Modélisation en génie des procédés par analyse dimensionnelle : Méthode et exemples résolus

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Les principes de l’analyse dimensionnelle, associée à la théorie de similitude et à des essais sur maquette, ont été établis au cours des quatre derniers siècles par de grands noms de la science, depuis les travaux de Galilée et de Newton jusqu’aux études emblématiques de Froude (carènes de bateaux) et de Reynolds (écoulements de liquides). Paradoxalement, force est de constater qu’ils ne sont aujourd’hui que rarement présentés dans nos formations en génie des procédés comme un outil générique et d’avenir, et de fait très peu mis en pratique.

L’objectif de cet ouvrage est de démontrer que l’analyse dimensionnelle demeure une voie fiable, robuste et pertinente pour comprendre, dimensionner, modéliser et conduire les procédés complexes de transformation de la matière en réacteur en dégageant une vision synthétique et physique des interactions produit/procédé. En mobilisant les acquis des recherches récentes dans le domaine, ce livre revient en détail sur le cadre théorique qui permet de respecter les principes de la théorie de similitude dans le cas de procédés mettant en œuvre un matériau dont une propriété physique est constante, puis, et c’est l’une de ses principales originalités, non constante ; il indique enfin les règles à suivre pour construire rigoureusement une relation de procédé (corrélation semi empirique) entre nombres sans dimension et mobiliser cette connaissance pour raisonner l’extrapolation. Des cas résolus et des exemples originaux issus essentiellement des travaux de recherche des auteurs en génie des procédés permettent d’illustrer les approches conceptuelles et de renforcer la pédagogie de l’ensemble.

Pratique et synthétique, cet ouvrage s’adresse aux élèves ingénieurs en génie des procédés, de niveau bac + 2 au master, et bien sûr, aux ingénieurs, doctorants et scientifiques confirmés, soucieux de tirer le meilleur profit de leurs expérimentations sur des équipements de laboratoire et pilotes.


Introduction. Chapitre 1. Objectifs et intérêts de l'analyse dimensionnelle. Chapitre 2. Principe et démarche de l'analyse dimensionnelle. Chapitre 3. Du bon usage de l'analyse dimensionnelle. Chapitre 4. Analyse dimensionnelle des procédés en présence d'une propriété physique non constante. Chapitre 5. L'analyse dimensionnelle : un outil pour conduire des changements d'échelle raisonnés. Chapitre 6. Analyse dimensionnelle faisant intervenir des matériaux aux propriétés physiques contantes : cas d'études. Chapitre 7. Cas d'étude basés sur l'introduction d'une variable intermédiaire. Chapitre 8. Cas d'étude en présence d'une propriété physique non constante. Annexes.

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Date de parution 06 mai 2014
Nombre de visites sur la page 113
EAN13 9782743065706
Langue Français

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Guillaume Delaplace, Karine Loubière, MODÉLISATION EN GÉNIE DES PROCÉDÉS
Fabrice Ducept, Romain JeantetPAR ANALYSE DIMENSIONNELLE
Méthode et exemples résolus
Les principes de l’analyse dimensionnelle, associée à la théorie de similitude et à des MODÉLISATION EN GÉNIE essais sur maquette, ont été établis au cours des quatre derniers siècles par de grands
noms de la science, depuis les travaux de Galilée et de Newton jusqu’aux études
emblématiques de Froude (carènes de bateaux) et de Reynolds (écoulements de liquides).
Paradoxalement, force est de constater qu’ils ne sont aujourd’hui que rarement présen- DES PROCÉDÉS PAR ANALYSE
tés dans nos formations en génie des procédés comme un outil générique et d’avenir, et
de fait très peu mis en pratique.
L’objectif de cet ouvrage est de démontrer que l’analyse dimensionnelle demeure une DIMENSIONNELLE
voie f able, robuste et pertinente pour comprendre, dimensionner, modéliser et conduire
les procédés complexes de transformation de la matière en réacteur en dégageant
une vision synthétique et physique des interactions produit/procédé. En mobilisant les Méthode et exemples résolusacquis des recherches récentes dans le domaine, ce livre revient en détail sur le cadre
théorique qui permet de respecter les principes de la théorie de similitude dans le cas
de procédés mettant en œuvre un matériau dont une propriété physique est constante,
puis, et c’est l’une de ses principales originalités, non constante ; il indique enf n les règles
100 2à suivre pour construire rigoureusement une relation de procédé (corrélation semi- Nu
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0−0,14empirique) entre nombres sans dimension et mobiliser cette connaissance pour raisonner 1
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travaux de recherche des auteurs en génie des procédés permettent d’illustrer les
approches conceptuelles et de renforcer la pédagogie de l’ensemble.
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Pratique et synthétique, cet ouvrage s’adresse aux élèves ingénieurs en génie des pro- 31,589.(Re )
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cédés, de niveau bac + 2 au master, et bien sûr, aux ingénieurs, doctorants et
scientif ques conf rmés, soucieux de tirer le meilleur prof t de leurs expérimentations sur des
équipements de laboratoire et pilotes.
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Guillaume Delaplace, Karine Loubière, Fabrice Ducept et Romain Jeantet
sont respectivement chercheurs à l’INRA et au CNRS et enseignants-chercheurs à régime laminaire régime turbulent
AgroParisTech et Agrocampus Ouest.
0,1
0,1 1 10 100 1 000 10 000
Re
0
www.editions.lavoisier.fr
978-2-7430-1570-1
Guillaume Delaplace, Karine Loubière,
MODÉLISATION EN GÉNIE DES PROCÉDÉS PAR ANALYSE DIMENSIONNELLE
Fabrice Ducept, Romain JeantetModélisation en génie
des procédés par analyse
dimensionnelle
Méthode et exemples résolus
Guillaume Delaplace, Karine Loubière,
Fabrice Ducept, Romain Jeantet
www.editions.lavoisier.frChez le même éditeur
Introduction au génie des procédés : applications et développements
D. Ronze, coord., 2013
Principes fondamentaux du génie des procédés et de la technologie chimique : aspects
théoriques et pratiques
eH. Fauduet, 2 édition, 2012
Commande des procédés (Coll. Génie des procédés de l’École de Nancy)
eJ.-P. Corriou, 3 édition, 2012
Cinétique et catalyse
eG. Scacchi, M. Bouchy, J.-F. Foucaut, O. Zahraa, R. Fournet, 2 édition 2011
Direction éditoriale : Emmanuel Leclerc
Édition : Céline Poiteaux
Fabrication : Estelle Perez
Couverture et mise en pages : Patrick Leleux PAO
© 2014, Lavoisier, Paris
ISBN : 978-2-7430-1570-1Préface
L’analyse dimensionnelle est un outil théorique, qui a été très utilisé en Génie
Chimique – Génie des Procédés, pour appréhender les problèmes complexes des
procédés industriels afn de mettre en place des extrapolations raisonnées des
unités de production dans les différents domaines d’intervention de la discipline :
agroalimentaire, biotechnologie, chimie, cosmétique, environnement, pétrole,
pharmacie, etc. La réduction des variables fgurant dans les équations de bilan par
des échelles caractéristiques conduit à des équations réduites de portée
universelle, où apparaissent des nombres sans dimension qui permettent de déterminer
le régime de fonctionnement du système étudié. Les critères adimensionnels sont
recherchés soit à partir de ces équations bilan, soit à partir de l’analyse
dimensionnelle. La représentation des résultats expérimentaux ou numériques sous
forme de critères adimensionnels permet l’extrapolation des résultats. Les
phénomènes de transfert sont les principaux pourvoyeurs des nombres sans dimension.
En Génie des Procédés, la comparaison des cinétiques chimiques et physiques a
donné naissance également à différents nombres sans dimension, en particulier
les nombre de Damköhler, de Hatta et de Thiele, qui permettent de défnir les
phénomènes limitants à prendre en considération pour modéliser globalement un
procédé de transformation de la matière.
L’analyse dimensionnelle est un outil effcace pour aborder des procédés com -
plexes dans lesquels de fortes interactions entre des phénomènes de différentes
natures existent. Elle permet également de formuler des hypothèses simples
sur les grandeurs qui gouvernent l’état d’un système physique, en recherchant
la forme générale de l’équation régissant les phénomènes. Grâce à la propriété
d’homogénéité des équations, c’est-à-dire à leur indépendance par rapport aux
unités, un système équivalent de variables sans dimension peut être formé à partir
des relations entre les variables dimensionnelles du problème à traiter. Cette
opération permet de réduire le nombre de variables décrivant le problème physique
en ne considérant que des paramètres adimensionnels. Le théorème de
VaschyBuckingham ou π-théorème, énoncé en 1914, établit que si une équation physique IV Modélisation en génie des procédés par analyse dimensionnelle
met en jeu m variables physiques, celles-ci dépendant de n unités fondamentales,
d
alors il existe une équation équivalente mettant en jeu (m-n ) variables
adimend
sionnelles ou nombres sans dimension construits à partir des variables originelles.
L’intérêt de l’ouvrage est de « remettre en selle » l’analyse dimensionnelle
et l’utilisation de corrélations semi-empiriques entre nombres adimensionnels
comme outils de connaissance et d’extrapolation. Pendant des années, on a
privilégié, d’une part, les approches numériques, lorsque le problème pouvait être
abordé à partir d’équations phénoménologiques, et, d’autre part, l’utilisation des
plans d’expériences couplés à des analyses statistiques (par exemple les analyses en
composantes principales) lorsque l’ensemble des phénomènes intervenant dans le
problème à résoudre, n’est pas connu ou pas maîtrisé. Les procédés, dans lesquels
les propriétés rhéologiques et thermo-physiques évoluent dans l’espace et dans le
temps, sont parmi les problèmes complexes, qui restent actuellement diffciles à
modéliser par des voies classiques et qui sont l’un des objectifs de cet ouvrage.
La présentation de l’analyse dimensionnelle est progressive et donne à
l’ouvrage un caractère pédagogique remarquable. Les premiers chapitres sont
consacrés à démontrer l’intérêt des nombres sans dimension, avec des exemples
empruntés à la mécanique des fuides, qui a eu besoin, depuis O. Reynolds, de tels outils de
similitude pour appréhender les phénomènes à différentes échelles. L’importance
des unités associées aux mesures et du principe d’homogénéité est soulignée, ce qui
est souvent seriné par les enseignants, mais non intégré par les étudiants, car leur
apparaissant trop « trivial ». Le contexte de l’ouvrage permet d’en mesurer
l’importance. L’une des étapes clés dans l’analyse dimensionnelle est d’établir la liste
des grandeurs physiques indépendantes dont dépend la variable étudiée. Cette liste
nécessite un certain degré de connaissance du procédé. La réduction des variables
grâce à l’analyse dimensionnelle permet de diminuer considérablement le nombre
d’expériences nécessaire pour modéliser un procédé, tout en donnant une portée
générale aux résultats obtenus. Cette réduction des variables, toujours associée à
une connaissance préalable du procédé, peut être facilitée à partir d’« astuces », qui
sont illustrées par des exemples et par des mises en garde quant à leurs utilisations.
Après cette présentation didactique, avec beaucoup d’exemples et de remarques,
des bases de l’analyse dimensionnelle, la suite de l’ouvrage s’attelle à l’un des
problèmes expliquant le renouveau de l’analyse dimensionnelle, c’est-à-dire les
procédés dans lesquels les caractéristiques des fuides, généralement non-newtoniens, ou
des matériaux, évoluent en fonction du temps et/ou de l’espace. La défnition d’une
fonction matériau est la clé de voûte de l’analyse dimensionnelle dans le cas des
matériaux ayant des propriétés non constantes. La mise en œuvre de l’approche,
développée dans le Chapitre 4, est présentée avec de nombreux exemples
permettant d’assimiler les concepts sur des cas réels. Le lecteur est pris par la main grâce
des exemples guidés, qui reprennent les confgurations, qui ont servi à présenter
l’analyse dimensionnelle, mais avec la prise en compte du caractère non-newtonien
des fuides. L’intérêt de l’analyse dimensionnelle comme outil d’extrapolation est
démontré en utilisant des relations de similitude, y compris la similitude matériau. Préface V
La fn de l’ouvrage est consacrée à la présentation d’exemples originaux issus
des travaux de recherche des auteurs. Les exemples sont donnés suivant une
progression illustrant la démarche de l’analyse dimensionnelle. Pour l’analyse de
procédés faisant intervenir des matériaux aux propriétés physiques constantes, les
exemples concernent les procédés agroalimentaires, en particulier les problèmes
d’agitation – mélange de fuides non newtoniens, pour lesquels règne encore
beaucoup d’empirisme. L’analyse dimensionnelle permet de tirer des
informations générales des caractéristiques des mélangeurs planétaires et des rubans
hélicoïdaux. Les autres exemples sont également pris dans le domaine des procédés
agroalimentaires, comme la réhydratation des poudres de lait, le foisonnement
par battage en continu, le broyage de la pâte de surimi et l’encrassement des
échangeurs à plaques dans l’industrie laitière. Le fait que les exemples soient
du domaine de l’agroalimentaire n’est pas fortuit. En effet, la méthodologie du
génie des procédés y est de plus en plus présente pour développer, en autres, les
outils d’extrapolation. La deuxième série d’exemples a pour objectif de montrer
l’utilisation de variables intermédiaires pour faciliter la mise en œuvre de
l’analyse dimensionnelle. Pour faire la démonstration de l’intérêt de ces variables,
certains des exemples précédents ont été repris, comme le mélangeur ou le pétrin
planétaire pour des applications en foisonnement ou pour le mélange de poudres,
en introduisant la vitesse caractéristique des différents mobiles. La dernière
série d’exemples correspond aux procédés avec des propriétés physiques non
constantes. L’objectif est de montrer la généricité de l’analyse dimensionnelle en
étudiant des procédés avec des variations de viscosités dues à la température ou
au cisaillement et variations de conductivités électriques dues à la température.
Je ne peux pas terminer cette préface sans dire un mot sur les auteurs.
Guillaume Delaplace, Karine Loubière, Fabrice Ducept et Romain Jeantet sont
quatre chercheurs en génie des procédés de la même génération. Ils sont issus de
laboratoires de génie des procédés Agroalimentaires ou de génie de
l’environnement. Les expériences de recherche les ont tous conduits à retrouver l’intérêt de
l’analyse dimensionnelle pour donner une certaine universalité à leurs résultats
issus d’expériences mettant en œuvre des procédés complexes. Leur mérite est
d’avoir repris la théorie de l’analyse dimensionnelle pour l’adapter à leur besoins
de recherche, ce qui leur permit d’illustrer leur ouvrage avec des exemples
réellement pertinents. Cet ouvrage est d’un réel intérêt pédagogique pour montrer
l’intérêt de la méthodologie pour le génie des procédés.
Jack Legrand, Professeur de Génie des Procédés à l’Université de Nantes
GEPEA – UMR CNRS 6144Auteurs
Guillaume DELAPLACE
Directeur de Recherches INRA
Unité Processus aux Interfaces et Hygiène des Matériaux (PIHM)
369 rue Jules Guesdes, F-59651 Villeneuve d’Ascq, France.
Karine LOUBIÈRE
Chargée de recherche CNRS
UMR 5503 Laboratoire de Génie Chimique CNRS, Université de Toulouse,
Institut National Polytechnique de Toulouse, ENSIACET
4 allée Emile Monso, BP 84234, F-31432 Toulouse, France.
Fabrice DUCEPT
Maître de conférences AgroParisTech
UMR1145 Ingénierie Procédés Aliments, AgroParisTech – INRA – CNAM
F-91300 Massy, France
Romain JEANTET
Professeur Agrocampus Ouest
UMR 1253 Science et Technologie du Lait et de l’Oeuf (STLO) Agrocampus
Ouest, INRA
F-35000 Rennes, FranceRemerciements
Nous remercions chaleureusement Jeremy Petit, Maître de conférences à
l’Université de Lorraine, pour sa rédaction des paragraphes 7 et 8 du chapitre 6
et la relecture stimulante et rigoureuse de l’ensemble des chapitres qu’il a assurée
avec Jean-Stéphane Condoret, Professeur à l’Institut National Polytechnique de
Toulouse. Cet ouvrage a grandement bénéfcié de leur culture scientifque et de
leur expertise en génie des procédés. Les discussions passionnantes que nous
avons eues avec eux ont permis de clarifer certains développements théoriques
et de renforcer la pédagogie de l’ensemble en proposant des compléments aux
exemples présentés. Nous avons apprécié leur enthousiasme et leur réactivité tout
au long de la maturation de cet ouvrage !
Nous remercions également Laurent Prat, Professeur à l’Institut National
Polytechnique de Toulouse, pour sa relecture éclairante du chapitre 2, et Jack
Legrand, Professeur à l’Université de Nantes, pour avoir accepté de rédiger la
préface de cet ouvrage.
Par ailleurs, nous remercions l’ensemble des personnels permanents, post
doctorants, doctorants et stagiaires qui ont réalisé les expérimentations associées
aux exemples et cas d’étude présentés.
Enfn, nous sommes reconnaissants à Gilles Trystram, Professeur et Directeur
Général d’AgroParisTech, à l’origine de ce projet, et souhaitons remercier
Agrocampus Ouest et AgroParisTech pour le soutien fnancier à l’appui des nom -
breux déplacements qui en ont permis l’avancement.








