Physique et outils mathématiques

Pierre Pujol, Marc Magro, Angel Alastuey

Description

Fonctions de réponse, relations de Kramers-Kronig, fonctions de Green, méthode du col, autant de méthodes et d'outils mathématiques omniprésents en physique et en sciences de l'ingénieur qui sont mis à l'honneur par cet ouvrage.

La présentation privilégie arguments et interprétations physiques sans pour autant perdre la rigueur indispensable. Des introductions synthétiques en décrivent les caractéristiques essentielles, établissant ainsi connexions et analogies entre différents domaines. Elles sont complétées d'une vingtaine d'applications portant sur des domaines variés de la physique (électromagnétisme, hydrodynamique, physique statistique, mécanique quantique) qui sont traitées en détail, et accompagnées d'exercices avec des éléments de solution.

La lecture autonome de l'ouvrage est facilitée par une présentation pédagogique évitant les développements trop techniques, ainsi que par la description schématique d'outils importants en annexe. Le public concerné comprend naturellement les étudiants physiciens en Master ou en Doctorat, quelle que soit leur spécialité. Cet ouvrage étant également conçu comme un manuel, il s'adresse aussi aux chercheurs, enseignants, élèves ingénieurs et ingénieurs.

Sujets

• Sciences expérimentales
• Physique
• Science
• Physics
• exercices
• Sciences et techniques
• Physical attractiveness

Informations

• Publié par: EDP Sciences
• Date de parution: 01 septembre 2008
• Nombre de lectures: 5
• EAN13: 9782759803231
• Langue: Français
• Poids de l'ouvrage: 2 Mo

