Vibrations des milieux continus

Jean-Louis Guyader

Description

Cet ouvrage présente les vibrations des milieux solides élastiques. Il a pour objectif de permettre une bonne compréhension des phénomènes physiques et des méthodes de prévision, il offre de plus une synthèse des résultats de référence sur les vibrations des poutres et des plaques. Trois aspects sont développés : la modélisation, la description des phénomènes et les méthodes de calcul. L'ouvrage tente notamment de faire comprendre les limites qui se cachent derrière toute modélisation. À ce titre, des exemples simples sont proposés et différentes modélisations d'un même problème font l'objet de confrontations. Ce livre s'adresse aux étudiants en mécanique et en acoustique (élèves ingénieurs ou universitaires), aux doctorants et aux ingénieurs désirant se spécialiser dans le domaine de la dynamique vibratoire et plus particulièrement vers les vibrations de l'acousticien, c'est-à-dire à fréquence moyenne et haute et où la double présentation modale et ondulatoire est nécessaire.

Sujets

• Sciences expérimentales
• Physique
• Sciences
• Sciences et techniques
• Sound
• Physical attractiveness
• Acoustics
• Science de la nature
• Mécanique
• Dynamique
• Science

Informations

• Publié par: Hermès - Editions Lavoisier
• Date de parution: 07 septembre 2022
• Nombre de lectures: 1
• EAN13: 9782746228436
• Langue: Français
• Poids de l'ouvrage: 27 Mo

Extrait

Vibrations des milieux continus

© LAVOISIER, 2002 LAVOISIER 11, rue Lavoisier 75008 Paris

Serveur web : www.hermes-science.com

ISBN 2-7462-0546-7

Catalogage Electre-Bibliographie Guyader, Jean-Louis Vibrations des milieux continus Paris, Hermès Science Publications, 2002 ISBN 2-7462-0546-7 RAMEAU : milieux continus, mécanique des : manuels d’enseignement supérieur vibrations DEWEY : 378.52 : Enseignement supérieur. Physique. Chimie 534 : Son et vibrations connexes. Acoustique

Le Code de la propriété intellectuelle n'autorisant, aux termes de l'article L. 122-5, d'une part, que les "copies ou reproductions strictement réservées à l'usage privé du copiste et non destinées à une utilisation collective" et, d'autre part, que les analyses et les courtes citations dans un but d'exemple et d'illustration, "toute représentation ou reproduction intégrale, ou partielle, faite sans le consentement de l'auteur ou de ses ayants droit ou ayants cause, est illicite" (article L. 122-4). Cette représentation ou reproduction, par quelque procédé que ce soit, constituerait donc une contrefaçon sanctionnée par les articles L. 335-2 et suivants du Code de la propriété intellectuelle.

Vibrations des milieux continus

Jean-Louis Guyader

Collection A COUSTIQUE sous la direction scientifique de Bernard P OIRÉE

La Société Française d’Acoustique, SFA, est une société savante qui s’efforce de diffuser les connaissances acoustiques sous toutes leurs formes. La diversité des théories et des applications a conduit à la création de cette collection qui publie des ouvrages didactiques fondamentaux ainsi que des ouvrages appliqués ou historiques sur l’acoustique. Tous sont à la fois d’un haut niveau pédagogique et très actuels au point de vue de l’avancement des technologies et de la recherche.

E XTRAIT DU CATALOGUE GÉNÉRAL Acoustique industrielle et aéroacoustique, Serge L ÉWY , 2001. Petite histoire de l’acoustique, Pierre Liénard, 2001. Essais mécaniques et lois de comportement, Dominique F RANÇOIS (dir.), 2001. Homogénéisation en mécanique des matériaux, Tome 1 –matériaux aléatoires élastiques et milieux périodiques Tome 2 –comportements non linéaires et problèmes ouverts Michel B ORNERT , Thierry B RETHEAU , Pierre G ILORMINI (dir.), 2001. La maîtrise du calcul en mécanique linéaire et non linéaire, Pierre L ADEVÈZE , Jean-Pierre P ELLE , 2001. Mécanique non linéaire des matériaux, Jacques B ESSON , Georges C AILLETAUD , Jean-Louis C HABOCHE , Samuel F OREST , 2001. Modélisation des systèmes mécaniques, François A XISA , 2001. Volume 1 –Systèmes discrets Volume 2 –Systèmes continus Volume 3 –Interactions fluides structures Volume 4 –Vibrations sous écoulements Systèmes et microsystèmes pour la caractérisation –C2I volume 2, François L EPOUTRE , Dominique P LACKO , Yves S UREL (dir.), 2001. Des matériaux et des sons, Laurent E SPIÉ (dir.),Revue des composites et des matériaux avancés, vol. 10, 2000. Vibrations et chocs mécaniques, Christian Lalanne, 1999. Volume 1 –Vibrations sinusoïdales Volume 2 –Chocs mécaniques Volume 3 –Vibrations aléatoires Volume 4 –Dommage par fatigue Volume 5 –Elaboration des spécifications Manuel d’acoustique fondamentale, Michel B RUNEAU , 1998.

