Complément algorithmique : calcul d'aires

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Complément algorithmique : calcul d'aires (fiche - Terminale ES - BAC Pro - Terminale L)

Rappel L’intégrale de a à b (a

Historiquement, le calcul intégral est utilisé depu is l’antiquité. On attribue à Eudoxe de Cnide (né vers -408 et décé dé vers -355, auteur supposé des livres V et XII des Éléments d'Euclide) la paternité de la « méthode d'exhaustion ». Archimède (-288 / -212) l’utilisa, entre autre pour une excellente approximation de .

Cavalieri (1598 / 1647) approche encore davantage l e calcul intégral en créant la géométrie des indivisibles, où les lignes sont cons idérées comme formées d'un nombre infini de points ; les surfaces d'une infini té de lignes et les solides d'une infinité de surfaces. Par cette méthode, il réussit à résoud re un grand nombre de problèmes (surfaces donc aires et des volumes).

On attribue à Newton (1642 / 1727) et surtout Leibn itz (1646 / 1716) « l’invention » du calcul infinitésimal, contenant le calcul différentiel et le calcul intégral. Le principe repose sur le découpage en petits éléme nts (infinitésimaux) qui seront ajoutés (par sommation) pour donner la totalité de ce qui est recherché. Nous allons utiliser ce principe pour calculer l’ai re sous la courbe de quelques fonctions, à l’aide de petits programmes sur calcul atrice (ou logiciel mathématique).

La programmation des aires On suppose f fonction définie continue et positive sur l’intervalle étudié. 1. Méthode des rectangles Le but du problème est de déterminer et d’encadrer lorsque c’est possible A, l'aire comprise entre C courbe représentative d’une fonction y = f(x), l’a xe [ox) et les droites y verticales d'équations x = a et x = b. C’est l’aire en grisé de la figure 1 ci-dessous, avec ici f(x) = x, a = 0, b = 1.

Une approximation peut être obtenue en découpant l’ aire en rectangles de largeur 'pas' choisi) et de hauteur y = f(x), cas de la fig ure 2.

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