Extrait

PHYSIQUESAVOIRS ACTUELS
PHYSIQUE ET OUTILS
MATHÉMATIQUES
MÉTHODES ET EXEMPLES
ANGEL ALASTUEY
MARC MAGRO
PIERRE PUJOL
CNRS ÉDITIONSAngel Alastuey, Marc Magro et Pierre Pujol
Physique et outils mathématiques:
méthodes et exemples
SAVOIRS A CTUELS
EDP Sciences / CNRS ÉditionsImprimé en France.
c 2008, EDP Sciences, 17, avenue du Hoggar, BP 112, Parc d’activités de Courtaboeuf,
91944 Les Ulis Cedex A
et
CNRS ÉDITIONS, 15, rue Malebranche, 75005 Paris.
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de copie, 3, rue Hautefeuille, 75006 Paris. Tél. : [phone].
ISBN EDP Sciences 978-2-7598-0043-8Table des matières
Liste des exercices vii
Préface ix
Avant-propos xi
Introduction xiii
1 Réponse linéaire et analyticité 1
1.1 Propriétésgénérales ..... ........ ........ ... 3
1.1.1 Positionduproblème ... 3
1.1.2 Définition de la susceptibilité . . . ... 7
1.1.3 Analyticité de la . . . ........ ... 8
1.1.4 Propriétésdeparitéetdissipation . ... 10
1.1.5 Comportement aux basses et aux grandes fréquences . 11
1.1.6 RelationsdeKramers-Kronig ... ........ ... 13
1.1.7 Règlesdesomme .. ........ ... 18
1.1.8 Perturbationsinhomogènes .... ... 19
1.2 Applicationsetexemples... ........ ... 21
1.2.1 Admittanced’uncircuitRLC.... ... 21
1.2.2 Absorption et dispersion dans un diélectrique . . . . . . 25
1.2.3 Écoulement oscillant dans un capillaire ...... ... 31
1.2.4 Réponse d’un plasma dans l’approximation de Vlasov . 38
1.2.5 Conductivité et formule de Kubo . ........ ... 45
1.3 Exercices .... ....... ........ ... 54
2 Fonctions de Green indépendantes du temps 61
2.1 Propriétésgénérales ..... ........ ........ ... 63
2.1.1 Définition et propriétés des fonctions de Green . . . . 63
2.1.2 Pointdevueopératoriel....... ... 67
2.1.3 OpérateurLaplacien ........ ........ ... 70
2.1.4 OpérateurdeHelmholtz ...... ... 83
2.1.5 Opérateurs Laplacien et de Helmholtz en basse
dimension ...... ........ ........ ... 87iv Physique et outils mathématiques : méthodes et exemples
2.1.6 Opérateursinhomogènes .... ........ ..... 97
2.2 Applicationsetexemples. ........ 104
2.2.1 Originedelaméthodedesimages ....... ..... 104
2.2.2 Bouleenmouvementuniformedansunfluide 107
2.2.3 Densitéd’étatsd’uneparticulequantique .. ..... 113
2.2.4 Diffusionparunpotentielrépulsif ....... ..... 119
2.2.5 Modélisation simple du vent soufflant sur un mur . . . 122
2.3 Exercices .. ....... ........ ........ ..... 128
3 Fonctions de Green dépendantes du temps 143
3.1 Propriétésgénérales ... ........ ........ ..... 145
3.1.1 FonctionsdeGreenetcausalité 145
3.1.2 Opérateursàvariablesséparables ....... ..... 148
3.1.3 Équationdediffusion ...... ........ 155
3.1.4 ÉquationdeSchrödinger .... ..... 165
3.1.5 ÉquationdeBloch........ 177
3.1.6 Équationded’Alembert .... ........ ..... 181
3.2 Applicationsetexemples. 199
3.2.1 Diffusiondansunsegment ... ..... 199
3.2.2 Diffraction de Fraunhofer . . . ........ 203
3.2.3 Émissiond’ondessonores ... ..... 209
3.2.4 Frontd’ondeenrégimesupersonique ..... ..... 215
3.2.5 Sur l’instantanéité de la propagation de la chaleur . . . 221
3.2.6 Polarisabilité de l’atome d’hydrogène ..... ..... 227
3.3 Exercices .. ....... ........ ........ 236
4 Méthode du Col 245
4.1 Propriétésgénérales ... ........ ........ ..... 247
4.1.1 Intégralesimple . 247
4.1.2 Intégralesuruncheminduplancomplexe . . ..... 254
4.1.3 Casd’uneintégralemultiple . . ........ 262
4.2 Applicationsetexemples. ........ ..... 267
4.2.1 Formule de Stirling et facteur d’indiscernabilité .... 267
4.2.2 Équivalence des ensembles canonique
etmicro-canonique ....... ........ ..... 270
4.2.3 Cristalharmoniqueàbassetempérature ... 275
4.2.4 Modèled’Ising . ........ ..... 280
4.2.5 Approximationsemi-classique . ........ 287
4.3 Exercices .. ....... ..... 294
A Fonctions d’une variable complexe 301
B Transformée de Laplace 305
C Opérateurs différentiels à une variable 309Table des matières v
D Espaces de Hilbert et notation de Dirac 313
E Calcul d’intégrales gaussiennes 317
F Généralités sur les transformations de coordonnées 323
G Harmoniques sphériques 327
H Dérivée fonctionnelle 331
I Fonctions de Green usuelles 333
J Solutions des exercices 337
K Références bibliographiques 377
Bibliographie 381
Index 387Liste des exercices
Chapitre premier : pages 54-58
1. Fonctions de réponse associées à des opérateurs linéaires
2. Fonction de réponse d’un circuit RLC
3. Particule brownienne chargée
4. Raie d’absorption
5. Application des relations de Kramers-Kronig en astrophysique
6. Règles de somme
7. Réponse à un bruit
8. Relations de Kramers-Kronig pour un métal
9. Propagation des signaux dans les milieux diélectriques
