Nombres complexes et transformations géométriques

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Extrait

Nombres complexes et transformations géométriques (fiche - Terminale S - Mathématiques pour adulte - Mathématiques)

Objectifs : - Connaître l'écriture complexe d'une translation - Connaître l'écriture complexe d'une homothétie - Connaître l'écriture complexe d'une rotation

1. Écriture complexe d'une translation Soit a un nombre complexe et le vecteur d'affixe a.

La fonction définie dans admet pour transformation associée dans le plan complexe la translation de vecteur

Démonstration

En effet, soient M(z) et M'(z'), les images de z et z' dans le plan complexe. Quel que soit M, l'affixe du vecteur est z' - z = a, donc = donc M' est l'image de M dans la translation de vecteur .

Et, réciproquement, on démontre de façon analogue q ue si le point N'(z') est l'image du point N(z) dans la translation de vecteur d'affixe b, alors z' = z + b.

Exemples

►u plan complexe associe le pointSi T est la transformation qui à tout point M(z) d M'(z') tel que z' = z - i + 1, alors T est la translation de vecte ur d'affixe -i + 1. En particulier, si R est le point d'affixe -i + 1, alors quel que soit M,

►et B d'affixe .Soit dans le plan complexe, les points A d'affixe 1 + Si C est l'image du point B dans la translation de vecteur , l'affixe zc de C est :

2. Écriture complexe d'une homothétie SoitΩun point d'affixeωet k, un réel non-nul.