
1.4.4. Simulation d’une file d’attente simple . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1.5. Quelques exemples spécifiques dans des domaines d’application
importants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
1.5.1. Application en ingéniérie financière . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
1.5.2. Application en télécommunications/fiabilité . . . . . . . . . . . . 34
1.5.3. Application en physique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
1.5.4. Application en biologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
1.6. Source d’aléatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
Chapitre2.Générationdevariablesaléatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.1. Philosophie et objectifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.2. Génération d’une suite i.i.d. uniforme sur [0,1] . . . . . . . . . . . . . . 42
2.2.1. Générateurs congruentiels linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.2.2. Problèmes rencontrés par les générateurs congruentiels linéaires . 44
2.2.3. Générateur MRG32k3a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.2.4. Le générateur Mersenne-Twister . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.2.5. Un générateur de flots . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.3. Génération de lois non uniformes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
56 La simulation de Monte Carlo
2.3.1. Génération d’une loi discrète . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.3.2. Méthode d’alias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2.3.3. Transformation inverse pour une loi continue . . . . . . . . . . . . 54
2.3.4. Méthode de composition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
2.3.5. Méthode de la convolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
2.3.6. Méthode de rejet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
2.3.7. Quelques méthodes pour des lois spécifiques . . . . . . . . . . . . 59
2.3.8. Génération de variables aléatoires dépendantes . . . . . . . . . . . 61
2.3.8.1. Echantillonnage conditionnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
2.3.8.2. Transformation linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
2.3.8.3. Copules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
2.3.9. Algorithme de Metropolis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
2.4. Tests des générateurs pseudo-aléatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
2.4.1. Test spectral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
22.4.2. Test duχ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
2.4.3. Test de Kolmogorov-Smirnov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
Chapitre3.Transformationsousformed’espérancemathématique . . . . 77
3.1. Calcul de sommes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
3.1.1. Calcul d’une espérance mathématique sur une loi discrète . . . . 79
3.1.2. Calcul de sommes discrètes en général . . . . . . . . . . . . . . . 80
3.1.3. Illustration : estimation de constantes de normalisation dans les
réseaux de files d’attente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
3.1.4. Illustration : tableaux de contingence . . . . . . . . . . . . . . . . 85
3.2. Calcul d’intégrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
3.2.1. Calcul d’espérance mathématique de variable aléatoire de loi
continue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
3.2.2. Calcul d’intégrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
3.2.3. Calcul de surfaces ou volumes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
3.3. Simulation d’une chaîne de Markov à temps discret . . . . . . . . . . . 91
3.4. Simulation d’une chaîne de Markov à temps continu . . . . . . . . . . 95
3.5. Méthode de Monte Carlo par chaîne de Markov (MCMC) . . . . . . . 101
3.6. Simulation d’un processus stochastique et des systèmes à événements
discrets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
3.7. Résolution d’un système d’équations linéaires . . . . . . . . . . . . . . 108
3.8. Résolution d’équations intégrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
3.9. Résolution d’équations différentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
Chapitre4.Analysedesrésultatsdesimulation . . . . . . . . . . . . . . . . 117
4.1. Sur la vitesse de convergence du théorème central limite . . . . . . . . 119
4.2. Analyse des résultats pour une erreur absolue ou relative donnée . . . . 120
4.3. Intervalle de confiance pour un quotient ou une autre fonction régulière
d’estimateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122Table des matières 7
4.4. Analyse des résultats pour les chaînes de Markov . . . . . . . . . . . . 128
4.4.1. Analyse des résultats pour les mesures transitoires . . . . . . . . . 129
4.4.2. Théorèmes limites centraux pour les chaînes de Markov . . . . . 130
4.4.3. Méthode de réplication/délétion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
4.4.4. Méthode régénérative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
4.4.5. Méthode Batch Means . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
4.4.5.1. Nombre fixe de blocs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
4.4.5.2. Règle SQRT (racine carrée) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
4.4.5.3. Règle LBatch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
4.4.5.4. Règle ABatch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
4.4.5.5. Règle Skart . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
4.4.6. Méthode basée sur les séries temporelles . . . . . . . . . . . . . . 142
4.5. Méthode du bootstrap . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
4.6. Compromis variance/biais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
4.7. Réduction du biais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
4.8. Simulation avec budget fini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
Chapitre5.Techniques deréductiondelavariance . . . . . . . . . . . . . . 151
5.1. Un cadre à l’accélération est nécessaire : simulation d’événements rares 151
5.2. Efficacité relative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
5.3. Stratification . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
5.4. Monte Carlo et espérance conditionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
5.5. Variables antithétiques et corrélation négative . . . . . . . . . . . . . . 170
5.6. Variables de contrôle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
5.7. Echantillonnage préférentiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
5.7.1. Formalisme général pour l’échantillonnage préférentiel . . . . . . 183
5.7.2. Changem