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Chapitre Exercices lycee A Brizeux PC

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Niveau: Secondaire, Lycée, Terminale
Chapitre 13 Exercices lycee A. Brizeux PC 2011-2012 Reduction des endomorphismes symetriques I. Applications directes du cours Exercice 1 E espa e eu lidien de base orthonormale dire te (i; j; k) soit s 1 , s 2 , s 3 les symetries orthogonales (demi-tours) d'axes re- spe tifs diriges par ! i ; ! j ; ! k , determiner r = s 1 Æ s 2 Æ s 3 . Exercice 2 Dans R 3 , etudier les formes quadratiques q de matri e dans la base anonique A = 0 B 2 1 1 1 2 2 1 2 2 1 C A Exercice 3 Vrai ou faux : si P est une matri e orthogonale, alors P est inversible, et le al ul de P 1 ne ne essite au un al ul ( ni +, ni ). Exercice 4 Donner la nature et les elements ara teristiques des quadriques d'equation dans le repere eu lidien usuel de l'es- pa e : 1. x 2 + y 2 + z 2 + 2xy = 1 ; 2.

  • matrices definies positives

  • retournements d'axes orthogonaux

  • reduction des endomorphismes symetriques

  • os sin

  • ve teur unitaire

  • ommune de ve teurs


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Langue Français

Chapitre13 Exercices lyce´e A. Brizeux PC 2011-2012
R´eduction des endomorphismes sym´etriques
I. Applications directes du cours
Exercice 1 Exercice 4
Exercice 2
Exercice 5
Exercice 3
II. A savoir r´ediger
Exercice 6 Nature d’une quadrique Exercice 7
III. Exercices
Exercice 8 Produit scalaire dans un e.v.e et matrices
syme´triques
M
R´eduction des endomorphismes sym´etriques
A
3
,
y
j
+
x
4
(
z
D
2

=
v
0
k
;
y
3.
1
x
)
2
sym
3
(
xy
equation
+
A
y
Dans
2
scalaire
=
de
1
i
;
C
x
tout
4
eterminer
2
!
x
Ch.13
2.

;
;
1
x
=
A
xy
T
Donner
est
l'allure
1
des
quadratiques
ensem
1
bles
v
:
norme
E
e
1
)
=
2
f
=
(
1
X

;
i
Y
[1
;
x
Z
Y
)
pro
2
our
R
Y
3
ectifs
;
1
X
sym
2
8
4
R
Y
z
2
A
+
C
9

Z
de
2
S
=
alors
1
faux
g
2
E

2
dans
=

f
Æ
(
eterminer
X
Soit
;
uni
Y
,
;
ee,
Z
:
)
base
2
t
R

3

;
x
X
e
2
=1
4
B
Y
x
2
=
9
.
Z
1.
2
>
=
j
1

g
r
E
.
3

=
(
f
j
(
sp
X
R
;
n
Y
que
;
X
Z
par
)
(demi-tours)
2
,
R
k
3

;
etrique
X
telle
2
x;
+
)
4
;
Y
y
2
=
+
z
9
B
Z
z
2
4.
=
En
1
une
g

2
.
+
l'allure
2
et
z
est
+
matrice
2
si
y
rai
+
1
2
2
x
1
1.
0
:
base

de
l'es-
les
de
3
usuel
3

s
ere
=

d
rep
;
le
un
dans

equation
pro

j
d'
k
quadriques

des
B
eristiques
1

:

)
ts

emen
.

x
el


;
les
)
et

nature
n
la
n
Donner
x
).
,

X
ni
j
+,
=
ni

(
.

1
Soit
et
q
B
:
1
R
y
3
C
!
<
R
e
;
p
(
i
x;
2
y
n
;
.
z
eterminer
)
eel
7
y
!
D
2
matrice
x
t
2
On
+
j
y
<
2
>
2
scalaire
y
t
3
1
4
4.
xy
2
4
R
y

z
AX
+
=
2
AY
xz
i
.

1.
re-
Justier
etries
que
3
p
s
our
soit
S
i;
=
base
0
E
B


r
2
eelle
2
que
1
(
2
y
1
z
2
2
1
3
2
f
2
x;
1
;
C
)
A

on
y
a

:
0
8

(
y
x;
1
y
A
;
Diagonaliser
z
5.
)
d
2
eduire
R

3
r
;
eduite
f
S
(
6.
x;

y
de
;
.
z
ersible,
)
in
=
P

orthogonale,
x
une
y
P
z
:

ou
S
V
0
C
B
2

1
1/3
2
y
1
z
2
1
B
C
=
A

2.
la
Mon
matrice
trer
q
que
formes
S
etudier
admet
,
p
R
our
.
v
s
aleurs
2
propres
Æ
3
s
et
r
3

de
,
m
!
ultiplicit
j

E
e

resp
ectoriel
ectiv
m
es
du
1
duit
et
<
2
>
3.
k
Donner
la
la
asso
nature

de
et
la
=
quadrique
e
Q
;
d'
:

;
equation
n

une

orthonorm
esienne
ee
q
E
(
Soien
x;
(
y
i
;
1
z
i
)
n
=
(
1.
j
ecessite
1

j
n
n
ne
R
1
,
P
=
de
X

=1
le
i
Soien
i
t
y
k
n
>
j
0
y
x
e

X
e
0
et
B
S
x
la
.
surface
.
d'
n

C
equation
A

Y

0
esienne
B
:
y
(
.
x
.
y
n
)
C
2
A
+
Calculer
(
e
y
j
z
j
)
,
2
our
+
(
(
;
z
)
x
[
)
;
2

=
2
k
2.
.