Table des matières
Préface III
Auteurs VII
Remerciements VIII
Introduction 1
Chapitre 1
Objectifs et intérêts de l’analyse dimensionnelle
1 Regrouper des variables dimensionnelles sous la forme d’un ensemble de
nombres sans dimension dotés d’un sens physique précis 7
2 Bâtir des modèles génériques utilisables à d’autres échelles 9
3 Réduire le nombre d’expériences en proposant une vision synthétique et
physique des phénomènes 11
4 Un outil pour conduire des procédés et pour accompagner une démarche
d’ingénierie inverse 13
Chapitre 2
Principe et démarche de l’analyse dimensionnelle
1 Terminologie et éléments théoriques 16
1 1 Grandeurs physiques et mesures : dimensions et système d’unités 16
1 2 Principe d’homogénéité 24
1 3 Règles fondatrices pour construire l’ensemble (ou espace) des nombres
sans dimension associé à un phénomène physique 26
2 Des mesures internes à la forme de la relation de procédé 47
2 1 Choix d’un ensemble de mesures internes adapté au programme
expérimental mis en place 47
2 2 Quelle forme de relation mathématique choisir pour corréler les
nombres sans dimension ?49
3 Configuration et point de fonctionnement d’un système 55
3 1 Définition de la configuration d’un système et de ses liens avec les
mesures internes 55











X Modélisation en génie des procédés par analyse dimensionnelle
3 2 Représentation graphique des points de fonctionnement d’un
système 58
3 3 Conclusion 61
4 Exemples guidés62
4 1 Exemple guidé n° 1 : puissance consommée par un fluide newtonien
dans une cuve mécaniquement agitée 62
4 2 Exemple guidé n° 2 : perte de charge linéique d’un fluide newtonien
s’écoulant dans une conduite cylindrique droite et lisse 74
Chapitre 3
Du bon usage de l’analyse dimensionnelle
1 Élaboration de la liste des grandeurs physiques influençant
la variable cible 87
1 1 Démarche à adopter pour faciliter l’établissement de la liste des
grandeurs physiques 88
1 2 Conséquences d’une omission de grandeurs physiques 92
1 3 Conséquences de l’introduction d’une grandeur physique superflue 95
1 4 Conclusion 96
2 Choix de la base d’adimensionalisation (jeu de variables répétées) 96
3 Quelques techniques pour réduire l’ensemble des nombres sans
dimension (configuration du système) 100
3 1 Introduction de variables intermédiaires 101
3 2 Augmentation du nombre de dimensions fondamentales 108
Chapitre 4
Analyse dimensionnelle des procédés en présence d’une propriété
physique non constante
1 Introduction 119
1 1 Position du problème 119
1 2 Objectif 121
1 3 Démarche 122
2 Influence de la fonction matériau sur la relation de procédé et similitude
matériau 123
2 1 Définitions et notations 123
2 2 Illustration de l’influence de la non-constance d’une propriété
physique sur la mesure interne cible 125
2 3 Une condition nécessaire à l’applicabilité d’une relation de procédé
à différents matériaux : la similitude matériau 127
3 Fonctions matériau adimensionnelles : méthode d’adimensionnalisation
standard et propriétés d’invariance 129
3 1 Influence de l’abscisse de référence et de la méthode
d’adimensionnalisation 129
3 2 Méthode d’adimensionnalisation et théorie de similitude 134
3 3 Méthode d’adimensionnalisation standard 138
3 4 Des fonctions matériau standard aux propriétés particulières : les
fonctions matériau standard invariantes 150












Table des matières XI
4 Construction d’un espace {p } compatible avec les principes de la théorie de
i
similitude 154
4 1 Détermination des nombres sans dimension à considérer 154
4 2 Exemples 160
4 3 Choix pertinent de l’abscisse de référence 170
5 Exemple guidé n° 3 172
5 1 Fluide pseudoplastique 173
5 2 Fluide de Bingham 176
Chapitre 5
L’analyse dimensionnelle : un outil pour conduire des changements
d’échelle raisonnés
1 Conditions à satisfaire pour assurer une similitude complète
à deux échelles : conservation du point de fonctionnement 181
1 1 Configuration du système et points de fonctionnement 181
1 2 Règles de similitude 183
2 Exemple guidé n° 4 : cuisson d’un poulet 186
2 1 Établissement de la configuration du système 186
2 2 Analyse de la configuration du système
et des règles de similitude associées 189
3 Exemple guidé n° 5 : puissance d’un agitateur plan vertical de taille
industrielle 191
3 1 Établissement de la configuration du système 191
3 2 Analyse de la configuration du système et des règles
de similitude associées 191
3 3 Apports de la connaissance de la relation de procédé pour le
changement d’échelle 194
4 Exemple guidé n° 6 : procédé d’émulsification en cuve agitée 198
4 1 Détermination de la configuration du système 198
4 2 Analyse de la configuration du système et des règles de similitude
associées 202
4 3 Apports de la connaissance de la relation de procédé pour le
changement d’échelle 204
5 Cas particulier d’un changement d’échelle dans un procédé mettant
en jeu un matériau ayant une propriété physique non constante 206
5 1 Préambule 206
5 2 Exemple guidé n° 7 : dimensionnement d’un échangeur à surface
raclée 207
Chapitre 6
Analyse dimensionnelle de procédés faisant intervenir des matériaux
aux propriétés physiques constantes : cas d’étude
1 Constante de puissance K d’agitateurs à rubans hélicoïdaux 216
p
1 1 Variable cible et liste des grandeurs physiques indépendantes 216
1 2 Des mesures internes à l’établissement de la relation
de procédé 217























