Supraconductivité , livre ebook

Le tome 1 de cet ouvrage présente et développe l’approche de Bardeen, Cooper et Schrieffer (BCS), fondée sur la condensation de paires de Cooper d’électrons formées grâce à un potentiel attractif médié par les phonons. Le formalisme d’abord présenté à température nulle est, après introduction des quasiparticules, développé à température non nulle. Cette introduction théorique permet de comprendre les effets majeurs observés dans les matériaux supraconducteurs : effet Meissner, effet tunnel des quasiparticules, effet Josephson et réflexions d’Andreev. Le tome 2 expose la théorie phénoménologique de Ginzburg-Landau et les différents aspects de la supraconductivité non conventionnelle, en particulier la supraconductivité à haute température. Cet exposé d’introduction aux fondements de la supraconductivité s’adresse principalement à un public d’étudiants de master 2, de doctorants, d’enseignants et de chercheurs.

Avant-propos ix

1 La paire de Cooper 1

1.1 État métallique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 1

1.1.1 Gaz d’électrons libres . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 1

1.1.2 États à deux particules indépendantes . . . . . . . .. . . . . . 5

1.1.3 Potentiel d’interaction de paire . . . . . . . . . . .. . . . . . . 7

1.2 Potentiel d’appariement . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 7

1.2.1 États de paire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 7

1.2.2 Approximation du potentiel d’appariement . . . . . . .. . . . 8

1.3 La paire de Cooper . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 9

1.3.1 Système à quelques états de paire . . . . . . . . . .. . . . . . 9

1.3.2 État lié et paire de Cooper à 0 K . . . . . . . . . .. . . . . . 11

1.3.3 Fonction d’onde, probabilité de présence . . . . . . .. . . . . 12

1.4 Multiplication des paires de Cooper :

approche qualitative . . . . . . . . . . . 14

2 Théorie BCS à température nulle 17

2.1 Fonction d’onde BCS . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 17

2.1.1 Condensation de Bose-Einstein . . . . . . . . . . . .. . . . . . 17

2.1.2 Condensation de paires de Cooper . . . . . . . . . . .. . . . . 19

2.1.3 Phase et nombre de paires électroniques . . . . . . .. . . . . . 20

2.2 Traitement BCS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 22

2.2.1 Hamiltonien dans la base des états de paire |k↑, −k↓i. . . . . 22

2.2.2 État fondamental BCS . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 24

2.2.3 État fondamental du métal normal . . . . . . . . . . .. . . . 25

2.2.4 Énergie de condensation . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 26

2.3 Approximation BCS conventionnelle . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 27

2.3.1 Les hypothèses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 27

2.3.2 Expression du Gap . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 27

2.4 Structure des paires de Cooper . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 30

2.4.1 Occupation des états de paire . . . . . . . . . . . .. . . . . . 30

2.4.2 Extension des paires de Cooper . . . . . . . . . . . .. . . . . 30

2.4.3 « Évaluation » de la densité de paires de Cooper . . .. . . . . 33

2.5 Énergie de condensation . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 35

2.6 Milieux dilués . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 36

3 États excités et quasiparticules 47

3.1 Nature des quasiparticules . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 47

3.1.1 Électron célibataire . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 47

3.1.2 Introduction aux charges portées par lesquasiparticules . . . . 48

3.1.3 Opérateurs de quasiparticules . . . . . . . . . . . .. . . . . . 50

3.1.4 Formation d’un état électron célibataire . . . . . . .. . . . . . 51

3.1.5 Création d’une « paire excitée » . . . . . . . . . . .. . . . . . 51

3.1.6 Opérateurs de peuplement . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 52

3.1.7 Notation des quasiparticules . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 52

3.2 Énergie des quasiparticules . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 52

3.2.1 Énergie d’une quasiparticule isolée . . . . . . . . .. . . . . . . 52

3.2.2 Énergie d’une paire excitée . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 54

