Cahier d'exercices d'arithmétique collège Fractions irréductibles Françoise Bastiat Michel Bénassy Pierre Roques

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Description

Niveau: Secondaire, Collège, Cinquième
1 Cahier d'exercices d'arithmétique (collège) 6 - Fractions irréductibles Françoise Bastiat, Michel Bénassy, Pierre Roques Equipe académique Mathématiques Bordeaux, 11 juin 2001 La notion de fraction irréductible n'apparaît qu'en classe de troisième. Les paragraphes I, II, III, proposent quelques activités autour des fractions dans les classes de sixième, cinquième et quatrième. Ne prétendant ni à l'originalité, ni à l'exhaustivité, ces exercices ont pour objectif de situer brièvement les compétences attendues selon les niveaux sur les fractions. I. Écritures fractionnaires d'un nombre 1) Compléter : ...... 1300 100 ..... 10 .....3,1 === . 2) Représenter chacun des nombres décimaux suivants : 0,73 ; 12,7 ; 0,0029 ; 9,001 par une fraction de dénominateur 10 ou 100 ou 1000 ou 10000 et de numérateur entier. Effectuer la somme : 0,73 + 12,7 + 0,0029 + 9,001 ; - en utilisant les écritures décimales, - puis en utilisant les écritures fractionnaires les plus appropriées. 3) Relever, parmi les nombres suivants, ceux qui sont des nombres décimaux : 3 4 9 3 11 21 7 222 456 62 40 490; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ;4 3 2 5 12 12 25 50 200 80 875 875 4) Sur une demi-droite graduée, on a repéré le nombre dont une écriture fractionnaire est 12 4 : Vérifier l'égalité : 6 2 12 4 = en repassant en rouge certains

• nœuds du quadrillage


• feuille de papier


• fraction irréductible


• numérateur


• simplification de fractions


• papier quadrillé


• entier naturel


• dénominateur

Sujets

• Cinquième
• Mathématiques
• collège

Informations

• Publié par: profil-etta-2012
• Date de parution: 01 juin 2001
• Nombre de lectures: 235
• Langue: Français

Extrait

Cahier d’exercices d’arithmétique (collège) 6  Fractions irréductibles Françoise Bastiat, Michel Bénassy, Pierre Roques Equipe académique Mathématiques Bordeaux, 11 juin 2001 La notion de fraction irréductible n’apparaît qu’en classe de troisième. Les paragraphes I, II, III, proposent quelques activités autour des fractions dans les classes de sixième, cinquième et quatrième. Ne prétendant ni àl’originalité, ni àl’exhaustivité, ces exercices ont pour objectif de situer brièvement les compétences attendues selon les niveaux sur les fractions. eme I. Écritures fractionnaires d’un nombre 6 ..... ..... 1300 1) Compléter: 1,3= ==. 10 100...... 2) Représenterchacun des nombres décimaux suivants :0,73 ; 12,7 ; 0,0029 ; 9,001 par une fraction de dénominateur 10 ou 100 ou 1000 ou 10000 et de numérateur entier. Effectuer la somme :0,73 + 12,7 + 0,0029 + 9,001 ;  enutilisant les écritures décimales,  puisen utilisant les écritures fractionnaires les plus appropriées. 3) Relever,parmi les nombres suivants, ceux qui sont des nombres décimaux : 3 4 9 311 217 222456 6240 490 ; ; ; ;; ; ;; ;; ; 4 3 2 512 1225 50 20080 875 875 4 4) Surune demidroite graduée, on a repéré le nombre dont une écriture fractionnaire est: 12 0 1 4 2 Vérifier l’égalité := en repassant en rouge certains tirets de la graduation. 12 6 En procédant de même… 0 1 4 1 … compléterl’égalité :=. 12 ... ... 27... 5) Compléter: 2,25= ==. 4 ... 20

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eme 5 II. Simplification de fractions, opérations, comparaison de nombres 15 ......33 136 ..... 1) Compléter:=;=;=. 25 5132 ..... 637 24 60 175 2) Simplifierles fractions suivantes :; ;. 60 165245 21 3) Trouverla fraction de dénominateur 20 représentant le même nombre que la fraction :. 28 Trouver la fraction de numérateur 75 représentant le nombre décimal : 1,25. 7 31 3 103 4) Effectueret simplifier si possible le résultat :+;-;-. 24 811 15435 14 7 1337 25 5) Comparerles nombres suivants :et ;1, 3et ;2, 25et . 21 3630 12 eme III. Opérations, simplification de fractions 4 Effectuer les calculs et si c’est possible, simplifier les résultats : 7 245 3711 1715 126 39 + +;-;´ ´.; : 30 45 5090 6030 34 445 30 eme 3 IV. Approche de la notion de fraction irréductible 1) Peuton simplifier les fractions suivantes ? 2 14 102 56176 63595 ; ;; ; ; 3 45 254 1577 296 51 Caractériser les fractions qui n’ont pas pu être simplifiées. 110 2) Déterminertoutes les écritures fractionnaires du nombreobtenues par simplification. 264 Expliciter le procédé mis en œuvre. eme V. Application directe de la définition d’une fraction irréductible 3  Lesfractions suivantes sontelles irréductibles ? 12 5824 5112361 527 185 ; ;; ;; ; 45 15245 85 12362 143 703