XII Modélisation en génie des procédés par analyse dimensionnelle
1 3 Analyse de la relation de procédé obtenue : forme, précision,
domaine de validité 219
2 Temps de mélange et de circulation axiale du système d’agitation
®Paravisc 220
2 1 Variable cible et liste des grandeurs physiques indépendantes 221
2 2 Établissement des nombres sans dimension 222
2 3 Réarrangements des nombres sans dimension 223
2 4 De la configuration du système à l’établissement de la relation de
procédé 224
2 5 Analyse de la relation de procédé obtenue 226
2 6 Temps de mélange, temps de circulation axiale et puissance
consommée 228
®3 Performances d’un mélangeur planétaire Triaxe : puissance consommée
et temps de mélange 231
3 1 Variable cible et liste des grandeurs physiques
indépendantes 232
3 2 Établissement des nombres sans dimension 233
3 3 De la configuration du système à l’établissement de la relation de
procédé 234
3 4 Analyse de la relation de procédé obtenue 237
4 Temps de réhydratation de poudres laitières en cuve agitée 240
4 1 Variable cible et liste des grandeurs physiques indépendantes 240
4 2 Établissement des nombres sans dimension 242
4 3 De la configuration du système à l’établissement de la relation
de procédé 244
5 Foisonnement par battage en continu 246
5 1 Variable cible et liste des grandeurs physiques indépendantes 247
5 2 Établissement des nombres sans dimension 248
5 3 De la configuration du système à l’établissement de la relation
procédé 249
6 Impact de l’opération de mélange-broyage de la pâte de surimi sur la
texture du gel cuit 253
6 1 Variable cible et liste des grandeurs physiques indépendantes 254
6 2 Établissement des nombres sans dimension 256
6 3 De la configuration du système à l’établissement
de la relation de procédé 257
7 Pulvérisation et contrôle de la taille des gouttes 260
7 1 Variable cible et liste des grandeurs physiques indépendantes 262
7 2 Établissement des nombres sans dimension 262
7 3 De la configuration du système à l’établissement de la relation de
procédé 264
8 Encrassement d’un échangeur à plaques par une solution protéique
laitière 268
8 1 Variables cible et liste des grandeurs physiques indépendantes 271
8 2 Établissement des nombres sans dimension 273
8 3 De l’analyse de la configuration du système à la relation
de procédé 278













Table des matières XIII
Chapitre 7
Cas d’étude basés sur l’introduction d’une variable intermédiaire
1 Puissance consommée et temps de mélange de fluides miscibles
®dans un mélangeur planétaire Triaxe 288
1 1 Liste des grandeurs physiques 288
1 2 Établissement des nombres sans dimension 290
1 3 De la configuration du système à l’établissement de la relation
de procédé 292
1 4 Analyse de la relation de procédé obtenue 293
2 Foisonnement par battage en pétrin planétaire294
2 1 Liste des grandeurs physiques 295
2 2 Établissement des nombres sans dimension 296
2 3 De la configuration du système à l’établissement de la relation
de procédé 298
2 4 Nouvelle analyse dimensionnelle en introduisant une variable
intermédiaire 301
3 Mélange à sec de poudres : temps de mélange et puissance consommée 305
3 1 Liste des grandeurs physiques 306
3 2 Établissement des nombres sans dimension 306
3 3 De la configuration du système à l’établissement de la relation
de procédé : intérêt de l’introduction d’une variable intermédiaire 308
3 4 Analyse de la relation de procédé obtenue 312
Chapitre 8
Cas d’étude en présence d’une propriété physique non constante
1 Puissance consommée par un système d’agitation à rubans hélicoïdaux
®de type Paravisc en présence de fluides pseudoplastiques 316
1 1 Liste des grandeurs physiques indépendantes influençant la variable
cible 317
1 2 Établissement des nombres sans dimension 318
1 3 De la configuration du système à la relation de procédé 320
1 4 Analyse de la relation de procédé obtenue 323
1 5 Conclusion 329
2 Transfert de matière gaz-liquide dans une cuve mécaniquement agitée
contenant des fluides pseudoplastiques 330
2 1 Cas de fluides newtoniens : variable cible, liste des grandeurs physiques
indépendantes et configuration du système 331
2 2 Cas des fluides rhéofluidifiants : liste des grandeurs physiques
indépendantes et configuration du système 335
2 3 De la configuration du système à l’établissement de la relation
de procédé 338
2 4 Conclusion 346
3 Chauffage ohmique 346
3 1 Description du problème 347
3 2 Variable cible et liste des grandeurs physiques indépendantes 348