Table des matières

Avant-propos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Chapitre 1. Vibrations des milieux continus solides élastiques. . . . . . . . 1.1. Objet du chapitre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2. Équations du mouvement et conditions aux limites des milieux continus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1. Description du mouvement des milieux continus . . . . . . . . . . 1.2.2. Loi de conservation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.3. Conservation de la masse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.4. Conservation de la quantité de mouvement. . . . . . . . . . . . . . 1.2.5. Conservation de l’énergie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.6. Conditions aux limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3. Étude des vibrations : petits mouvements autour d’une position d’équilibre statique, stable. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.1. Linéarisation autour d’une configuration de référence . . . . . . . 1.3.2. Milieux continus solides élastiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.3. Récapitulatif du problème des petits mouvements d’un milieu continu élastique en régime adiabatique . . . . . . . . . . . . 1.3.4. Position d’équilibre statique d’un milieu solide élastique . . . . . 1.3.5. Vibrations des milieux solides élastiques . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.6. Conditions aux limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.7. Équations des vibrations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.8. Remarques sur les conditions initiales du problème de vibrations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.9. Formulation en déplacement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.10. Vibration de milieux solides viscoélastiques . . . . . . . . . . . . 1.4. Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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Chapitre 2. Formulation variationnelle des vibrations des milieux solides élastiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1. Objet du chapitre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2. Notion de fonctionnelle, bases de la méthode variationnelle . . . . . . . 2.2.1. Le problème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.2. Lemme fondamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.3. Base de la formulation variationnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.4. Dérivée directionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.5. Extremum d’une fonctionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3. Fonctionnelle de Reissner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1. Fonctionnelle de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.2. Quelques cas particuliers de conditions aux limites. . . . . . . . . 2.3.3. Cas de conditions aux limites présentant des effets de raideur et de masse. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4. Fonctionnelle de Hamilton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.1. La fonctionnelle de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.2. Quelques cas particuliers de conditions aux limites. . . . . . . . . 2.5. Solutions approchées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6. Équations d’Euler associées à l’extremum d’une fonctionnelle . . . . . 2.6.1. Introduction et premier exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6.2. Deuxième exemple : vibrations de plaques . . . . . . . . . . . . . . 2.6.3. Quelques résultats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6.3.1. Fonctionnelle du type mécanique du solide indéformable. . 2.6.3.2. Fonctionnelle de type poutre en statique . . . . . . . . . . . . 2.6.3.3. Fonctionnelle de type vibration de poutres. . . . . . . . . . . 2.6.3.4. Fonctionnelle du type vibration de plaques . . . . . . . . . . 2.6.3.5. Fonctionnelle du type vibration de milieu tridimensionnel . 2.7. Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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Chapitre 3. Équations des vibrations des poutres droites . . . . . . . . . . . 79 3.1. Objet du chapitre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 3.2. Hypothèses de condensation des poutres droites . . . . . . . . . . . . . . 80 3.3. Équations des vibrations longitudinales des poutres droites . . . . . . . 82 3.3.1. Équations de base en variables mixtes . . . . . . . . . . . . . . . . 82 3.3.2. Équations en variables déplacements . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 3.3.3. Équations en variables déplacements obtenues par la fonctionnelle de Hamilton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 3.4. Équations des vibrations de torsion des poutres droites . . . . . . . . . . 90 3.4.1. Équations de base en variables mixtes . . . . . . . . . . . . . . . . 90 3.4.2. Équation en déplacements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 3.5. Équations des vibrations de flexion des poutres droites. . . . . . . . . . 95