3.2.3 Relation de dispersion des quasiparticules . . . . . .. . . . . . 54

3.2.4 Densité d’états des quasiparticules . . . . . . . . .. . . . . . . 57

3.3 Approche de Bogoliubov des quasiparticules . . . . . . .. . . . . . . . 58

3.3.1 Opérateur de Bogoliubov linéarisé . . . . . . . . . .. . . . . . 58

3.3.2 Opérateur de Bogoliubov compagnon . . . . . . . . . .. . . . 59

3.3.3 Opérateur de Bogoliubov HˆBG. . . . . . . . . 62

3.3.4 Retour sur les branches <électron> et<trou> . . . . . . . . . 63

4 Théorie BCS à température non nulle 69

4.1 Fonction thermodynamiques . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 69

4.1.1 Configuration microscopique du système . . . . . . . .. . . . 70

4.1.2 Énergie libre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 71

4.2 État d’équilibre à la température T . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 73

4.2.1 Expression générale de l’énergie libre . . . . . . . .. . . . . . 73

4.2.2 Probabilité d’occupation d’un état de paire

par une paire condensée . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 73

4.2.3 Statistique des quasiparticules . . . . . . . . . . .. . . . . . . 74

4.2.4 Amplitude de condensation . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 74

4.2.5 Relation de fermeture . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 74

4.3 Approximation BCS . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 75

4.3.1 Gap supraconducteur . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 75

4.3.2 Distribution de Fermi Dirac des quasiparticules

et des électrons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 78

4.3.3 Longueur de cohérence . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 79

4.3.4 Paires de Cooper . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 80

4.4 Quasiparticules à température non nulle . . . . . . . .. . . . . . . . . 83

4.4.1 Relation de dispersion . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 83

4.4.2 Densité d’états des quasiparticules . . . . . . . . .. . . . . . . 83

4.5 Thermodynamique en champ nul . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 84

4.5.1 Les fonctions thermodynamiques . . . . . . . . . . . .. . . . . 84

4.5.2 Chaleur spécifique . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 87

4.5.3 Thermodynamique sous champ magnétique . . . . . . . .. . . 90

4.5.4 Transition Normal/Supraconducteur . . . . . . . . . .. . . . . 91

5 Effet Meissner et fonctions de réponse 105

5.1 Expression générale de la densité de courant . . . . . .. . . . . . . . 105

5.1.1 Opérateur densité de courant . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 105

5.1.2 Hamiltonien en présence d’un champ magnétique . . . .. . . 106

5.1.3 Réponse linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 107

5.1.4 Densité de courant sous l’effet d’un potentiel vecteur. . . . . 110

5.2 Calcul de la fonction de réponse transverse . . . . . .. . . . . . . . . 112

5.2.1 Processus D : dissociation d’une paire condensée . . .. . . . 113

5.2.2 Processus C : changement d’état

d’une quasiparticule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 114

5.3 Fonctions de réponse à q = 0 . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 115

5.3.1 Contribution du processus D . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 115

5.3.2 Contribution du processus C . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 116

5.3.3 Fonction de réponse transverse totale à q = 0 . . . .. . . . . 117

5.3.4 Équation de London . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 117

5.3.5 Métal normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 120

5.4 Fonctions de réponse . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 121

5.4.1 Fonctions de réponse transverse à T = 0 et q 6= 0 . .. . . . . 121

5.4.2 Forme générale de la fonction de réponse . . . . . . .. . . . . 121

5.5 Équation de Pippard . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 122

5.5.1 Équation de London non locale . . . . . . . . . . . .. . . . . . 122

5.5.2 Équation de Pippard . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 123