XIV Modélisation en génie des procédés par analyse dimensionnelle
3 3 Établissement des nombres sans dimensions et configuration
du système 351
3 4 Détermination analytique de la relation de procédé 352
3 5 Validation de la relation de procédé 354
3 6 Conclusion 359
4 Transfert thermique dans une cuve mécaniquement agitée 360
4 1 Variable cible, liste des grandeurs physiques indépendantes et
détermination des nombres sans dimension 361
4 2 De la configuration du système à la relation de procédé 366
4 3 Analyse de la relation de procédé 372
Conclusion 375
Annexes
Annexe 1 – Signification physique des nombres sans dimension
couramment utilisés 379
Annexe 2 – Transitivité de la méthode d’adimensionnalisation standard
et conséquences sur l’expression mathématique des fonctions matériau
adimensionnelles standard invariantes (FMASI) 394
Annexe 3 – Formes des fonctions matériau invariantes 407
Annexe 4 – Cas où l’expression analytique de la fonction matériau
est connue 410
Annexe 5 – Cas où il n’existe pas d’expression analytique connue
de la fonction matériau 416
Annexe 6 – Choix pertinent de l’abscisse de référence dans le cas
de fluides non newtoniens 420
Annexe 7 – Similitude physique et constance du facteur d’échelle associé
aux forces 425
Annexe 8 – Données expérimentales associées aux valeurs de la constante
de puissance K 428
p
Références bibliographiques 435
Index 441Introduction
La communauté du génie des procédés a aujourd’hui beaucoup progressé dans
l’identifcation des mécanismes gouvernant les transformations de la matière. Le
souci de maîtrise et de fabilisation des procédés requiert de modéliser aux différentes
échelles les phénomènes physico-chimiques et biologiques observés dans le but :
– d’établir la relation de causalité existant entre les caractéristiques fnales
d’un produit ou d’une phase et les conditions opératoires régnant au sein du
procédé (géométrie de l’équipement, commandes du procédé, propriétés
physico-chimiques des milieux, conditions initiales et aux frontières du domaine
d’écoulement, etc.) ;
– et/ou d’établir les performances optimales d’un équipement parmi l’ensemble
des possibilités de réglages, notamment au regard des contraintes sociétales et
économiques (normes environnementales, démarche d’éco-conception, etc.).
Cette modélisation nécessite de formaliser et résoudre le jeu d’équations
algébro-différentielles décrivant la physique du système. Le développement des
méthodes et outils numériques a permis à ce titre de proposer, au cours des deux
dernières décennies, des modèles d’une complexité mathématique croissante, et a
ainsi conduit à des avancées signifcatives (citons à titre d’exemples la mécanique
des fuides numérique ou l’optimisation multi-objectifs). Pour autant, ces approches
numériques n’offrent pas systématiquement un cadre de modélisation réaliste au
regard du temps de développement et de la diffculté de simulation :
– du fait des limites des modèles de connaissance (turbulence, caractère
multiphasique des écoulements, cinétiques chimiques ou biologiques, comportement
rhéologique des fuides, etc.) ;
– et d’autant plus lorsque les équipements présentent des géométries
complexes (par exemple, mélangeur statique ou extrudeur) et lorsque les opérations
sont multifonctionnelles (par exemple, réacteur-échangeur, distillation réactive)
ou irréductiblement couplées (par exemple, transferts couplés de quantité de
mouvement-chaleur-électricité en chauffage ohmique).2 Modélisation en génie des procédés par analyse dimensionnelle
Dans ce contexte, nous sommes convaincus que les corrélations
semi-empiriques entre nombres sans dimension, déduites de l’analyse dimensionnelle
associée à la théorie de similitude et à des essais sur des équipements de laboratoire,
reste un outil essentiel pour combler les vides laissés par la modélisation «
théorique ». En effet, elles donnent accès à une modélisation du procédé étudié, certes
globale mais permettant :
– de comprendre quels sont les phénomènes physiques prépondérants qui
contrôlent le procédé ;
– et par conséquent, d’identifer les problématiques scientifques sur lesquelles
un effort de compréhension est nécessaire pour maîtriser totalement le procédé.
Paradoxalement, force est de constater que ce qui a retenu l’attention de
grands noms de la science, parmi lesquels Galilée (1638), Newton (1687),
Fourier (1822), Froude (1874) et Reynolds (1883), pour n’en citer que
quelquesuns, n’est aujourd’hui que rarement présenté dans nos formations comme un outil
générique et d’avenir, et de fait très peu mis en pratique.
Par ailleurs, il est regrettable que l’analyse dimensionnelle ait très peu
évolué depuis ses fondements et ses premières applications en génie des procédés.
Par exemple, aujourd’hui encore, la plupart des corrélations semi-empiriques
entre nombres sans dimension n’intègre pas les variations spatio-temporelles
des propriétés physiques des produits ou des phases au cours des processus
de transformation. Le plus souvent en effet, ces corrélations sont construites
en considérant que la matière conserve des propriétés constantes au sein du
domaine d’écoulement, et plus généralement tout au long de sa
transformation. Ces approximations conduisent à défnir l’état du système étudié par un
ensemble tronqué de nombres sans dimension (c’est-à-dire en nombre insuff -
sant) et à des relations de procédés non génériques car incapables de décrire les
évolutions particulières du système induites par la non-constance des propriétés
physiques de la matière au cours du procédé. On comprend aisément que cet
état de fait est très limitant, notamment pour la communauté du génie des
procédés agro-alimentaires qui est confrontée en permanence à une problématique
de transformation de la matière au sein de réacteurs. Ceci est d’autant plus
regrettable que les techniques d’analyses physico-chimiques donnent accès
à une caractérisation de plus en plus fne des évolutions de propriétés phy -
siques de fuides sous l’effet de sollicitations complexes (température, cisaille -
ment-temps-déformation, pression...).
Nous pensons que l’ensemble de ces éléments explique en partie le désintérêt
progressif, pouvant aller jusqu’au dénigrement, pour l’analyse dimensionnelle.
Les objectifs de cet ouvrage sont :
– de revenir en détail sur le cadre théorique qui permet de respecter les
principes de la théorie de similitude dans le cas de procédés mettant en œuvre un
matériau dont une propriété physique est constante ou non au sein de l’opération
de transformation ;Introduction 3
– de montrer quelles sont, dans ce cas-là, les règles à suivre et les outils
disponibles pour construire rigoureusement une corrélation semi-empirique entre
nombres sans dimension.
Cet ouvrage est le fruit de l’expérience acquise dans le cadre de différents
projets de recherche appliquée, où une démarche de modélisation classique par
analyse dimensionnelle a permis d’obtenir des résultats probants. Par ailleurs, les
échanges avec J. Pawlowski et M. Zlokarnik et le décryptage de leurs travaux de
pionniers sur la prise en compte de la non-constance des propriétés physiques de
la matière dans l’analyse dimensionnelle nous ont permis d’asseoir et de
généraliser le cadre théorique sous-jacent. Nous proposons dans cet ouvrage des cas
résolus s’inscrivant dans cette logique.
Pour atteindre cet objectif, nous avons cherché à poser et défnir le plus claire -
ment et pédagogiquement possible la méthodologie à adopter pour conduire, dans
le cas de matériaux ayant des propriétés physiques constantes ou non constantes,
une modélisation par analyse dimensionnelle couplée à des expérimentations sur
des équipements de laboratoire.
Nous nous adressons aux élèves-ingénieurs en génie des procédés, de niveau
bac + 2 à master, et bien sûr, aux ingénieurs et scientifques confrmés soucieux
de tirer le meilleur proft de leurs expérimentations sur des équipements de labo -
ratoire et pilotes.
Cet ouvrage vise également à promouvoir et développer le génie des procédés,
en proposant des outils fables, robustes et pertinents :
– pour mieux modéliser les transformations de la matière en réacteur et les
interactions produit/procédé en s’appuyant sur une vision synthétique et physique
des phénomènes ;
– pour le dimensionnement, le diagnostic et la conduite des procédés de
transformation de produits, l’ingénierie inverse et le changement d’échelle.
« Ces enjeux sont au cœur des préoccupations de l’INRA, du CNRS,
d’Agrocampus Ouest et d’AgroParisTech. Les questions de modélisation et
d’utilisation de fuides modèles constituent notamment une cible récurrente des
programmes prioritaires (e.g., « Intégration des Connaissances et des Modèles »
(INCOM), « élaborer des Aliments Modéles et des Modèles d’Aliments en
prenant en compte la Complexité » (AMMAC)) du département Caractérisation
et Elaboration des Produits Issus de l’Agriculture (CEPIA) de l’INRA ».
Nous avons fait le choix d’expliquer dans un premier temps les fondements
et les bases de l’analyse dimensionnelle pour des procédés mettant en œuvre des
fuides aux propriétés physiques constantes. Ainsi, les trois premiers chapitres
présentent l’intérêt de cette approche (chapitre 1), puis détaillent la démarche pas
à pas (chapitre 2), et enfn donnent des outils et astuces en vue de son utilisation
(chapitre 3). Afn de faciliter la lecture, les développements mathématiques ont
été réduits autant que possible dans le corps du texte, et renvoyés au besoin en
annexes.4 Modélisation en génie des procédés par analyse dimensionnelle
Le chapitre suivant (chapitre 4) expose comment étendre le cadre théorique
sur lequel est fondé l’analyse dimensionnelle aux matériaux ayant une propriété
physique non constante au cours du procédé. Nous verrons qu’il faut intégrer dans
la liste des grandeurs physiques infuençant la variable étudiée (encore appelée
variable d’intérêt) des variables supplémentaires décrivant la non-constance de
la propriété physique du matériau (par exemple une loi rhéologique ou la
dépendance de la viscosité à la température). Nous introduirons également la notion de
similitude matériau, qui permet de savoir si une relation de procédé établie pour
un fuide reste valable pour d’autres fuides.
Enfn, nous analyserons la conséquence de ces éléments sur l’ensemble des
nombres sans dimension défnissant le système et les relations de procédé obte -
nues, afn d’être capable de conduire une démarche d’extrapolation à d’autres
échelles ou produits (chapitre 5).
De façon à illustrer plus largement la méthode, et en complément des
différents exemples décrits dans les cinq premiers chapitres, les chapitres 6, 7 et 8
proposent des exemples originaux issus essentiellement de nos travaux de recherche.
Dimensionnellement vôtre,
Guillaume Delaplace
Karine Loubière
Fabrice Ducept
Romain Jeantet Chapitre 1 ▬ ▬
Objectifs et intérêts de l’analyse
dimensionnelle
Les phénomènes de transformation de la matière peuvent être décrits par les
équations fondamentales de transport de quantité de mouvement, de matière et
d’énergie, couplées à des équations de cinétiques chimiques ou biologiques, et
associés aux conditions aux limites du domaine d’écoulement et aux conditions
initiales. Malheureusement, la résolution de ces équations est le plus souvent
impossible à réaliser car :
– la forme des équations différentielles est trop complexe pour être intégrée
sur l’ensemble du domaine d’écoulement (notamment en raison de la géométrie
des réacteurs industriels) ;
– les modèles numériques à mettre en place pour avoir une résolution
approchée sont souvent incomplets et/ou insuffsamment précis pour décrire la phy -
sique des phénomènes (en particulier la turbulence, mais également les transferts
couplés, les interactions entre phases, les lois de comportement des produits) et/
ou souvent trop longs à développer et coûteux en temps de calcul.
De ce fait, les scientifques se trouvent, aujourd’hui encore, souvent démunis
lorsqu’il s’agit de prédire l’évolution de la matière contenue dans le réacteur
ou de quantifer la relation de causalité qui existe entre les conditions opéra -
toires imposées et les variables de sortie du système (propriétés du produit ou
conversion chimique par exemple). Pour combler ces lacunes, des études
expérimentales sont alors indispensables ; elles sont conduites soit sur l’équipement
industriel réel (à l’échelle 1/1), soit sur une maquette de laboratoire (équipement
représentatif de l’installation réelle, idéalement homothétique et généralement
de taille réduite). Le fait de devoir réaliser des essais sur maquette trouve sa
justifcation dans la diffculté d’expérimenter sur le système réel (investissement
sur installation à l’échelle 1/1 non encore réalisé, coûts d’expérimentation trop
importants compte-tenu du volume de produits à traiter et des ressources à
mobiliser, dangerosité, etc.).
Ces études expérimentales fournissent en première analyse des relations
empiriques reliant la variable étudiée (variable d’intérêt) à un jeu de variables
dimensionnelles. Une telle analyse n’est pas satisfaisante car,
malheureusement, les mécanismes à l’origine des processus de transformation dépendent
de l’échelle d’expérimentation, comme nous l’illustrerons plus loin (voir
paragraphe 2). En effet, selon la taille du système étudié, la nature des phénomènes
qui s’y déroulent peut changer, un mécanisme de transformation particulier étant 6 Modélisation en génie des procédés par analyse dimensionnelle
le fruit d’un ensemble de conditions opératoires, intégrant notamment l’échelle
d’expérimentation. L’opérateur ne peut ainsi concevoir des séries d’expériences
indépendantes à ces deux échelles afn d’assurer la conservation de tous les phé -
nomène entre la maquette et l’échelle 1/1. Pour y parvenir, il doit, par analyse
dimensionnelle, regrouper les variables dimensionnelles infuençant l’opération
sous la forme d’un ensemble de nombres sans dimension caractéristiques de
l’état du système, généralement dotés d’un sens physique précis (voir paragraphe
11, notion de confguration du système ). Il devient alors possible de déterminer
quelles conditions opératoires doivent être choisies pour obtenir une identité
phénoménologique entre la maquette et le système réel ; pour cela, l’égalité de la
valeur numérique de chaque nombre sans dimension doit être vérifée aux deux
1échelles (notion de point de fonctionnement ). Il est essentiel de comprendre que
2le respect de ce principe (appelé théorie de similitude ) est le seul moyen de
généraliser les résultats obtenus d’une échelle à l’autre échelle. C’est pourquoi
les notions de maquette et de similitude sont étroitement liées et indissociables.
Cet aspect sera abordé dans le chapitre 5.
L’étape clé pour l’expérimentateur réside donc dans la construction des
nombres sans dimension caractéristiques du procédé étudié, et dans le calcul
de l’ensemble des valeurs numériques prises par ces nombres sans dimension,
1ensemble qui défnit les points de fonctionnement du système . Dans ce contexte,
l’analyse dimensionnelle offre le cadre théorique indispensable pour générer sans
biais cet ensemble de nombres sans dimension.
La construction des nombres sans dimension est conduite classiquement à
partir des équations différentielles adimensionalisées qui gouvernent les
phénomènes de transport (quantité de mouvement, matière, énergie), les conditions aux
limites du domaine d’écoulement et les conditions initiales. Lorsque le problème
est trop complexe (géométrie, formulation des milieux, phénomènes couplés…),
une autre alternative consiste à obtenir ces nombres à partir de la liste des
grandeurs physiques dimensionnelles infuençant la variable d’intérêt (encore
appelée variable cible). En génie des procédés, ceci constitue la majorité des cas.
Dans cette approche, classiquement dénommée analyse dimensionnelle aveugle,
l’établissement de cette liste peut être réalisée quel que soit le niveau de
connaissances physiques sur le procédé dont on dispose : il peut être très faible dans
certains cas ou très avancé dans d’autres, dépendamment de la maturité scientifque
du procédé ou du produit formulé. Par suite, les nombres sans dimension formés
seront dotés d’un sens physique plus ou moins explicite.
Outre l’avantage de pouvoir être conduite sans une connaissance approfondie
sur le procédé, l’analyse dimensionnelle aveugle, couplée à la théorie de
similitude et à des essais sur maquette, donne accès à une modélisation globale du
procédé sous la forme de corrélations semi-empiriques (reliant le nombre sans
1. Voir chapitre 2, paragraphe 3.
2. Voir chapitre 5.Objectifs et intérêts de l’analyse dimensionnelle 7
dimension cible à un ensemble de nombres sans dimension traduisant les causes
à l’origine de la variation de la variable cible), extrapolables à une autre échelle
ou à un autre produit. Elles seront appelées dans cet ouvrage relations de procédé.
Quelle que soit l’approche utilisée, la détermination des nombres sans
dimension caractéristiques du procédé étudié s’accompagne d’une réduction de l’espace
3des grandeurs décrivant le phénomène physique , et par voie de conséquence,
minimise les expériences à entreprendre pour établir la relation de procédé reliant
ces différents nombres sans dimension (voir paragraphe 3).
De plus, la relation de procédé établie à partir de l’analyse dimensionnelle,
couplée à la théorie de similitude et à des essais sur maquette, permet
d’identifer quels sont les phénomènes physiques prédominants, c’est-à-dire contrôlant
la variable cible, dans la mesure où elle repose sur des nombres sans dimension
dotés d’une signifcation physique précise.
Enfn, cette description physique couplée à la réduction de l’espace des gran -
deurs descriptives du phénomène peut donner accès à une représentation
graphique simplifée ; elle constitue donc :
– une aide à la compréhension et à la conduite du procédé ;
– un accompagnement à une démarche d’ingénierie inverse (démarche
permettant de défnir un jeu de conditions opératoires conduisant à une valeur don -
née de la variable d’intérêt) (voir paragraphes 3 et 4).
Dans la suite de ce chapitre, nous allons successivement illustrer ces objectifs
et intérêts de l’analyse dimensionnelle, éléments qui seront détaillés plus
largement dans la suite de l’ouvrage.
1. Regrouper des variables dimensionnelles sous
la forme d’un ensemble de nombres sans
dimension dotés d’un sens physique précis
Les travaux d’Osborne Reynolds, physicien anglais (1842-1912), se sont
notamment attachés à l’étude et à la caractérisation des écoulements de liquides
dans des conduites cylindriques.
En 1883, il visualise, par ajout d’un colorant, la structure de l’écoulement
de fuides dans des tubes en verre de section cylindrique, sous diverses condi -
tions expérimentales (vitesse moyenne du fuide v ; diamètre de la conduite
D ; viscosité dynamique et masse volumique du fuide m et r, respectivement)
(fgure 1.1).
3. En d’autres termes, un phénomène décrit par un ensemble de m grandeurs physiques
dimensionnelles exprimées par n dimensions fondamentales peut alors être décrit par un
d
ensemble de (m-n ) nombres sans dimension (voir chapitre 2, paragraphe 1.3.3).
d8 Modélisation en génie des procédés par analyse dimensionnelle
v , µD

Figure 1.1. Géométrie des canalisations cylindriques droites considérées
Il constate que :
– la sortie du régime laminaire, mise en évidence par l’apparition de
tourbillons (visualisation du mélange radial du colorant ; fgure 1.2) peut être associée à
une certaine valeur du rapport adimensionnel :
ρ⋅⋅vD
[1.1]
μ
– ce nombre sans dimension permet de regrouper l’ensemble des variables
dimensionnelles infuençant l’écoulement.
Comme cela sera décrit en annexe 1, ce nombre, aujourd’hui appelé nombre
de Reynolds (Re), représente un rapport de deux fux de quantité de mouvement
(ou de forces) défnis selon :
• le fux convectif de quantité de mouvement :
22φρ=⋅vL ⋅ [1.2]
i
où r est la masse volumique du fuide, v la vitesse moyenne de l’écoulement,
L une longueur caractéristique du système étudié (ici, le diamètre de la conduite
D) ;
• la force liée aux frottements visqueux, qui constitue une résistance à
l’écoulement :
φμ=⋅vL⋅ [1.3]
j
Des équations 1.2 et 1.3, on en déduit bien que:
22φ ρ⋅⋅vL ρ⋅⋅vLiRe== =[1.4]
φ μ⋅⋅vL μ
j
Le nombre de Reynolds, en comparant l’importance relative de ces deux
forces caractéristiques de l’écoulement du fuide, donne ainsi accès à une ana -
lyse physique des phénomènes observés. On constate en général que le régime
turbulent est atteint vers 4 000, et qu’au-delà, le niveau de turbulence est d’autant
plus élevé que la valeur de Re est grande (voir fgure 1.2). Les valeurs élevées
de Re traduisent bien la prédominance de la force de convection par rapport à la
force liée aux frottements visqueux.Objectifs et intérêts de l’analyse dimensionnelle 9