Table des matières 7

3.5.1. Équations de base en variables mixtes : poutre de Timoshenko . 3.5.2. Équations en variables déplacements : poutre de Timoshenko . . 3.5.3. Équations de base en variables mixtes : poutre d’Euler-Bernoulli . 3.5.4. Équations de la poutre d’Euler-Bernoulli en variable déplacement . 3.6. Mouvements vibratoires complexes : poutre sandwich à âme souple. . 3.7. Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Chapitre 4. Équations des vibrations libres des plaques minces . . . . . . . 4.1. Objet du chapitre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2. Hypothèses de plaque mince. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.1. Démarche générale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.2. Vibrations dans le plan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.3. Vibrations transversales : hypothèses de Mindlin . . . . . . . . . . 4.2.4. Vibrations transversales : hypothèses de Love-Kirchhoff . . . . . 4.2.5. Plaques non homogènes dans l’épaisseur . . . . . . . . . . . . . . . 4.3. Équations du mouvement et conditions aux limites des vibrations dans le plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4. Équations du mouvement et conditions aux limites des vibrations transversales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.1. Hypothèses de Mindlin : équations en variables mixtes . . . . . . 4.4.2. Hypothèses de Mindlin : équations en variables déplacements . . 4.4.3. Hypothèses de Love-Kirchhoff : équations en variables mixtes . 4.4.4. Hypothèses de Love-Kirchhoff : équations en variables déplacements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.5. Hypothèses de Love-Kirchhoff : équations en variables déplacements obtenues par la fonctionnelle de Hamilton . . . . . . . . . 4.4.6. Quelques remarques sur les formulations des vibrations transversales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5. Les mouvements couplés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.6. Équations en coordonnées polaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.6.1. Relations de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.6.2. Équations des vibrations transversales des plaques de Love-Kirchhoff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.7. Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Chapitre 5. Phénomènes vibratoires régis par l’équation d’onde . . . . . . 5.1. Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2. Équation d’onde : pose du problème et unicité de la solution . . . . . . 5.2.1. L’équation d’onde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.2. Équation de l’énergie, unicité de la solution . . . . . . . . . . . . .

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5.2.2.1. Équation de l’énergie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.2.2.Unicité de la solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3. Résolution de l’équation d’onde par la méthode de propagation . . . . 5.3.1. Solution générale de l’équation d’onde . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.2. Prise en compte des conditions initiales. . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.3. Prise en compte des conditions aux limites, sources images. . . . 5.4. Résolution de l’équation d’onde par séparation de variables . . . . . . . 5.4.1. Solution générale de l’équation d’onde sous forme de variables séparées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4.2. Prise en compte des conditions aux limites . . . . . . . . . . . . . . 5.4.3. Prise en compte des conditions initiales. . . . . . . . . . . . . . . . 5.4.4. Orthogonalité des fonctions propres . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.5. Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.5.1. Vibrations longitudinales d’une poutre encastrée-libre. . . . . . . 5.5.2. Vibrations de torsion d’une ligne d’arbres avec réducteur . . . . . 5.6. Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Chapitre 6. Vibrations libres des poutres en flexion . . . . . . . . . . . . . . . 6.1. Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2. Le problème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3. Solution de l’équation de la poutre homogène à section constante . . . 6.3.1. Résolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3.2. Interprétation de la solution vibratoire, ondes progressives, ondes évanescentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4. Propagation dans les poutres infinies. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4.1. Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4.2. Propagation d’un paquet d’ondes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.5. Introduction des conditions aux limites, schéma modal. . . . . . . . . . 6.5.1. Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.5.2. Le cas de la poutre appuyée-appuyée . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.5.3. Le cas de la poutre appuyée-encastrée . . . . . . . . . . . . . . . . 6.5.4. La poutre libre-libre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.5.5. Tableau récapitulatif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.6. Liaison contrainte-déplacement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.7. Influence des effets secondaires. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.7.1. Influence de l’inertie rotationnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.7.2. Influence du cisaillement transversal . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.7.3. Prise en compte du cisaillement et de l’inertie rotationnelle . . . . 6.7.3.1. Propagation d’ondes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.7.3.2. Schéma modal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.8. Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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Chapitre 7. Vibrations transversales des plaques . . . . . . . . . . . . . . . . 7.1. Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2. Pose du problème : écriture des conditions aux limites . . . . . . . . . . 7.3. Solution de l’équation de mouvement par séparation de variables . . . 7.3.1. Séparation des variables d’espace et du temps . . . . . . . . . . . . 7.3.2. Résolution de l’équation de mouvement par séparation des variables d’espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3.3. Résolution de l’équation de mouvement (deuxième méthode) . . 7.4. Schéma modal des plaques appuyées sur deux bords opposés . . . . . . 7.4.1. Cas général. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.4.2. Plaque appuyée sur ses quatre bords. . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.4.3. Interprétation physique du schéma modal . . . . . . . . . . . . . . 7.4.4. Le cas particulier des plaques carrées . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.4.5. Deuxième méthode de calcul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.5. Schéma modal des plaques rectangulaires : approximation par la méthode de l’effet de bord . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.5.1. Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.5.2. Mise en forme de la méthode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.5.3. La plaque encastrée sur ses quatre bords . . . . . . . . . . . . . . . 7.5.4. Autre type de conditions aux limites. . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.5.5. Approximation des déformées propres . . . . . . . . . . . . . . . . 7.6. Calcul de la réponse vibratoire libre consécutive à l’application de conditions initiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.7. Plaques circulaires. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.7.1. Équation du mouvement et solution par séparation de variables . 7.7.2. Schéma modal de la plaque circulaire pleine encastrée sur le bord . 7.7.3. Schéma modal d’une plaque annulaire . . . . . . . . . . . . . . . . 7.8. Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Chapitre 8. Prise en compte de l’amortissement. Exemple de l’équation d’onde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.1. Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2. Équation d’onde avec amortissement visqueux . . . . . . . . . . . . . . 8.3. Amortissement par conditions aux limites dissipatives . . . . . . . . . . 8.3.1. Pose du problème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.3.2. Résolution du problème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.3.3. Calcul de la réponse vibratoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.4. Poutre viscoélastique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.5. Propriétés d’orthogonalité des systèmes amortis . . . . . . . . . . . . . . 8.6. Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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285 285 287  293 293 294 300 303 310 314

