Théorie des fonctions holomorphes de plusieurs variables

Christine Laurent-Thiébaut

Description

Une introduction à la théorie des fonctions holomorphes de plusieurs variables dans Cn et dans les variétés analytiques complexes. La présentation, suivant la méthode des représentations intégrales associées à la technique des bosses de Grauert, permet le prolongement naturel des techniques utilisées dans la théorie des fonctions holomorphes à une variable.

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Informations

• Publié par: EDP Sciences
• Date de parution: 05 janvier 1997
• Nombre de lectures: 1
• EAN13: 9782868833792
• Langue: Français
• Poids de l'ouvrage: 11 Mo

Extrait

Théorie
des fonctions holomorphes
de plusieurs variables CHEZ LE MÊME ÉDITEUR
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Groupes quantiques. Introduction au point de vue formel, par A. Guichardet. 1995,
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Photons et atomes. Introduction à l'électrodynamique quantique, par C. Cohen-Tannoudji,
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Roc, G. Grynberg. nouveau tirage, 1988,648 pages.
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Éléments de chimie quantique à l'usage des chimistes, par J. L. Rivail. 1994, 2e édition,
456 pages.
Astrophysique : méthodes physiques de l'observation, par P. Léna. 1996, 2e édition,
528 pages. Théorie
des fonctions holomorphes
de plusieurs variables
Christine Laurent-Thiébaut
Professeur à l'université Joseph Fourier (Grenoble 1)
SAVOIRS ACTUELS
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ISBN : 2-7296-0660-2
ISSN : 2-271-05501-6 Table des matières
Avant-propos ......................... ix
Introduction .......................... xi
I Propriétés élémentaires locales des fonctions holomorphes
de plusieurs variables complexes ............. 1
1 Notations et définitions ................... 1
2 Formule de Cauchy dans les polydisques ............ 4
3 Théorème de l'application ouverte .............. 8
4 Suites de fonctions holomorphes 10
5 Applications holomorphes ................ 11
6 Quelques théorèmes d'extension holomorphe ......... 13
II Courants. structures complexes 21
1 Courants ....................... 21
2 Régularisation ..................... 28
3 Indice de Kronecker ................... 38
4 Variétés analytiques complexes ............... 43
5 Structures complexes 46
6 Formes différentielles de type (p. q) ............. 47
7 Opérateur a. cohomologie de Dolbeault ........... 49
8 Espace tangent complexe au bord dun domaine ........ 51
III Noyau et formule de Bochner-Martinelli . Applications ... 55
1 NoyauetformuledeBochner-Martinelli-Koppelman ...... 55
Résolubilité du 8 pour une donnée à support compact 61 2
3 Régularité du 8 ..................... 66
4 Phénomène de Hartogs .................. 69 vi Table des matières
IV Transformée de Bochner-Martinelli et extension
de fonctions CR ..................... 73
1 de Bochner-Martineili ............. 73
2 Fonctions CR sur une hypersurface réelle .......... 77
3 Théorème de Bochner .................. 79
4 Formule de Stokes pour les fonctions CR ........... 83
5 Primitives du noyau de Bochner-Martinelli 85
6 Un théorème d'extension de fonctions CR .......... 87
V Extension de fonctions holomorphes et de fonctions CR
dans les variétés ..................... 91
1 Cohomologie à support compact et phénomène de Hartogs ... 91
2 Extension de fonctions CR de classe C" ........... 94
3 FormuledeCauchy-Fantappié-LemmedeDolbeault ...... 96
4 Isomorphisme de Dolbeault ................ 101
5 Théorème de Bochner et extension de fonctions CR
dans les variétés 105
VI Domainesd'holomorphieetpseudoconvexité ....... 109
1 Domainesdholomorphieetconvexitéholomorphe 109
2 Fonctions plurisousharmoniques .............. 117
3 Pseudoconvexité .................... 129
VI1 Problème de Levi et résolution du a dans les domaines
strictement pseudoconvexes ............... 143
1 Résolution du d avec estimations holdériennes dans les ouverts convexes ................... 144
2 Approximation uniforme locale des formes d-fermées dans les
domaines strictement pseudoconvexes ........... 153
3 Finitude de la cohomologie de Dolbeault dans les domaines
strictement pseudoconvexes ................ 155