1.
le
En

p
<
osan
j
t
>
f
3.
:

(
la
x;
1
y
1
;
X
z
.
)
notera
7
X
!
Y
(
=
x
x
y
y
)
le
2
duit
+

(
ondan
y
sur
z
n;
)
(
2
).
+
P
(
A
z
S
x
(
)
)
2
v
,
erier
d
(

j
eterminer
)
!
(
Gr
j
ad
).
(
;
f
!
).
es
2.
dirig
S
sp
admet-elle
d'axes
des
orthogonales


tres
les
de
s
sym
2

,
etrie
s
?
)
3.
j;
D
(

orthonormale
eterminer
de
une

matrice
A

xM. Roger Exercices lyce´e A. Brizeux PC 2011-2012
Exercice 9
i
i
Exercice 10
i
i
Exercice 11
i
i
Exercice 12
i
i
IV. Pour aller plus loin
´Exercice 13 Matrices definies positives
M
M
Exercice 14
Exercice 15
R´eduction des endomorphismes sym´etriques
tout
)
eduire
=
.
1,
8
mon

trer
ee
que
que
A
est
est
existe
sem
esigne
blable
v
sur
P
R


trigonalisable
a
aleur
une
matrice
matrice
n
R
R

uten
=
p



(d)

(
sin
P


sin
trois

j

de

u
!
tier
p
C
our
est

AX
2
etrique
[0

;
et
2
.

p
[.

Si
u
en

outre
E
det(
a
A
base
)
R
=
u
1,

mon
son
trer

que

A
norm
est
n
sem-
x
blable
x
sur

R
trer

;
a
1.
une

matrice
n

(

est

n
sin
e

n
sin
Soit

une

e.

sym
!
ositiv
p
.
our


a
2
u
[0
our
;
E
2
u


[.
2
6.
est
Dans
que
le
(

de
n
dans
=

3,
propre
mon
eduire
trer
R
que
d
A

est
;u
sem
t
blable
passage
sur
0
C
et

)
a
unique
I
2
3
questions
,

I
3,
3
,
,
;
0
Æ
B
E

+
1
+
0
3.
0
Justier
0
orien
1
a)
0

0
)
0
v
1
v
1
est
C
Justier
A
erieur
,
p
0
Soit
B
v

4.
1
agonalisable
0
que
0
2
0
R
1
p
0
p
0
2
0
t
1
0.
1
2
C
R
A
sym
ou
p

trer
a
matrice
une
etrique
matrice
et
M
telle

=
=
Notons
0
les
B
as-

es
1
et
0
Justier
0
r
0
(b)
e
2
det(
u

d
0
s.e.p.
0
so
0

e
Justier
outre
tout

p
1
E
C
par
A
Mon
p
our
our
S

),
2
E


;
est
2
base

propres
[,
es
ou
v


a
d
une
existe
matrice
0
N
adapt

a
=
ecomp
0
=
B
S

)
1
laque-
0
r
0
(e)
0
matrice
e
la
en
a

Justier
0
U
0
R
0
diagonales.
e
d
Si
existe

R
1
t
C
U
A

p
des
our
Soit

orien
2
de

v
;
e,
2
,


[.
une
[.
ecessaire

p
2
f
;
E
[0
!
2
(

)
our
u
p
une
!
C
Soit
A
S
Dans
matrice
ectoriel
sym


3
etrique

r
toute


eelle
u;
,
E
(
u

=
`
^
)
(1)
1
mo

de
`
toute

2.
s

ses
sup
s
n
v
R
aleurs
2
pro-
un
pres
)
r
;

Si
eelles
.

sur
et
di-
(
A
d
Une
`
A
)
tes
1
(

)
`
dite

ositiv
s
si
les
our
dimensions
X
des
R
sous-
,

X


ondan
1.
ts.
U
Prouv
eden
er
(
que
)
:
matrice
T

r(
et
S
ositiv
2
Mon
)
qu'il
=
une
n
R
X

i
r
=1
eelle
n
p
X
e
j
que
=1
2
s
U
2
2.
ij
u
=
r
s
endomorphismes
X
t
`
so
=1

d

`
U

R
2
(a)
`
que
.
et


e
t.
0
P
0


S
e
(

),
=
;u


N
le
Soien
de
t
as-
p

et
e
q
a
deux
.
pro
que

our
orthogonaux

d'un
S

(
v
),
ec-
;u
toriel
stable
E
r
,
(c)
d
trer

p
emon
tout
trer
2
que
p
:
u
p
la
Æ
r
q
;u
=
r
0
a
,
;u
q
diagonalisable
Æ
une
p
de
=
ecteurs
0.
asso
ou

!


la
e
aleur
0
p
0
.

En
e


qu'il
=
une

B

de
eriser
n
les

endomorphismes

de
la
E


osition

n
ori-
M
en
2
t
p

A
e
E
de
dans
dimension
lle
3
et
don
son
t
diagonales.
la
Soit
matrice
la
dans
de
une
de
base
base
orthonor-

male
B

.
est
que
:
1

P
A
P
1
=
P
1
t
7
(f
0
En
B


qu'il
3
une
6
matrice
2
v
6
eri