Figure 1.2. Expérience de O Reynolds (1883)
2. Bâtir des modèles génériques utilisables à
d’autres échelles
Comme évoqué en introduction, les mécanismes à l’origine des processus
élémentaires conditionnant les performances d’un procédé dépendent de l’échelle
d’expérimentation. En conséquence, pour pouvoir extrapoler les résultats de la
maquette au prototype c’est à dire à l’échelle 1/1 (ou le contraire), il est
nécessaire de déterminer les conditions qui doivent être respectées afn de s’assurer de
la conservation des points de fonctionnement aux différentes échelles.
Illustrons cela par un exemple très simple. Considérons deux canalisations
cylindriques droites et lisses de diamètres différents, qui véhiculent le même
fuide newtonien à la même vitesse moyenne v. Dépendamment du diamètre
D, les couches de fuides peuvent glisser les unes sur les autres (régime lami -
naire) ou s’écouler sous forme de tourbillons (régime turbulent) ; on ne peut
pas dire a priori, c’est-à-dire en considérant de façon découplée les variables
dimensionnelles v, D, m et r, quel sera le régime d’écoulement. Il faut pour
cela se référer à la valeur du nombre de Reynolds Re, qui fxe la confguration
du système.
Par suite, si pour les essais à deux échelles différentes, la valeur du nombre
de Reynolds est la même, le régime d’écoulement sera le même. Dans le cas
contraire, les régimes seront différents, et rien ne garantit que les phénomènes
liés à l’écoulement (caractérisés par des nombres sans dimension cibles, tel
qu’un coeffcient de perte de charge) seront identiques aux deux échelles.
À titre d’exemple, imaginons une conduite industrielle lisse, droite et
cylindrique, de diamètre D = 0,3 m (échelle 1), dans laquelle s’écoule de
1
-6 2 -1l’eau (à 20 °C, viscosité cinématique u = 10 m .s ) à un débit volumique Q
1
3 -1de 30 m .h . La vitesse moyenne (ou débitante) de l’écoulement associée, v ,
1
est donc égale à :
v croissants10 Modélisation en génie des procédés par analyse dimensionnelle
Q
1 −1v ==0,118m.s [1.5]
1 2π.D
1
4
Considérons maintenant l’écoulement régnant dans une conduite de
laboratoire de taille réduite, avec un facteur d’échelle (rapport entre l’échelle
industrielle et l’échelle d’étude) F =D /D égal à 30. La maquette est donc une conduite
e 1 2
de diamètre D = 0,01 m. La question est alors de savoir quel débit volumique
2
ou quelle vitesse il faut choisir au niveau de la maquette pour garantir le même
régime d’écoulement que dans la conduite de diamètre 0,3 m.
À l’échelle 1 (sur l’équipement industriel), la valeur du nombre de Reynolds
est la suivante :
ρ..vD 1000××0,118 0,311Re == = 35400 [1.6]
1 -3μ 10

Le régime est donc turbulent. Si on réalise des essais sur la maquette en
gardant la même vitesse que pour l’essai sur le prototype, on a :
ρ..vD 1000××0,118 0,0112Re == =1180 [1.7]
2 -3μ 10

Dans ce cas, le régime est laminaire. Les phénomènes observés sur la maquette
seront donc différents de ceux régnant dans l’équipement industriel.
Si on maintient le débit volumique Q dans la maquette de laboratoire, on
1
-1obtient une vitesse moyenne v de 106 m.s , ce qui, outre le fait d’être diff -
2
cile à réaliser en pratique, conduit à des régimes beaucoup plus turbulents qu’à
l’échelle industrielle :
Q
1ρ. .D
2 2π.D
2
ρ..vD 1000××106 0,0122 4Re == =1060 000 [1.8]
2 -3μ μ 10