10 Vibrations des milieux continus

Chapitre 9. Calcul de la réponse vibratoire forcée par décomposition modale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.1. Objet du chapitre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.2. Les étapes du calcul de réponse par décomposition modale . . . . . . . 9.2.1. Exemple de référence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.2.2. Généralisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.2.3. Prise en compte de l’amortissement . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.3. Exemples de calcul des grandeurs généralisées . . . . . . . . . . . . . . 9.3.1. Poutre homogène, isotrope, en flexion pure . . . . . . . . . . . . . 9.3.2. Poutre homogène isotrope en flexion pure, avec effet d’inertie rotationnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.4. Résolution de l’équation modale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.4.1. Résolution de l’équation modale pour une excitation harmonique . 9.4.2. Résolution de l’équation modale pour une excitation impulsionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.4.3. Excitation quelconque, résolution dans l’espace fréquence . . . . 9.4.4. Excitation quelconque, résolution dans l’espace temps . . . . . . 9.5. Exemple de calcul de réponse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.5.1. Réponse d’une poutre en flexion excitée par une force harmonique 9.5.2. Réponse d’une poutre en vibration longitudinale excitée par un effort impulsionnel (calcul temporel) . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.5.3. Réponse d’une poutre en vibrations longitudinales soumise à un effort impulsionnel (calcul fréquentiel) . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.6. Convergence des séries modales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.6.1. Convergence des séries modales dans le cas d’excitations harmoniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.6.2. Accélération de la convergence des séries modales de réponses harmoniques forcées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.7. Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Chapitre 10. Calcul de réponse vibratoire par décomposition en ondes forcées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.1. Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.2. Mise en forme de la méthode sur l’exemple de la poutre en torsion. . 10.2.1. Exemple de référence : poutre homogène en torsion . . . . . . . 10.2.2. Les ondes forcées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.2.3. Calcul de la réponse forcée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.2.4. Poutre hétérogène . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.2.5. Excitation par déplacement imposé . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.3. Résolution des problèmes de flexion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.3.1. Exemple d’une excitation par force . . . . . . . . . . . . . . . . .

317 317 318 318 326 329 330 330

331 332  333

339  340  342 344 344

349

352 355

356

358 361

363 363 364 364 366 367 369 371 373 373