Suites numériques : comportement à l'infini de (qn), avec q un réel.

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Suites numériques : comportement à l'infini de (qn), avec q un réel. (fiche - Terminale S - Mathématiques pour adulte - Mathématiques)

Objectif n Étudier à l’infini la suite (q), avecqun réel ; cela permettra le calcul de la limite d’ une suite géométrique. 1. Inégalité de Bernoulli n Pour l’étude à l’infini de (q),qétant un réel, on doit utiliser à un moment de la démonstration une inégalité qui fut démontrée par B ernoulli.

Remarque Il s’agit donc d’un « petit » théorème qui va nous être utile pour un théorème « plus important » :un tel « petit » théorème est alors appelé lemme. Ce mot de mathématique vous est ici donné pour enri chir votre « culture mathématique ».

Lemme : inégalité de Bernoulli Soitaun réel strictement positif. n Pour tout entier natureln, on dispose de l’inégalité (1 +a1 +) ≥ na.

Démonstration La démonstration de cette inégalité se fait à l’aid e d’unraisonnement par récurrence. Soit a un réel strictement positif fixe. Soit n un entier naturel quelconque.

n On appelle (P ) la proposition : (1 +a1 +) ≥ na. n

 •Initialisation:n= 0. 0 On a : (1 +a) = 1 et 1 + 0× a= 1 et 1 ≥ 1, donc (P ) est une proposition vraie. 0

 •Hérédité: soitkun entier naturel quelconque. On doit démontrer que la proposition : ((P ) (P )) est une proposition vraie, k k+1 k+1 autrement diton doit démontrer que l’inégalité (1 +a) ≥ 1 + (k+ 1)aest vraie k sachant que l’on dispose de l’inégalité (1 +a) ≥ 1 +ka.

On a : k+1k k (1 +a(1 + a) (1 + a) et (1 +) = a1 +) ≥ kaeta> 0,

k donc (1 +a) (1 +a(1 +) ≥ a)(1 +ka). On a en fait multiplié les deux côtés par le nombre positif (1 +a).