5.5.3 Retour à l’équation de London non locale . . . . . . .. . . . . 125

5.5.4 Approximation locale . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 126

5.6 Fonctions de réponse et facteurs de cohérence . . . . .. . . . . . . . . 126

5.6.1 Cas général . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 127

5.6.2 Potentiel vecteur et densité de courant . . . . . . .. . . . . . 128

5.6.3 Critère . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 129

5.6.4 Expression analytique des « carrés » facteurs

de Cohérence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 129

5.7 Susceptibilité paramagnétique . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 130

5.7.1 Susceptibilité paramagnétique du métal normal . . . .. . . . 130

5.7.2 Susceptibilité paramagnétique du supraconducteur BCS .. . . 131

5.7.3 Susceptibilité paramagnétique en champ uniforme . . .. . . . 132

5.8 Phénomènes d’absorption [12] . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 132

5.8.1 Expressions générales . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 132

5.8.2 Potentiels indépendants des vecteurs d’onde . . . . .. . . . . 134

5.8.3 Atténuation acoustique . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 137

5.8.4 Relaxation nucléaire . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 142

6 Stabilité de la supraconductivité 165

6.1 Approche générale de l’effet d’une perturbation . . . .. . . . . . . . . 165

6.1.1 Hamiltonien de Bogoliubov . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 165

6.1.2 Perturbations symétriques . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 167

6.1.3 Perturbations antisymétriques . . . . . . . . . . . . .. . . . . 167

6.2 Densité de courant critique . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 168

6.3 Désappariement sous champ magnétique . . . . . . . . . .. . . . . . . 169

vi Table des matières

6.3.1 Potentiel vecteur dans les plaques

supraconductrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 169

6.3.2 Approche du champ magnétique critique en théorie

d’Abrikosov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 171

6.4 Approche temporelle du désappariement . . . . . . . . .. . . . . . . . 172

6.4.1 Déphasage entre électrons appariés . . . . . . . . . .. . . . . 172

6.4.2 Critère de désappariement . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 172

6.5 Désappariement sous champ magnétique en présenced’impuretés non

magnétiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 173

6.5.1 Les processus de diffusion . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 173

6.5.2 Champ magnétique de déasappariement . . . . . . . . .. . . . 175

6.6 Température critique de désappariement . . . . . . . . .. . . . . . . . 178

6.7 Impuretés magnétiques ; désappariement [5] . . . . . . .. . . . . . . . 179

6.7.1 Expression générale . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 179

6.7.2 Calcul des différents termes . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 180

6.7.3 Température critique . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 180

7 Effets tunnel dans les supraconducteurs 183

7.1 Effet tunnel dans les métaux normaux

et les semi-conducteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 183

7.1.1 Expression générale de l’effet tunnel . . . . . . . .. . . . . . . 183

7.1.2 Effet tunnel entre deux métaux normaux . . . . . . . .. . . . 185

7.1.3 Effet tunnel entre deux blocs semi-conducteurs . . . .. . . . . 185

7.2 Modèle semi-conducteur des supraconducteurs . . . . . .. . . . . . . . 188

7.2.1 Présentation générale . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 188

7.2.2 Transfert de quasiparticules entre sous-états

de type électron . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 191

7.2.3 Introduction du modèle semi-conducteur

des supraconducteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 193

7.2.4 Transfert de quasiparticules entre sous-états

de type trou . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 194

7.2.5 Transfert de charges par brisure d’une paire

de Cooper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 195

7.3 Mise en œuvre du modèle semi-conducteur . . . . . . . .. . . . . . . 199

7.3.1 Récapitulatif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 199

7.3.2 Jonctions supraconducteur/métal normal

(SC/I/N) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 200

7.3.3 Jonctions supraconducteur/supraconducteur

« SC1/I/SC2 » . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 203

7.3.4 Jonctions SC1/I/SC2 à température non nulle

entre deux supraconducteurs de mêmes gaps . . . . . . . . .. 205

7.3.5 Jonction SC1/I/SC2 à température non nulle entre deuxsupra[1]conducteurs de gapsdifférents . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207