4 Invariance de la de Dolbeault par les extensions 157
5 Théorème d'annulation pour la cohomologie de Dolbeault dans les
domaines strictement pseudoconvexes ........... 161
6 Formule intégrale pour résoudre le a avec estimation holdérienne
danslesdomainesstrictementpseudoconvexes ........ 163
7 Problème de Levi dans cc" ................. 170
8 Problème de Levi dans les variétés analytiques complexes .... 174 Table des matières vii
VI11 Caractérisation des singularités illusoires pour les fonctions
CR sur un bord strictement pseudoconvexe ........ 189
1 Réduction au cas des fonctions continues ........... 189
2 Cas de la dimension 2 .................. 190
3 Caractérisationcohomologiqueendimensionn 2 2 ...... 192
4 Caractérisationdessingularitésillusoiresfaibles ........ 194
Annexe A .......................... 203
1 Variétés différentiables 203
2 Partitions de l’unité ................... 205
3 Espace cotangent en un point - Formes différentielles de degré 1 . 207
4 Espacetangentenunpoint-Champsdevecteurs ....... 208
5 Algèbre des formes différentielles .............. 211
6 Intégration des formes ............ 216
7 Formule de Stokes .................... 220
Annexe B .......................... 223
Annexe C 231
Bibliographie ........................ 235
Index des notations ..................... 239
Index terminologique .................... 243 Avant-propos
L‘origine de cet ouvrage est un cours fondamental de 3e cycle donné à l’Institut
Fourier en 1994-95. Son objet est d’initier à la théorie des fonctions holomorphes
de plusieurs variables complexes dans C” et dans les variétés analytiques com-
plexes. I1 s’adresse en priorité à des étudiants en DEA ou débutant une thèse. I1
suppose connus les fondements de la théorie des fonctions holomorphes d’une
variable complexe. Par contre, les bases de géométrie différentielle et de théorie
des courants nécessaires à l’étude de l’analyse pluricomplexe sont rappelées dans
l’annexe A et le chapitre II de ce volume.
Nous utilisons la méthode des représentations intégrales couplée avec la tech-
nique des bosses de Grauert. Ce point de vue a l’avantage de proposer un pro-
longement naturel en plusieurs variables des techniques d’une variable com-
plexe et de conduire rapidement à d‘importants résultats globaux tout en évitant
l’introduction de trop nombreux outils nouveaux. Ayant acquis ces méthodes, pré-
sentées ici dans le cadre de la pseudoconvexité, le lecteur pourra aborder sans trop
de difficultés la théorie d’Andreotti-Grauert, tant dans les variétés analytiques com-
plexes que dans les variétés CR (cf. [He/Le2] et [L-T/Lel). Pour les applications,
l’accent est mis sur les problèmes globaux d’extension de fonctions CR : phé-
nomène de Hartogs-Bochner, étude des singularités illusoires pour les fonctions
CR.
La plupart des thèmes traités étant classiques, puisqu’ils font partie des fon-
dements de l’Analyse Complexe, il est difficile d‘être original. Ce travail s’est donc
largement inspiré d’ouvrages existants. Les sources utilisées ainsi que quelques re-
pères historiques sont précisés à la fin de chaque chapitre. La bibliographie ne se
propose pas d‘être exhaustive, c’est pourquoi de nombreux travaux fondamentaux
en relation avec le sujet traité n’y sont pas inclus. Le lecteur intéressé par des notes
historiques précises et une bibliographie beaucoup plus complète pourra consulter
les notes de fin de chapitre et la du livre de R.M. Range [Ra].
Une partie de ce livre (les paragraphes 5 et 6 du chapitre IV, le paragraphe 5
du chapitre Vet le chapitre VIII) doit beaucoup aux travaux de Guido Lupacciolu,
disparu prématurément en décembre 1996. X Avant-propos
Pour finir je voudrais remercier tous ceux qui m’ont aidée dans la rédaction de
ce livre et plus particulièrement Alain Dufresnoy et Jürgen Leiterer. C’est grâce à
leurs remarques, tant sur la forme que sur le fond, que ce livre a pu atteindre sa
forme finale.
Un grand merci égaiement à Myriam Charles pour la saisie d’un texte particu-
lièrement riche en formules mathématiques et à Arlette Guttin-Lombard pour ses
conseils Tg-niques. Introduction
Au début du siècle E Hartogs a mis en évidence les propriétes particulières
d‘extension des fonctions hoiomorphes de plusieurs variables c