Grâce à l’analyse dimensionnelle et à la théorie de similitude, on montre que,
pour pouvoir conserver les phénomènes d’une échelle à l’autre (et ainsi conduire
une démarche rigoureuse d’extrapolation), il est nécessaire de conserver la valeur
du nombre de Reynolds. Ainsi, pour maintenir Re = 35 400, il faudra :
1
– si on garde le même fuide (cas n° 1), modifer la vitesse moyenne dans la
-1 3 -1maquette selon v = 3,54 m.s , ce qui correspond à un débit volumique de 1 m .h . 2
En effet :
Re = Re [1.9]
12
équivaut à :
ρ⋅⋅vD ρ⋅⋅vD
11 22[1.10]=
μ μ Objectifs et intérêts de l’analyse dimensionnelle 11
La conservation de Re (équation 1.10) revient alors à égaler le rapport des
vitesses et le facteur d’échelle :
v D
2 1== Fd’où :
ev D
1 2
−1υ =×0,118 30=3,54m.s [1.11]
-1– si on souhaite garder la même vitesse aux deux échelles, v =0,118 m.s (cas n°2),
1
il faudra alors changer de fuide. Dans ce cas, les essais sur maquette pourront être
extrapolés à l’échelle industrielle uniquement si le fuide utilisé en laboratoire a une
vis-6 2 -1cosité cinématique u = 30.10 m .s , ce qui est possible avec certaines huiles. En effet :
2
Re = Re [1.12]
12
équivaut à :
vD⋅ vD⋅
11 12=[1.13]
υυ
1 2
D υ
2 1d’où : υυ== [1.14]
21 DF
1 e
−610
−−82 1soit : υ ==3,3.10 m.s[1.15]
2 30
3. Réduire le nombre d’expériences en proposant
une vision synthétique et physique des
phénomènes
4D’après le théorème de Vaschy-Buckingham , toute grandeur physique
représentant un phénomène (c’est-à-dire toute variable cible) fonction de m grandeurs
physiques indépendantes mesurées par n dimensions fondamentales peut être
d
décrite par une fonction implicite entre m-n nombres sans dimension. Par voie
d
de conséquence, le nombre d’expériences à entreprendre pour établir la relation
5de procédé reliant ces différents nombres sans dimension se trouve réduit .
À titre d’illustration, prenons l’exemple de la perte de charge linéique (perte
-1de charge par unité de longueur), DP (en Pa.m ), lors de l’écoulement d’un fuide
L
newtonien dans une conduite cylindrique droite et lisse, en régime établi.
6Une analyse physique de ce cas permet de lister les grandeurs physiques
ayant un impact sur la variable recherchée : la vitesse moyenne d’écoulement v,
4. Voir chapitre 2, paragraphe 1.3.3.
5. Bien évidemment, cette propriété n’empêche en rien d’appliquer la démarche à un
ensemble conséquent de données expérimentales obtenues au préalable, ou disponibles
dans la littérature (voir chapitre 6, paragraphe 1).
6. Voir chapitre 2, exemple guidé n° 2.12 Modélisation en génie des procédés par analyse dimensionnelle
les caractéristiques du fuide, masse volumique r et viscosité cinématique υ , et
le diamètre du tube D. La perte de charge linéique dépend donc de quatre
grandeurs physiques.
Pour analyser expérimentalement l’infuence de chacune de ces grandeurs
physiques sur la perte de charge linéique, il faudrait faire varier une à une ces
grandeurs en maintenant les quatre autres constantes. Si chaque variable prend
4successivement 6 valeurs, on doit réaliser 6 essais, soit 1 296 mesures.
Outre la lourdeur de ce programme expérimental, il est diffcile d’analyser
dans leur globalité l’ensemble des résultats obtenus, et d’avoir accès à une
compréhension physique des phénomènes.
L’analyse dimensionnelle de ce problème, telle qu’elle sera présentée en détail
dans le chapitre 2, conduit à une relation F entre deux nombres sans dimension :
Δ⋅PD vD⋅ L = F [1.16] 2ρυ⋅v  
Le nombre sans dimension « cible » caractérisant la perte de charge linéique
(terme de gauche de l’équation 1.16) est appelé coeffcient de perte de charge. Il
est uniquement fonction du nombre de Reynolds.
La signifcation physique du coeffcient de perte de charge est décrite dans
l’annexe 1 : il s’agit, à un facteur numérique près, du rapport de :
– la force de frottement du fuide à la paroi due à la viscosité :
2φτ=⋅L [1.17]
i p
où t est la contrainte de frottement à la paroi, avec τ =ΔPD⋅ /4p pL
– et la force d’inertie :
22φρ=⋅vL ⋅[1.18]
j
L’analyse dimensionnelle donne ainsi accès à une interprétation physique
globale du problème en montrant que le coeffcient de perte de charge est lié à l’hy -
drodynamique dans la conduite (c’est-à-dire au régime d’écoulement), et non à
l’effet individuel des grandeurs dimensionnelles v, D et υ.
De plus, le nombre d’essais permettant de modéliser la relation 1.16 avec la
même précision que précédemment sera donc seulement (au minimum) de 6 au
4lieu des 6 essais initiaux. La représentation graphique qui en résulte est donnée
dans la fgure 1.3.Objectifs et intérêts de l’analyse dimensionnelle 13
0
10
P DL
2v -1
10
-2
10
-3
10
2 3 4 5
10 10 10 10
v D
Re=
Figure 1.3. Évolution de la perte de charge linéique DP , en fonction du
L
nombre de Reynolds en conduite lisse
4. Un outil pour conduire des procédés
et pour accompagner une démarche
d’ingénierie inverse
À partir de la connaissance de la relation de procédé représentée sur la
fgure 1.3, il est possible de revenir à des relations liant les grandeurs
dimensionnelles et de déterminer les valeurs des paramètres de conduite du procédé à
imposer pour atteindre la valeur recherchée de la variable cible.
Il est ainsi possible de générer un abaque de pertes de charge (fgure 1.4) ana -
logue aux représentations disponibles dans les documentations techniques. De
tels abaques permettent d’évaluer rapidement la perte de charge linéique associée
à l’écoulement d’un fuide de propriétés connues dans une canalisation de dia -
mètre donné. La fgure 1.4a montre, par exemple, que la perte de charge associée
-6 2 -1à l’écoulement d’un fuide de viscosité cinématique 10 m .s (eau à 20 °C) au
3 -1débit volumique de 10 m .h dans une canalisation de diamètre 2,5 cm est égale
à 0,3 MPa pour 100 m, soit 3 bar pour 100 m de conduite.
À l’inverse, ce type de représentation permet, dans une démarche d’ingénierie
inverse, de déterminer les valeurs pouvant être prises par le couple {Q, D} qui
permettent de limiter la perte de charge à un niveau maximal acceptable pour un
fuide de viscosité cinématique donnée. Ainsi, il est possible d’identifer sur la
3 -1 3 -1fgure 1.4 quatre couples { Q ; D} (1,2 m .h et 0,025 m ; 10 m .h et 0,05 m ;
3 -1 3 -130 m .h et 0,075 m ; 70 m .h et 0,1 m) conduisant à une valeur de perte de
charge égale à 0,01 MPa pour 100 m pour de l’eau à 20 °C.14 Modélisation en génie des procédés par analyse dimensionnelle
6ab
2 5 2
10 10 6
54
0 0
10 10 43
2 3
-2 -2
10 101 2
1
-4 -4
10 10
0 1 2 0 1 2
10 10 10 10 10 103 3Débit (m /h) Débit (m /h)
cd
2 2
10 10
6
65
0 0 510 10
4
4
-2 -2310 10
3
2
2
-4 -4110 10
1
0 1 2 0 1 2
10 10 10 10 10 103 3Débit (m /h) Débit (m /h)
Figure 1.4. Exemple d’abaques donnant la perte de charge pour 100 m
de conduite en fonction du débit, pour 4 diamètres de conduites lisses
(a : D = 0,025 m ; b : D = 0,05 m ; c : D = 0,075 m ; d : D = 0,1 m) et 6 viscosités
-6 2 -1 -5 2 -1 -4 2 -1 - 3 2 -1cinématiques (1 : n = 10 m s ; 2 : n = 10 m s ; 3 : n = 10 m s ; 4 : n = 10 m s ;
-2 2 -1 -2 2 -15 : n =10 m s ; 6 : n = 3 10 m s )
P pour 100 m (MPa) P pour 100 m (MPa)
P pour 100 m (MPa) P pour 100 m (MPa) Chapitre 2 ▬ ▬
Principe et démarche de l’analyse
dimensionnelle
Dans ce chapitre, nous revenons au principe et à la démarche de l’analyse
dimensionnelle, qui peut être défnie comme la recherche des nombres sans
dimension reliant les causes du phénomène étudié à ses effets, grâce à des
considérations sur l’homogénéité des dimensions.
Il s’agit ici de donner les défnitions, prérequis, outils et démonstrations
mathématiques indispensables pour, d’une part construire sans biais l’espace
des nombres sans dimension associé au phénomène étudié, et d’autre part
illustrer la rigueur et le potentiel d’applicabilité de la démarche d’analyse
dimensionnelle.
L’analyse dimensionnelle est une approche générique et transdisciplinaire ;
elle sera appliquée dans cet ouvrage à des problématiques de génie des procédés,
et plus particulièrement à la compréhension physique et à l’optimisation des
procédés.
Nous conseillons fortement aux lecteurs, initiés ou non, de prendre le temps
de parcourir ces considérations théoriques avant de passer aux exemples. Ce
chapitre aborde en effet la sémantique propre à la démarche, et donne de
nombreuses clés pour la compréhension des règles (cohérence du système d’unités,
indépendance des variables) et des choix opérés (système d’unités, variables
répétées, réarrangements des nombres sans dimension) auxquels l’utilisateur doit
se confronter dans la construction des nombres sans dimension. La connaissance
de l’ensemble de ces éléments permettra au lecteur de se sentir confant quand il
lui faudra effectuer sa propre démarche d’analyse dimensionnelle et/ou analyser
d’autres travaux relevant de cette approche.
Ce chapitre est structuré en quatre parties :
– dans la partie 1, les concepts de base seront défnis (grandeurs physiques,
mesures externes et mesures internes, systèmes d’unités, principe d’homogénéité)
et les règles fondatrices pour construire l’ensemble des nombres sans dimension
énoncées (théorème de Vaschy-Buckingham, méthodes de résolution,
réarrangements) ;
– dans la partie 2, nous donnerons des éléments permettant au lecteur de
choisir un ensemble de nombres sans dimension adapté au programme expérimental
mis en place, et la forme mathématique de la relation de procédé corrélant ces
nombres entre eux ;16 Modélisation en génie des procédés par analyse dimensionnelle
– la partie 3 sera consacrée à la défnition des notions de confguration du sys -
tème et de points de fonctionnement, éléments de base pour notamment aborder
les problématiques de changement d’échelle d’un procédé (chapitre 5) ;
Ce chapitre s’achèvera par deux exemples guidés, illustrant toutes les notions
et règles énoncées précédemment (paragraphe 4).
1. Terminologie et éléments théoriques
1.1. Grandeurs physiques et mesures :
dimensions et système d’unités
1.1.1. Grandeurs physiques et dimensions
1Les sciences font appel à des grandeurs physiques (ou entités) qui doivent
être mesurées ou calculées pour établir des relations mathématiques prédictives
reliant les causes du phénomène étudié à ses effets. De telles grandeurs sont par
exemple, les forces, les moments d’inertie, les masses et les vitesses de corps
(solide, liquide ou gazeux), les énergies ou le temps.
Chaque grandeur possède en soi un certain nombre de propriétés indépendantes :
son caractère scalaire ou vectoriel, son intensité, son signe et sa dimension.
Par exemple, si la grandeur est une vitesse, elle a un caractère vectoriel et sa
dimension est une longueur par unité de temps. En revanche, si la grandeur
considérée est une distance, elle a un caractère scalaire et sa dimension est une longueur.
On retiendra donc que les grandeurs physiques qui décrivent un phénomène
ont plusieurs propriétés et que l’une d’entre elles est leur dimension, qui précise
la nature physique de la grandeur.
1.1.2. Mesure d’une grandeur physique
Plusieurs possibilités s’offrent à l’expérimentateur quand il s’agit d’exprimer
la mesure d’une grandeur physique : sa mesure externe ou sa mesure interne.
1 1 2 1 Mesure externe
Pour donner la mesure externe d’une grandeur physique, on référence sa
dimension par un étalon extérieur au système. C’est pourquoi, la valeur numérique
1. Dans la littérature (citons notamment Szirtes, 2007), on peut trouver une classifcation
des grandeurs physiques selon des constantes (grandeur physique qui ne varie jamais ;
exemples : la vitesse de la lumière dans le vide ou la constante de Planck), des paramètres
(grandeur physique qui est constante dans le contexte dans laquelle elle apparaît, mais qui
peut varier dans d’autres contextes ; exemple : accélération de la gravité), et des variables
(grandeur physique que l’on fait varier dans l’étude). Nous ne ferons pas cette distinction
dans cet ouvrage.Principe et démarche de l’analyse dimensionnelle 17
d’une grandeur physique est exprimée sous la forme du produit d’un nombre (dit
mesure) et d’une unité (dit étalon extérieur) :
Valeur numérique d’une grandeur physique = Mesure × Unité [2.1]
Il découle de la relation précédente que la mesure d’une grandeur physique ne
peut être unique et dépend de l’unité de référence (c’est-à-dire de l’étalon).
Exemple 2.1
Mesure externe (I)
Quand la dimension est une longueur, le mètre peut être utilisé comme
étalon. 0,2 est ainsi la mesure de la grandeur physique correspondant à un
double décimètre. Cette grandeur physique a pour dimension une longueur
et est exprimée en mètre (unité).
Exemple 2.2
Mesure externe (II)
La distance à vol d’oiseau séparant deux ports peut se donner en mètres,
pieds, pouces, toises, lieues, miles, encablures… Selon l’étalon pris comme
unité, la valeur numérique de la grandeur physique évoluera. Par exemple,
35 000 mètres et 21,75 miles américains désignent la même distance.
Cependant, quelle que soit l’unité de représentation choisie, la dimension de
la grandeur physique (ici, la distance) est toujours identique (ici, une longueur)
et son « intensité absolue » est inchangée. En indiquant l’unité, on spécife à la
fois la dimension (ici, la longueur) et l’étalon (ici, le mètre ou le mile américain)
qui est pris pour référence. Cette façon de procéder permet de comparer des
grandeurs entre elles.
La mesure de la grandeur physique obtenue est dite externe car la référence
prise pour étalonner la grandeur physique ne fait pas partie du système que
l’on étudie (dans l’exemple 2.1, le mètre est défni par une longueur de
référence ne faisant pas partie du système étudié).
Pour exprimer cette mesure externe, un système dimensionnel comprenant
des dimensions dites fondamentales (ou dimensions de base) doit être choisi.
Il existe différents systèmes dimensionnels : ils peuvent être classés selon qu’ils
utilisent une force ou une masse comme dimension fondamentale, ou s’ils sont 18 Modélisation en génie des procédés par analyse dimensionnelle
métriques ou non-métriques. Citons par exemple les systèmes CGS
(centimètre-gramme-seconde), MKS (mètre-kilogramme-seconde) ou
américain/britannique (foot/inch-pound-second).
Le système offciellement adopté par la plupart des pays et fortement recom -
mandé est le Système international d’unités (noté SI). Il est basé sur sept
dimensions fondamentales indépendantes entre elles et suffsantes pour exprimer
les dimensions de l’ensemble des grandeurs rencontrées en physique. Ces
dimensions fondamentales, et les symboles que nous avons choisis dans cet ouvrage
pour les représenter, sont répertoriés dans le tableau 2.1.
Tableau 2.1. Dimensions fondamentales dans le Système international d’unités
Dimensions fondamentales
Nom Symbole
Longueur L
Masse M
Temps T
Température K
Quantité de matière N
Intensité de courant électrique I
Intensité lumineuse I
v
Les défnitions légales des étalons associées à chaque dimension fondamen -
tale dans le système international d’unités (SI) sont rappelées ci-dessous. Elles
eont été adoptées à la 11 Conférence Générale des Poids et Mesures (CGPM) en
1960.
– Le mètre, unité de longueur, est défni comme la longueur du trajet parcouru
dans le vide par la lumière pendant une durée de 1/299 792 458 seconde.
– Le kilogramme, unité de masse, est égal à la masse du prototype
international en alliage de platine iridié, ce prototype unique étant conservé au Bureau
International des poids et des mesures (BIPM) dans les conditions fxées par la
re1 CGPM en 1889.
– La seconde, unité de temps, est la durée de 9 192 631 770 périodes de la
radiation qui correspond à la transition entre les deux niveaux hyperfns de l’état
fondamental de l’atome de césium 133.
– Le kelvin, unité de température thermodynamique, est la fraction 1/273,16
de la température thermodynamique du point triple de l’eau.
Il est d’usage courant d’exprimer la température thermodynamique en
fonction de sa différence par rapport à la de référence θ = 273,15 K, le 0Principe et démarche de l’analyse dimensionnelle 19
point de congélation de l’eau. Cette différence de température, appelée
température Celsius, est défnie par l’équation entre grandeurs :
θ (°C) = θ(K) – 273,15 [2.2]
celsius
– La mole est la quantité de matière d’un système qui contient autant d’entités
élémentaires qu’il y a d’atomes dans 0,012 kg de carbone 12. La mole est une
quantité d’entités élémentaires qu’il convient de spécifer (atomes, molécules,
ions, photons…). Cette grandeur est à rattacher au nombre d’Avogadro N = A
23 -16,02214129(27) 10 mol .
– L’ampère est l’intensité d’un courant électrique constant qui, maintenu dans
deux conducteurs parallèles, rectilignes, de longueur infnie, de section circulaire
négligeable et placés à une distance de 1 m l’un de l’autre dans le vide, produirait
-7entre ces conducteurs une force égale à 2.10 newton par mètre de longueur.
– La candela est l’intensité lumineuse, dans une direction donnée, d’une
12source qui émet un rayonnement monochromatique de fréquence 540.10 hertz
et dont l’intensité énergétique dans cette direction est de 1/683 watt par stéradian.
L’intérêt de fxer les défnitions des unités (étalons) est d’éviter toute équi -
voque sur la valeur de la mesure externe, et de permettre ainsi des comparaisons
entre grandeurs physiques.
Notons que le système international d’unités est aussi appelé MKS (pour
2mètre, kilogramme, seconde) . Le symbole des unités associées aux dimensions
fondamentales est donné dans le tableau 2.2.
Tableau 2.2. Système international d’unités (SI)
Dimension fondamentale Unité SI associée
Nom et symbole Nom et symbole
Longueur L Mètre m
Masse M Kilogramme kg
Temps T Seconde s
Température K Kelvin K
Quantité de matière N Mole mol
Intensité de courant électrique I Ampère A
Intensité lumineuse I Candela cd
v
2. Il est à noter que le système international d’unités n’est pas fgé, il évolue pour tenir
compte des besoins des utilisateurs. Actuellement, le Bureau international des poids et
mesures (BIPM, www.bipm.org) prépare un projet de résolution afn de redéfnir quatre
des sept unités de base du SI, à savoir le kilogramme, l’ampère, le kelvin et la mole.20 Modélisation en génie des procédés par analyse dimensionnelle
Rappelons que, même si le système international d’unités est fortement
recommandé, le choix des unités est complètement arbitraire. On aurait même pu scinder en
plusieurs dimensions certaines dimensions fondamentales en choisissant des unités
différentes. Par exemple, il est possible de choisir une unité de longueur pour les
distances horizontales et une autre pour les altitudes. Nous verrons dans le chapitre 3 que
cela peut être un moyen de réduire l’espace des nombres sans dimension.
Dans la plupart des cas, l’unité d’une grandeur physique n’est pas une unité
fondamentale, mais est formée par produit de puissances de plusieurs unités
fondamentales à partir des relations algébriques qui lient les grandeurs physiques
correspondantes. On parle alors d’unités dérivées ou secondaires.
En termes de notation, il est d’usage d’utiliser des crochets lorsqu’on écrit la
dimension d’une grandeur physique.
Exemple 2.3
Unité dérivée
L’unité d’une vitesse, v, est une unité dérivée, qui est défnie selon le rapport
entre une longueur et un temps. Une vitesse a donc pour dimension :
−1v→L.T  [2.3] 
-1Elle s’exprime en m.s dans le Système international d’unités.
Une liste des grandeurs physiques dérivées les plus utilisées et de leurs
dimensions dans le système SI est donnée dans le tableau 2. 3.
Tableau 2.3. Quelques grandeurs dérivées et leurs dimensions dans le système
international d’unités
Grandeur physique Dimension
2Aire [L ]
3Volume [L ]
-1Vitesse de rotation, taux de cisaillement, fréquence [T ]
-1Vitesse, conductance [L T ]
-2Accélération [L T ]
2 -1Viscosité cinématique, diffusivité [L T ]
-3Masse volumique [M L ]
-2Tension de surface [M T ]Principe et démarche de l’analyse dimensionnelle 21
-1 -1Viscosité dynamique [M L T ]
-1Quantité de mouvement [M L T ]
-2Force [M L T ]
-1 -2Pression, tension [M L T ]
2 -2Énergie mécanique, travail, couple [M L T ]
2 -3Puissance [M L T ]
2 -2 -1Chaleur spécifque [L T K ]
-3 -1Conductivité thermique [M L T K ]
-3 -1Coeffcient de transfert de chaleur [M T K ]
-2Éclairement lumineux [cd L ]
2 -3 -1Tension électrique [M L T A ]
-1Masse molaire [M N ]
Certaines unités dérivées du Système international portent parfois des noms
particuliers issus de noms propres de scientifques emblématiques
Exemple 2.4
Unités portant le nom d’un scientifque
Le newton (N) désigne l’unité de force dans le Système international
d’unités ; en termes d’unités fondamentales, il s’exprime selon 1 N = 1
-2m.kg.s .
Le watt (W) est l’unité employée pour exprimer une puissance. Il correspond
bien à un produit de dimensions fondamentales :
énergieéforced× istance masse××acc lré ationdistance
puissance == =
temps temps temps
−2 M.L.T.L 22 −Sa dimension est donc : = M.L.T    T 
[2.4]
Nous pourrions également citer : l’unité d’activité d’un radionucléide, le
-1becquerel (homogène à s ) ; l’unité d’une énergie ou d’un travail, le joule
2 -2(homogène à kg.m .s ) ; l’unité de résistance électrique, l’ohm (homogène
2 -3 -2 -1 -2à kg.m .s .A ) ; l’unité de pression, le pascal (homogène à kg.m .s ), etc.22 Modélisation en génie des procédés par analyse dimensionnelle
Certaines grandeurs dérivées peuvent aussi être sans dimension. Citons à cet
égard les cas :
– des angles plan et solide, exprimés respectivement en radian (symbole : rad)
et en stéradian (symbole : sr). Effectivement, tout angle plan se défnit comme le
rapport de deux longueurs : la longueur d’un arc et le rayon du cercle associé.
L’angle solide (qui peut être visualisé comme un angle à 3 dimensions existant
au sommet d’un cône coïncidant avec le centre d’une sphère) est défni de façon
analogue comme le rapport de deux aires : la surface d’une partie d’une sphère et
le rayon de la sphère au carré ;
– des fractions volumique ou massique qui correspondent au rapport de deux
volumes ou de deux masses respectivement ;
– des facteurs de forme (circularité, etc.).
Nous retiendrons de cela que, pour constituer un système de mesure, il faut :
– en premier lieu, fxer les dimensions fondamentales et leur nombre, en
même temps que les unités qui servent à les mesurer ;
– en second lieu, défnir les grandeurs dérivées.
Nous verrons ultérieurement que ce dernier point est indispensable pour
respecter le principe d’homogénéité.
Seul le SI a été présenté, mais, comme précédemment évoqué, plusieurs
systèmes de mesure existent (CGS...), ayant chacun leurs propres dimensions
fondamentales. Les choix sont arbitraires à ce stade, rappelons-le ! Sur la base des
considérations présentées ci-dessus, rien n’oblige donc à privilégier le Système
international d’unités plutôt qu’un autre pour exprimer les dimensions des entités.
La seule obligation à satisfaire pour mener à bien l’analyse dimensionnelle
est que le système d’unités (unités fondamentales et dérivées) soit cohérent.
Pour cela, il doit vérifer la condition suivante : les coeffcients numériques de pro -
portionnalité apparaissant lorsque les unités dérivées sont déduites des unités de
base (à l’aide de formules traduisant les lois physiques) doivent être égaux à 1. Par
exemple :
– le mètre par seconde est la seule unité dérivée cohérente de vitesse dans le
système SI. En effet, le kilomètre par heure ou le centimètre par seconde ne sont
pas des unités cohérentes dans le système SI : elles mettent en œuvre des facteurs
de conversion avec le mètre par seconde respectivement égaux à 1 000/3 600 et
0,01, donc différents de 1 ;
– même si le degré Celsius est d’un usage courant, l’unité fondamentale de
température dans le SI est le kelvin. L’ambigüité provient du fait que des
différences de températures sont souvent considérées, et dans ce cas particulier,
utiliser le degré Celsius ou le kelvin est équivalent :Principe et démarche de l’analyse dimensionnelle 23
θθ()°−CC ()°=θθ()KK− () [2.5] clesius 21 celsius 21
Pour la modélisation par analyse dimensionnelle, la cohérence d’un système
d’unités donné garantit qu’une relation de procédé (telle qu’elle sera défnie
dans la suite de ce chapitre) établie dans ce système restera valable si un autre
système cohérent d’unités est utilisé.
Toutes les analyses dimensionnelles conduites dans cet ouvrage seront
réalisées avec le Système international d’unités (SI). Ce système est en
effet cohérent, adopté dans la plupart des pays du monde et correspond en
outre au système pour lequel la communauté scientifque dispose de repères
concernant les mesures des grandeurs physiques exprimées dans ses unités
(ordres de grandeur).
1 1 2 2 Mesure interne
Nous avons vu que la première possibilité qui s’offre à l’expérimentateur
quand il s’agit d’exprimer la mesure d’une grandeur physique est sa mesure
externe. La seconde possibilité est d’exprimer la grandeur physique par une
3mesure interne . Pour cela, on référence la valeur de la grandeur physique
en question par rapport à celles d’un ensemble de grandeurs physiques
appartenant au système étudié, de telle manière à constituer un nombre sans
dimension. L’ensemble des grandeurs utilisées pour adimensionnaliser la
grandeur physique constitue les variables base répétées (ou base).
Exemple 2.5
Mesure interne (I)
Imaginons que le système contienne deux grandeurs physiques de même
dimension (par exemple, deux longueurs L et L ) et que L soit la variable 1 2 2
physique répétée. Le nombre sans dimension L /L constitue donc une 1 2
mesure interne de L .1
D’après certains ouvrages (Comolet, 1958), toute mesure interne défnie
comme le rapport de deux grandeurs physiques de même dimension est
appelé facteur de forme. Ainsi, la fraction volumique serait, même si nous
n’avons pas l’habitude de la dénommer en tant que telle, un facteur de forme.
3. Cette notion a été introduite pour la première fois par Lászlo (1964).24 Modélisation en génie des procédés par analyse dimensionnelle
Exemple 2.6
Mesure interne (II)
Le nombre sans dimension de Reynolds défni par :
ρ..vD
Re= [2.6]
μ
caractérise l’écoulement d’un fuide newtonien (de masse volumique r et
de viscosité dynamique µ) circulant à la vitesse moyenne v dans un tube de
diamètre D.
Il peut être perçu comme une mesure interne de la viscosité µ quand les
variables répétées sont le jeu (r, v ,D). Si les variables physiques répétées
choisies sont (r, µ, D), le nombre de Reynolds Re représente une mesure
interne de la vitesse v.
Notons que l’observation isolée d’une mesure interne ne permet pas
d’identifer d’emblée les variables physiques répétées qui ont servi d’étalons et de les
différencier des autres (désignées comme les variables physiques non répétées).
Ce n’est qu’en observant plusieurs mesures internes caractérisant le processus
4physique étudié (avant réarrangement des mesures internes ) qu’on peut espérer
distinguer les variables répétées des autres.
Lorsque l’on généralise cette notion de mesure interne, c’est-à-dire lorsqu’on
désigne et se sert de grandeurs physiques propres au système comme étalons, on
obtient des nombres sans dimension pour l’ensemble des grandeurs physiques
autres que les variables répétées. C’est cette technique que nous utiliserons un
peu plus tard pour faire apparaître l’ensemble des mesures internes caractérisant
le phénomène physique étudié.
1.2. Principe d’homogénéité
L’analyse dimensionnelle repose sur un principe simple de la physique :
la formulation mathématique proposée pour décrire un phénomène
physique doit être dimensionnellement homogène.
Cela veut dire que la relation physique qui lie la grandeur physique V aux
1
autres grandeurs physiques V , V , V et V selon :
2 3 4 5
V
4VV=+.V [2.7]
12 3 V
5
4. Nous y reviendrons dans le paragraphe 1.3.5.Principe et démarche de l’analyse dimensionnelle 25
n’a de sens que si V .V et V /V ont la même dimension que V .
1 2 4 5 1
Ce principe d’homogénéité dimensionnelle est en fait un principe d’usage
courant, que l’on pourrait résumer par : « on n’additionne pas des carottes et des
navets ! ».
Il est essentiel de rappeler que ce principe d’homogénéité ne s’applique pas aux
grandeurs qui n’ont pas été défnies rigoureusement par une relation
mathématique. C’est le cas, par exemple, des sensations thermiques caractérisées dans
l’échelle de Bedford par un nombre variant de 1 à 7 pour des impressions
physiologiques allant du « beaucoup trop chaud » au « beaucoup trop froid ». Ceci s’explique
aisément par le fait que l’analyse dimensionnelle suppose d’avoir préalablement
constitué un système d’unités convenable, garantissant notamment que l’ensemble
des grandeurs physiques autres que fondamentales sont reliées à celles-ci par des
relations algébriques. Ce prérequis n’est pas assuré dans le cas de l’échelle de Bedford.
Nous observons d’emblée que l’utilisation du principe d’homogénéité
permet de savoir si une expression littérale mettant en jeu des grandeurs physiques
dimensionnelles ne contient pas d’erreurs, démarche que nous conseillons
vivement à nos chers étudiants.
Exemple 2.7
Principe d’homogénéité
Analysons une expression erronée du débit volumique Q d’un fuide
incompressible de viscosité dynamique µ dans une conduite de rayon R et
de longueur L :
2  π.RP Δ
Q = [2.8] 8μ L 
où DP est la perte de charge.
3 -1La dimension du débit volumique Q est [L .T ], alors que la dimension du
terme de droite de l’équation 2. 8 est :
21 −−2L.  M.L.T     −1 = L.T [2.9] −−11M.L.T.  L   
L’équation 2.8 est donc fausse car elle ne respecte pas le principe
d’homogénéité dimensionnelle. En effet, l’expression correcte du débit
5volumique est :
4π.RP Δ 
Q = [2.10] 8μ  L 