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eme VI. D’une fraction à une fraction irréductible 3 336 1) Déterminerl’écriture fractionnaire irréductible du nombreA= 1260 en observant la démarche indiquée :  effectuerdes simplifications successives de la fraction donnée par des diviseurs communs au numérateur et au dénominateur ;  démontrerque le numérateur et le dénominateur de la « dernière » fraction obtenue sont premiers entre eux. 1358 2) Déterminerl’écriture fractionnaire irréductible du nombreB= 630 en observant la démarche indiquée :  calculerle PGCD du numérateur et du dénominateur de la fraction donnée ;  simplifierla fraction donnée par ce PGCD ;  justifier,en se référant àune propriété établie en cours, que le numérateur et le dénominateur de la fraction ainsi simplifiée sont premiers entre eux. 3) Déterminerl’écriture fractionnaire irréductible des nombres suivants : 45 636 209884 A=;B=;C=;D=. 60 248 348 357 eme VII. Recherche de diverses écritures fractionnaires d’un même nombre 3 16 3648 1) a.Démontrer que les fractions; et représententle même nombreA 12 2736  donton précisera l’écriture fractionnaire irréductible.  Recenserles principes qui peuvent être mis en œuvre pour établir l’égalité de deux fractions. b. Peutontrouver une écriture fractionnaire du nombreA telle que :  ledénominateur soit égal à21 ?  ledénominateur soit égal à353 ?  lenumérateur soit un multiple de 5 ?  lenumérateur et le dénominateur aient pour PGCD 22 ? 48 2) Déterminertoutes les fractions représentant le nombreB=un dénominateur, ayant 180 compris entre 300 et 350. 3) a.Un dessin a été réalisé sur une feuille de papier rectangulaire dont la longueur  estégale à45 cm.  Pourobtenir un agrandissement de ce dessin, on a dû adopter une feuille de papier  mesurant18 cm de plus en longueur et 16 cm de plus en largeur.  Quellessont les dimensions des deux feuilles de papier utilisées ? 24 6424+64  b.Vérifier que les fractions; etreprésentent un même nombre. 27 7227+72 a a' c. Soitet deuxfractions représentant le même nombrer. b b' a+a' Démontrer que la fractionreprésente aussi le nombrer. b+b'  3

eme VIII. Arithmétique géométrique … 3 1) LerectangleABCDa ses sommets sur les nœuds d’unquadrillage. En choisissant comme unité la longueur du côté d’un carré du A B quadrillage, on a :ABet= 12BC= 9. La diagonale [BD] passe par deux autres nœuds du quadrillage, soit quatre au total. Par combien de nœuds du quadrillage passe la diagonale [B’D’] du rectangleA’B’C’D’tel que : A’B’= 60etB’C’= 72 ? D C 2) Représenter(sur papier quadrillé5´5 ) la fonction : 8 x¾®¾x pour£0£x28. 7 Indiquer, sur ce graphique, les points du segment tracé dont les coordonnées sont des nombres entiers. Utiliser les résultats trouvés pour traiter  l’exerciceIX.2 du Chapitre : Multiples d’un entier naturel. eme IX. Exclus de l’ensemble des nombres rationnels … 3 Terminologie :On appelle « nombre rationnel » un nombre qui peut s’écrire sous a * la formeoù aÎ9etbÎÐ. b 7-12 Exemples :; 5 et sont des nombres rationnels. 3 20 1) a.Démontrer que le carré d’un nombre pair est un nombre pair.  Démontrerque le carré d’un nombre impair est un nombre impair.  Endéduire que si le carré d’un entier naturel est un nombre pair,  alorscet entier naturel est luimême un nombre pair. b. Onse propose de démontrer (par l’absurde) que2 n’estpas un nombre rationnel (*). p On suppose que2 estun nombre rationnel, et l’on noteson écriture fractionnaire q p irréductible :2=oùp etq sont des entiers naturels premiers entre eux. q 2 Montrer quep est un nombre pair ; en déduire quep est un nombre pair. 2 Montrer alors queq est un nombre pair ; en déduire queq est un nombre pair. Conclure. (*)On pourra trouver dans le quinzième numéro du bulletin académiqueRéciproquesune démonstration moins conventionnelle de l’irrationalité de2. 2) a.Démontrer que le carré d’un multiple de 3 est un multiple de 3. Démontrer que si un entier naturel n’est pas un multiple de 3, alors son carré n’est pas un multiple de 3.  Endéduire que si le carré d’un entier naturel est un multiple de 3,  alorscet entier naturel est luimême un multiple de 3. b. Ens’inspirant de la démarche décrite pour le nombre 2,  démontrer(par l’absurde) que3 n’estpas un nombre rationnel.  4