8 Effet Josephson 211

8.1 Approche élémentaire de l’effet Josephson :

système à 2 états . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 211

8.1.1 Modèle d’un système à deux états . . . . . . . . . . .. . . . . 211

Table des matières vii

8.1.2 Courants Josephson . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 213

8.2 Modèle d’un système à grand nombre d’états . . . . . . .. . . . . . . 214

8.3 Théorie unifiée des effets tunnel et Josephson . . . . .. . . . . . . . . 216

8.3.1 Jonction non polarisée (V = 0) . . . . . . . . . . . .. . . . . . 216

8.3.2 Jonction polarisée (V 6=0) . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 217

8.3.3 Résultats des développements théoriques . . . . . . .. . . . . 219

8.3.4 Résultats expérimentaux . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 221

8.3.5 Intensité du courant . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 235

8.3.6 Intensité du courant à travers une jonction

polarisée (V 6= 0) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 246

9 Réflexions et niveaux d’Andreev 249

9.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 249

9.1.1 Marche et puits de potentiels « ordinaires » [1,2] . .. . . . . . 249

9.1.2 Marches, puits et barrières de gap . . . . . . . . . .. . . . . . 254

9.2 Fonctions d’onde des quasiparticules . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 255

9.2.1 Retour sur les caractéristiques des quasiparticules .. . . . . . 255

9.2.2 Fonctions d’onde à une dimension . . . . . . . . . . .. . . . . 256

9.3 Marche de gap : jonction métal normal-supraconducteur(N/SC) . . 258

9.3.1 Particules incidentes d’énergies supérieures au gap

(E > ∆) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 259

9.3.2 Particules incidentes d’énergies inférieures au gap (E< ∆) :

ondes évanescentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 262

9.3.3 Marche de gap inversée . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 264

9.3.4 Réflexion de Andreev et conservation de la charge . .. . . . . 266

9.4 Niveaux d’Andreev et effets associés . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 266

9.4.1 Généralités sur les puits de gap . . . . . . . . . . .. . . . . . 266

9.4.2 Niveaux d’Andreev à électrons se déplaçant de SC1 àSC2 . . 267

9.4.3 Niveaux d’Andreev à trous se déplaçant

de SC1 à SC2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 269

9.4.4 Dégénérescence des niveaux de Andreev . . . . . . . .. . . . . 270

9.4.5 Jonction Josephson à barrière en métal normal . . . .. . . . . 270

9.4.6 Redéfinition d’une Jonction Josephson . . . . . . . .. . . . . 272

9.5 Résonances de diffusion [13,14] . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 273

9.5.1 Effet Tomasch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 273

9.5.2 Oscillations de Rowell-McMillan . . . . . . . . . . .. . . . . . 276

9.6 Mécanisme de changement de nature de quasiparticule lorsd’une

réflexion d’Andreev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 279

10 Couplage électron-phonon 285

10.1 Modèle du jellium . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 285

10.1.1 Constante diélectrique . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 285

10.1.2 Fréquence plasma des électrons . . . . . . . . . . .. . . . . . . 287

10.1.3 Potentiel de Thomas-Fermi . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 288

10.1.4 Fréquence plasma des ions . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 289

10.1.5 Le modèle du jellium . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 290

10.2 Couplage électron-phonon . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 292

10.2.1 Hamiltonien d’interaction . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 292

viii Table des matières

10.2.2 États de paire [5] . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 294

10.2.3 État intermédiaire . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 296

10.3 Couplage fort . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 296

10.3.1 Problématique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 296

10.3.2 Processus et origine de la renormalisation . . . . .. . . . . . . 297

10.3.3 Équations d’Eliashberg . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 297

10.3.4 Expression des grandeurs physiques

en couplage fort . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 298

10.4 Potentiel d’interaction électron-électron . . . . . . .. . . . . . . . . . 305

Annexe A1 307

A1.1 Seconde quantification appliquée aux fermions . . . . .. . . . 307

A1.2 Vecteurs « ket » et « bra » . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 312

A1.3 Écriture des opérateurs en seconde quantification . . .. . . . 313

A1.4 Opérateurs de densités . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 316

A1.5 Le gaz électronique en seconde quantification . . . . .. . . . . 317

Table Notation 321

Quelques ouvrages de référence 325

Index 329