5. Cette expression sera démontrée dans le chapitre 3 (voir paragraphe 3.2.1, exemple 3.2).26 Modélisation en génie des procédés par analyse dimensionnelle
Mais cette propriété d’homogénéité dimensionnelle des équations a bien
d’autres conséquences. Elle permet surtout, à partir de l’analyse des
dimensions des grandeurs physiques constituant une relation algébrique, de former un
système équivalent de nombres sans dimension. Cette mise en forme
adimensionnelle, appelée analyse dimensionnelle, présente l’avantage essentiel de
décrire le phénomène physique par un ensemble de mesures internes dont
le nombre est plus faible que le nombre initial de grandeurs physiques . Elle
fait appel au théorème de Vaschy-Buckingham (encore appelé théorème π ),
6 qui permet de déterminer le nombre maximum de mesures internes qu’il sera
nécessaire d’élaborer pour circonscrire le phénomène physique étudié (voir
paragraphe 1.3.3).
1.3. Règles fondatrices pour construire l’ensemble (ou espace)
des nombres sans dimension associé à un phénomène physique
La démarche d’adimensionalisation d’un phénomène physique comprend
plusieurs étapes :
– choix de la variable cible et liste des grandeurs physiques indépendantes ;
– détermination des dimensions des grandeurs physiques listées ;
– application du théorème de Vaschy-Buckingham pour connaître le nombre
de mesures internes régissant le phénomène analysé ;
– construction des nombres sans dimension (méthode
d’élimination-substitution, méthode par opérations matricielles, relations de passage entre espaces de
nombres sans dimension) ;
– éventuellement, réarrangements de nombres sans dimension pour aboutir à
des mesures internes dont la signifcation est plus intuitive ou mieux adaptée au
programme expérimental mis en œuvre pour établir la relation de procédé.
1.3.1. Étape n° 1 : choix de la variable cible et liste des grandeurs
physiques indépendantes
On commence par poser le problème. En premier lieu, il convient
d’identifer la variable d’intérêt (encore appelée variable cible) caractéristique du
phénomène étudié. C’est un indicateur quantifable des performances du procédé,
comme par exemple un temps de mélange ou une taille de gouttelettes.
On liste ensuite l’ensemble des grandeurs physiques (constantes, variables
1et paramètres) agissant sur le phénomène étudié (les causes), et ce quel que
6. Les travaux de Saint-Guilhem (1962) montre que le nombre minimal de mesures
internes ne peut être atteint qu’en adaptant le système d’unités au problème étudié. Ayant
choisi dans cet ouvrage d’utiliser le système international d’unités, l’obtention d’un
nombre minimal de nombres sans dimension ne sera pas forcément garantie d’emblée par
l’application du théorème de Vaschy-Buckingham.Principe et démarche de l’analyse dimensionnelle 27
soit le degré d’infuence pressenti . À ce stade, nous conseillons au lecteur de
réaliser une liste la plus exhaustive possible.
Enfn, l’indépendance physique des grandeurs physiques listées doit être
vérifée. Il s’agit alors de s’assurer qu’aucune grandeur physique, hormis la
variable d’intérêt, n’est conditionnée par les variations des autres grandeurs. Si
tel est le cas, cette grandeur physique doit être supprimée. Par exemple, dans
l’étude du temps de mélange en cuve agitée, il est exclu de lister simultanément
la vitesse de rotation du mobile d’agitation et la puissance consommée au titre
des grandeurs physiques ayant une infuence sur le temps de mélange ; en effet, la
puissance consommée dépend directement de la vitesse d’agitation.
Établir la liste des grandeurs physiques indépendantes est l’étape la plus
diffcile car il n’y a aucune règle établie pour la conduire méthodiquement.
C’est une affaire de jugement où la connaissance des phénomènes physiques
en présence et l’expérience ont la plus grande importance.
Des éléments de méthode pour dresser une liste des grandeurs physiques à
partir d’une démarche raisonnée seront donnés dans le chapitre 3.
1.3.2. Étape n° 2 : détermination des dimensions des grandeurs
physiques listées
On exprime la dimension de chaque grandeur physique listée en termes de
dimensions fondamentales. Aucune autre hypothèse que la cohérence du système
d’unités choisi n’est exigée pour exprimer les dimensions. Le nombre de
dimensions fondamentales dépend du système de mesure adopté et de la complexité du
phénomène physique étudié.
Il est alors possible de construire une matrice, appelée matrice aux
dimensions et notée D, dont :
– le nombre de colonnes est égal au nombre de grandeurs physiques listées ;
– le nombre de lignes est égal au nombre de dimensions fondamentales
requises pour exprimer la dimension de chaque grandeur physique listée.
kLa matrice aux dimensions D contient les exposants e (k fait référence à
i
la dimension fondamentale, et i à la grandeur physique listée) auxquels il faut
élever individuellement chaque dimension fondamentale (constituant les lignes)
pour que la variable physique en tête de la colonne soit homogène à un produit de
dimensions fondamentales élevées aux exposants en question.
Illustrons cela au travers de l’exemple 2.8, que nous allons par la suite
reprendre au gré des différentes étapes.28 Modélisation en génie des procédés par analyse dimensionnelle
Exemple 2.8
Règles fondatrices pour construire l’ensemble des nombres sans
dimension associé à un phénomène physique : étapes n°1 et 2 (I)
Considérons un cas purement imaginaire dans lequel la variable d’intérêt,
notée V , est infuencée par un ensemble de 5 grandeurs physiques
1
indépendantes {V , V , V , V , V }.
2 3 4 5 6
Le nombre de dimensions fondamentales a été fxé à 3. Ces dimensions
sont ici notées d dans un souci de généralisation à n’importe quel système k
utilisé ; dans le Système international d’unités, elles correspondent à M, L,
T … (voir tableau 2.1) et leurs unités sont kg, m, s...
La dimension de chaque grandeur physique est exprimée en termes de
dimensions fondamentales dans l’équation 2.11 (les valeurs numériques des
exposants ont été choisies arbitrairement) :
0 −2 1  V =⋅dd ⋅d 11 2 3 
1 −3 2  V =⋅dd ⋅d 31 2 3 
1 0 −3  V =⋅dd ⋅d  k 41 2 3 e i  ⇔ V = d  [2.11]∏ i k 0 −1 0 V =⋅dd ⋅d 13≤≤k 21 2 3

