Lois de probabilités continues

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Extrait

Lois de probabilités continues (fiche - Terminale S - Mathématiques pour adulte - Mathématiques)

Objectif(s) • Définir la notion de probabilité lorsque les variables aléatoires ne sont pas discrètes, c’est-à-dire lorsqu’elles prennent leurs valeurs de façon « continue » sur un intervalle de .

• Pour ce chapitre, il est indispensable de connaître la notion d’intégrale.

• On convient des notations suivantes :

Soit I un intervalle. On utilise la notation

.

• Si I = [a ; b], alors = . • Si I a au moins l’une de ces bornes infinie, par exemple I = [a ; +

[, alors sous

réserve d’existence = . • Si I a l’une de ces bornes finies ouvertes, par e xemple I = ]a ; b], alors sous réserve

d’existence

=

.

Les expériences aléatoires rencontrées jusqu’à main tenant associent un univers fini de résultats sur lequel on définit une loi de probabil ité P. Il en résulte des variables aléatoires ditesdiscrètescar prenant un nombre fini de valeurs isolées (ex : la variable aléatoire égale au résultat du jet d’un dé -1, 2, 3 , 4, 5, 6 -).

Or, il y a beaucoup de situations où les expérience s aléatoires mènent à des variables aléatoires ne prenant pas des valeurs isolées, maisdes valeurs dans un intervalle de nombre réel(ex : la durée d’attente d’un métro dans une stati on est une variable aléatoire qui prend ses valeurs dans un intervalle de temps).

De fait, avec une telle variable aléatoire X, les {X = x } sont en nombre infini et on ne i peut faire untableau de probabilitésles concernant. Une telle variable aléatoire suit une loi dite « continue ». Il est donc nécessaire d’utiliser la notion d’intervalle pour ces variables aléatoires. Par exemple, à la situation « attendre le métro entre 8h et 8h15 (= 8,25h) » et en appelant X la variable aléatoire égale au temps d’a ttente, on associera l’événement {8 ≤ X ≤ 8,25} ou encore {X [8 ; 8,25]}.

D’une façon générale, pour de telles variables aléa toires, on utilisera des événements du type {X I} où I est un intervalle de nombre. Reste alors à définir la probabilité associée à cet événement, probabilité que l’on notera P({X I}), ou plus simplement P(X I).