Théorie ergodique et systèmes dynamiques

Yves Coudène

Description

Ce livre est une introduction à la théorie ergodique et aux systèmes dynamiques. Issu d’un cours de Master 2 donné à l’Université de Rennes 1, il est destiné à un public d’étudiants désireux d’acquérir des bases solides dans ces disciplines, ou à des chercheurs d’autres domaines souhaitant se familiariser avec les problématiques rencontrées.

Du point de vue mesurable, "Théorie ergodique et systèmes dynamiques" est organisé autour des concepts d’ergodicité, de mélange, d’entropie et d’isomorphisme. Un chapitre est consacré à la décomposition ergodique dans les espaces de Lebesgue. En matière de dynamique topologique, on s’intéresse aux notions de non-errance, de transitivité, mélange topologique, conjugaison et linéarisation.

"Théorie ergodique et systèmes dynamiques" est illustré par de nombreux exemples : applications de l’intervalle, décalages de Bernoulli, pendule pesant, flot géodésique en courbure négative, systèmes Morse-Smale, fractions rationnelles sur la sphère de Riemann et attracteurs dérivés d’Anosov.

Sujets

• Sciences & Techniques
• Mathématiques
• Sciences formelles
• Mathématiques générales
• Mathématiques générales
• Sciences et techniques
• Henri Léon Lebesgue
• Henri Lebesgue
• Mathematics
• Lebesgue

Informations

• Publié par: EDP Sciences
• Date de parution: 01 janvier 2013
• Nombre de lectures: 2
• EAN13: 9782759809967
• Langue: Français
• Poids de l'ouvrage: 3 Mo

Extrait

YVES COUDÈNE
THÉORIE ERGODIQUE ET SYSTÈMES DYNAMIQUES
MATHÉMATIQUES
MATHÉMATIQUESMATHÉMATIQUES
SAVOIRS ACTUELS
THÉORIE ERGODIQUE
ET SYSTÈMES DYNAMIQUES YVES COUDÈNE
Ce livre est une introduction à la théorie ergodique et aux systèmes dynamiques.
Issu d’un cours de Master 2 donné à l’Université de Rennes 1, il est destiné à un public
d’étudiants désireux d’acquérir des bases solides dans ces disciplines, ou à des chercheurs
d’autres domaines souhaitant se familiariser avec les problématiques rencontrées.
Du point de vue mesurable, le livre est organisé autour des concepts d’ergodicité, de THÉORIE ERGODIQUE
mélange, d’entropie et d’isomorphisme. Un chapitre est consacré à la décomposition
ergodique dans les espaces de Lebesgue. En matière de dynamique topologique, on
s’intéresse aux notions de non-errance, de transitivité, mélange topologique, conjugaison ET SYSTÈMES
et linéarisation.
L’ouvrage est illustré par de nombreux exemples : applications de l’intervalle, décalages DYNAMIQUESde Bernoulli, pendule pesant, flot géodésique en courbure négative, systèmes
MorseSmale, fractions rationnelles sur la sphère de Riemann et attracteurs dérivés d’Anosov.
Yves Coudène professeur à l’Université de Bretagne occidentale, est spécialiste de dynamique
hyperbolique, de théorie ergodique et de géométrie en courbure négative ou nulle.
Série Mathématiques dirigée par Claude SABBAH
SAVOIRS ACTUELS
CNRS ÉDITIONS
www.cnrseditions.fr www.edpsciences.org
YVES COUDÈNE
Création graphique : Béatrice Couëdel
Ces ouvrages, écrits par des chercheurs, reflètent des
enseignements dispensés dans le cadre de la formation à la
recherche. Ils s’adressent donc aux étudiants avancés, aux
chercheurs désireux de perfectionner leurs connaissances ainsi 34 €
qu’à tout lecteur passionné par la science contemporaine.ISBN EDP Sciences 978-2-7598-0760-4
ISBN CNRS ÉDITIONS 978-2-271-07603-8 CNRS ÉDITIONS
“lims_Naila” — 2012/11/26 — 15:04 — page 1 — #1

Yves Coudène
Théorie ergodique
et systèmes dynamiques
SAVOIRS ACTUELS
EDPSciences/CNRSÉDITIONS