1 −−1 1 V =⋅dd ⋅d  51 2 3

2 1 0V =⋅ddd ⋅  61 2 3 
kOù e sont les exposants auxquels il faut élever individuellement chaque
i
dimension fondamentale d pour que la variable physique V soit homogène à
k i
un produit de dimensions fondamentales élevées aux exposants en question.
Ce sont ces exposants qui sont reportés dans la matrice aux dimensions D
présentée dans la fgure 2.1.
V V V V V V
1 2 3 4 5 6
d 0 0 1 1 1 2
1
d -2 -1 -3 0 -1 12
d 1 0 2 -3 -1 0
3
Figure 2.1. Exemple 2 8 : matrice aux dimensions D (cadre noir) : les
colonnes correspondent aux variables physiques V (fond gris clair) et les
i
lignes aux dimensions fondamentales d (fond gris foncé)
k
Dans cet exemple, (d , d , d ) est la base initiale, constituée des dimensions 1 2 3
fondamentales, dans laquelle est exprimé l’ensemble des grandeurs
physiques V.iPrincipe et démarche de l’analyse dimensionnelle 29
1.3.3. Étape n° 3 : application du théorème de Vaschy-Buckingham
Quand la matrice aux dimensions a été écrite, le nombre des mesures internes
(ou nombres sans dimension, notés p ) qui décrivent la relation de cause à effet
i
du processus physique étudié peut être déterminé. Ceci se fait en appliquant le
théorème de Vaschy-Buckingham.
Théorème de Vaschy-Buckingham
Toute grandeur physique représentant un phénomène (c’est-à-dire toute
variable cible V ) fonction de m grandeurs physiques indépendantes, V
1 i,
7mesurées par n dimensions fondamentales , d , peut être décrit par une
d k
fonction implicite entre m-n nombres sans dimension p .
d i
Vf= (,VV ,,VV…,) devient ππ= F(,ππ ,,…,)π12 34 m 12 34 mn−
d
V
iavec π = [2.12]
i a
ikΠ V
kk
où les exposants a sont des nombres rationnels pouvant être nuls,
ik
   im∈−1; n et km∈−nm+1; . d  d 
Dans cet ouvrage, toute fonction implicite F entre le nombre sans dimension
cible et les autres nombres sans dimension sera désignée par le terme
relation de procédé.
Selon la valeur des exposants a , les nombres sans dimension p sont des iik
groupements monômes contenant au minimum une et jusqu’à n +1 grandeurs d
.physiques V .i
7. Ces dimensions fondamentales doivent être issues d’un système cohérent d’unités.30 Modélisation en génie des procédés par analyse dimensionnelle
Comme illustré dans le chapitre 1, l’application du théorème de
Vaschy8Buckingham est particulièrement intéressante dans une recherche
expérimentale de la relation de procédé F (équation 2.12) car le nombre
d’essais peut être signifcativement réduit. En effet, un phénomène décrit
par une collection de m grandeurs physiques dimensionnelles peut, par ce
théorème, être décrit par une collection de m-n mesures internes. C’est en ce
d
sens que cette méthode est parfois appelée « méthode des variables réduites ».
1.3.4. Étape n° 4 : détermination des nombres sans dimension
On forme les mesures internes p à partir de quelques transformations
réalii
sées sur la matrice aux dimensions. Il est nécessaire de mettre en avant certaines
variables physiques, que nous appellerons variables répétées, pour générer
l’ensemble des nombres sans dimension p associé au phénomène physique étudié.
i
Chaque nombre sans dimension constituant l’ensemble fnal sera associé à une
variable physique restante, que nous appellerons variable non répétée.
L’ensemble (ou espace) des nombres sans dimension , sera obtenu en π{} i
divisant chaque variable physique non répétée par un produit de variables
répétées élevées à différents exposants a (ces exposants pouvant être
ik
égaux à 0).
V
i, non répétée   π = avec im∈−1; n [2.13]
ai  dikn
d  Π V
k=1, k répétée  
Les nombres sans dimension représentent donc des mesures internes
des variables physiques non répétées dans la base constituée par les
variables physiques répétées.
8. Le formalisme mathématique sous-jacent au théorème de Vaschy-Buckingham, dont
le but est de construire un ensemble de nombres sans dimension, peut être généralisé à
la recherche de groupements spécifques de variables élevées à certaines puissances (à
déterminer) qui possèdent une dimension choisie (par exemple la dimension d’une force).
Si on reprend l’exemple précédent, on chercherait la relation suivante :
εε εε εε qq q12 34 56 12 3 VV ..VV ..VV .d = .d .d 3456  3
Où e , e , e sont les exposants des grandeurs physiques V à déterminer. q , q , q sont
1 2 3 i 1 2 3
les exposants désirés des dimensions fondamentales ; s’ils sont tous nuls, cela revient à
chercher des nombres sans dimension. Nous ne présenterons pas cette approche ici, et
conseillons donc au lecteur désireux d’en savoir plus de se reporter à l’ouvrage de Szirtes
(2007) (et en particulier à son chapitre 7).Principe et démarche de l’analyse dimensionnelle 31
Le passage des grandeurs physiques à l’espace des nombres sans dimension
caractérisant le procédé sera donc réalisé grâce à un changement de base :
– la base initiale est constituée de l’ensemble des dimensions fondamentales
nécessaires pour exprimer les dimensions des grandeurs physiques listées,
– la nouvelle base sera constituée des variables physiques répétées.
Le choix des variables répétées est libre à conditions que :
– celles-ci soient dimensionnellement indépendantes ;
– leurs dimensions couvrent l’ensemble des dimensions fondamentales
nécessaire pour exprimer les dimensions des grandeurs physiques listées.
La notion d’indépendance dimensionnelle signife que la dimension d’une
variable physique répétée ne peut pas s’exprimer comme un produit de
puissances des dimensions des autres variables répétées.
Si (et seulement si) les deux conditions précédentes sont remplies, alors
le nombre de variables physiques répétées est égal au nombre de
dimensions fondamentales nécessaire pour exprimer les dimensions des
grandeurs physiques agissant sur le phénomène physique.
Dans le cas contraire, un nouveau jeu de variables répétées doit être choisi
pour satisfaire ces deux conditions.
Nous nous proposons d’illustrer ces notions à travers l’exemple suivant.