Chapitre 2 : pages 128-141
1. Fonction de Green G du Laplacien en 3d∞
2. Fonction de Green G du en dimension d≥ 3∞
3. Fonctions de Green du Laplacien en 1d et 2d
4. Symétrie des fonctions de Green du Laplacien avec C.L. de Dirichlet
homogènes
5. Fonctions de Green de Neumann spéciales du Laplacien
6. Règles de somme et résolvante
7. Plan conducteur
8. Fonctions de Green du Laplacien en coordonnées sphériques
9. Charge ponctuelle dans une sphère conductrice
10. Charge ponctuelle et sphère diélectrique
11. Fonction de Green G du Laplacien en coordonnées cylindriques∞
12. Tenseur d’Oseen
13. Fonction de Green en théorie de l’élasticité
14. Laplacien discret et réseau de résistances
15. Méthode des images pour un problème bidimensionnelviii Physique et outils mathématiques : méthodes et exemples
16. Hangar semi-cylindrique soumis au vent
17. Opérateur de Dirac
18. Avance du périhélie de Mercure
19. Oscillateur harmonique en présence d’une impureté
Chapitre 3 : pages 236-242
1. Unicité des solutions des équations de diffusion et de d’Alembert
2. Relations de réciprocité
3. Équation pour les câbles longs
4. Conditions de Neumann en théorie de la diffraction
5. Fonction de Green du d’Alembertien en dimension 2+1
6. Fonction de Green dubertien en d 1+1
7. Fonction de Green G du Laplacien en dimension d≥ 3∞
8. Diffusion de la chaleur dans une boule
9. Des conditions de Dirichlet aux conditions de Robin
10. Conditions de Robin pour l’équation de la chaleur
11. Équation de Cattaneo en 3d
12. Équation de Klein-Gordon
Chapitre 4 : pages 294-298
1. Comportement asymptotique de la fonction de Bessel J0
2. Coefficients du binôme
3. Forme aymptotique de la fonction de Green de Helmholtz
4. Ensemble isotherme-isobare
5. Évolution d’un paquet d’ondes et vitesse de groupe
6. De la fonction de Green de Cattaneo à celle de l’équation de diffusion
7. Modèle d’Ising avec des interactions à longue portée
8. Marche aléatoire de Bernoulli
9. Oscillateur harmonique et théorie des nombresPréface
L’enseignement des outils mathématiques nécessaires en physique est une
tâche difficile. Bien qu’il existe de nombreux cours de mathématiques pour
physiciens, dont certains sous la plume d’auteurs célèbres, ceux-ci ne
suscitent en général pas l’enthousiasme des étudiants. Certains rechignent en
effet à s’imposer le minimum de rigueur mathématique nécessaire, alors que
les autres, n’ayant peut-être pas su choisir une voie la plus conforme à leurs
goûts, souhaitent un enseignement toujours plus formel. Comme dans
beaucoup d’autres sujets « à l’interface », il n’est donc pas rare que l’on aboutisse
à un résultat qui n’intéresse aucune des deux parties en présence. Ce livre a
le grand mérite d’éviter cet écueil en présentant divers outils mathématiques
dans le contexte des problèmes de physique, qui bien souvent, en ont motivé
l’invention. Ainsi, par exemple, les fonctions analytiques ne sont pas
abordées comme une construction mathématique abstraite, isolée de tout autre
contexte et dont on découvrirait dans un second temps les nombreuses
applications potentielles. Au contraire, elles apparaissent naturellement comme
motivées par le problème de la réponse linéaire, permettant de trouver des
relations sur les susceptibilités d’un système physique et d’appréhender les
conséquences des relations de causalité. Les fonctions de Green ou la
méthode du col sont présentées en insistant sur la diversité de leurs applications,
en soulignant ainsi les relations entre divers domaines de la physique, souvent
présentés de façon isolée. Cette approche permet de dégager les concepts
communs à ces différents domaines ainsi que les mécanismes généraux essentiels.
J’ai eu l’occasion d’assister au développement initial de ce cours dans le cadre
du DEA « Physique statistique et phénomènes non linéaires de l’ENS Lyon ».
J’ai pu alors constater son succès, qui a largement dépassé le cadre du DEA
en attirant de nombreux étudiants des maîtrises de mathématiques et de
physique ainsi qu’une bonne partie des chercheurs du laboratoire de physique. Je
souhaite à ce livre un succès comparable.
Stephan FauveAvant-propos
Pendant l’hiver 1994-1995, Stephan Fauve, alors responsable du DEA de
Physique Statistique et Phénomènes Non-Linéaires de l’École Normale
Supérieure de Lyon, proposa à l’un d’entre nous (A.A.) de faire un cours sur
des outils mathématiques particulièrement utiles aux physiciens, comme les
relations de Kramers-Kronig ou les fonctions de Green. Cette suggestion
partait du constat, encore d’actualité à l’heure où nous écrivons ces lignes, que
ces notions sont souvent voilées de mystère.