“lims_Naila” — 2012/11/26 — 15:04 — page 2 — #2

Y. Coudène
Département de mathématiques
Université de Bretagne Occidentale
6 avenue Le Gorgeu
29238 Brest Cedex 3
France
E-mail : [e-mail]
Illustration de couverture : Un attracteur dérivé d’Anosov,
étudié au chapitre 9.
Imprimé en France.
c 2012, EDP Sciences, 17, avenue du Hoggar, BP 112, Parc d’activités de Courtabœuf,
91944 Les Ulis Cedex A
et
CNRS ÉDITIONS, 15, rue Malebranche, 75005 Paris.
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ISBN EDP Sciences 978-2-7598-0760-4
ISBN CNRS Éditions 978-2-271-07603-8

TABLE DES MATIÈRES
Introduction......................................................... 1
Partie I. Théorie ergodique
1. Théorème ergodique en moyenne.............................. 7
1. Introduction.................................................... 7
2. Théorème ergodique en moyenne............................... 8
3. Application à la mécanique classique........................... 12
4. Exercices....................................................... 16
5. Commentaires.................................................. 17
2. Théorème ergodique presque partout......................... 19
1. Introduction.................................................... 19
2. Théorème ergodique ponctuel................................... 20
3. Ergodicité du décalage.......................................... 24
4. Exercices....................................................... 27
5. Commentaires.................................................. 27
3. Mélange........................................................... 31
1. Introduction.................................................... 31
2. Définition du mélange.......................................... 32
3. Exemple de la multiplication par 2............................. 33
4.ple du décalage de Bernoulli.............................. 34
5. Exemple des endomorphismes des tores......................... 34
6. Exercices....................................................... 37
7. Commentaires.................................................. 38
4. L’argument de Hopf............................................. 41
1. Introduction.................................................... 41
2. Feuilletage stable et fonctions invariantes....................... 42
3. Application aux automorphismes du tore....................... 44
4. Flots sur les quotients de PSL (R)............................. 462
5. Exercices....................................................... 49
6. Commentaires.................................................. 50iv TABLE DES MATIÈRES
Partie II. Systèmes dynamiques
5. Dynamique topologique......................................... 55
1. Introduction.................................................... 55
2. Transitivité et mélange topologique............................. 56
3. Points récurrents et ensemble non errant....................... 58
4. Exercices....................................................... 61
5. Commentaires.................................................. 62
6. Non-errance...................................................... 65
1. Introduction.................................................... 65
2. Non-errance.................................................... 66
3. Exemples....................................................... 67
4. Graphe associé à la dynamique................................. 69
5. Exercices....................................................... 71
6. Commentaires.................................................. 72
7. Conjugaison...................................................... 75
1. Introduction.................................................... 75
2. Conjugaison et semi-conjugaison................................ 76
3. Fonctions elliptiques............................................ 78
4. Le pendule simple.............................................. 79
5. Les exemples de Schröder (1871)................................ 79
6. Exercices....................................................... 82
7. Commentaires.................................................. 83
8. Linéarisation...................................................... 85
1. Introduction.................................................... 85
2. Le théorème du point fixe hyperbolique......................... 86
3. Théorème de linéarisation, cas lipschitzien...................... 87
4. T de cas différentiable.................... 88
5. Exercices....................................................... 92
6. Commentaires.................................................. 93
9. Un attracteur étrange........................................... 97
1. Introduction.................................................... 97
2. Perturbation d’un automorphisme du tore...................... 98
3. Étude de la dynamique perturbée...............................100
4. Transitivité et mélange.........................................102
5. Exercices.......................................................104
6. Commentaires..................................................105TABLE DES MATIÈRES v
Partie III. Théorie de l’entropie
10. Entropie.........................................................109
1. Introduction....................................................109
2. Définition de l’entropie.........................................110
3. Propriétés de l’en.........................................112
4. Partitions génératrices..........................................113
5. Entropie et isomorphisme.......................................115
6. Exercices.......................................................117
7. Commentaires..................................................118
11. Entropie et théorie de l’information.........................121
1. Introduction....................................................121
2. La notion d’information........................................122
3. Le jeu des questions et des réponses............................125
4. Information et chaînes de Markov..............................125
5. Interprétation dans le cadre dynamique.........................127
6. Exercices.......................................................129
7. Commentaires..................................................130
12. Calculs d’entropie..............................................131
1. Introduction....................................................131
2. Formule de Rokhlin.............................................132
3. Entropie des décalages..........................................134
4. En des applications dilatantes............................135
5. Exercices.......................................................138
6. Commentaires..................................................139
Partie IV. Décomposition ergodique
13. Espaces de Lebesgue et isomorphisme.......................143
1. Introduction....................................................143
2. Isomorphisme mesurable........................................144
3. Espace de Lebesgue.............................................