Chapitre Exercices lycee A Brizeux PC
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Chapitre 13 Exercices lycee A. Brizeux PC 2011-2012 Reduction des endomorphismes symetriques I. Applications directes du cours Exercice 1 E espa e eu lidien de base orthonormale dire te (i; j; k) soit s 1 , s 2 , s 3 les symetries orthogonales (demi-tours) d'axes re- spe tifs diriges par ! i ; ! j ; ! k , determiner r = s 1 Æ s 2 Æ s 3 . Exercice 2 Dans R 3 , etudier les formes quadratiques q de matri e dans la base anonique A = 0 B 2 1 1 1 2 2 1 2 2 1 C A Exercice 3 Vrai ou faux : si P est une matri e orthogonale, alors P est inversible, et le al ul de P 1 ne ne essite au un al ul ( ni +, ni ). Exercice 4 Donner la nature et les elements ara teristiques des quadriques d'equation dans le repere eu lidien usuel de l'es- pa e : 1. x 2 + y 2 + z 2 + 2xy = 1 ; 2.
- matrices definies positives
- retournements d'axes orthogonaux
- reduction des endomorphismes symetriques
- os sin
- ve teur unitaire
- ommune de ve teurs
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Chapitre13 Exercices lyce´e A. Brizeux PC 2011-2012
R´eduction des endomorphismes sym´etriques
I. Applications directes du cours
Exercice 1 Exercice 4
Exercice 2
Exercice 5
Exercice 3
II. A savoir r´ediger
Exercice 6 Nature d’une quadrique Exercice 7
III. Exercices
Exercice 8 Produit scalaire dans un e.v.e et matrices
syme´triques
M
R´eduction des endomorphismes sym´etriques
A
3
,
y
j
+
x
4
(
z
D
2
=
v
0
k
;
y
3.
1
x
)
2
sym
3
(
xy
equation
+
A
y
Dans
2
scalaire
=
de
1
i
;
C
x
tout
4
eterminer
2
!
x
Ch.13
2.
;
;
1
x
=
A
xy
T
Donner
est
l'allure
1
des
quadratiques
ensem
1
bles
v
:
norme
E
e
1
)
=
2
f
=
(
1
X
;
i
Y
[1
;
x
Z
Y
)
pro
2
our
R
Y
3
ectifs
;
1
X
sym
2
8
4
R
Y
z
2
A
+
C
9
Z
de
2
S
=
alors
1
faux
g
2
E
2
dans
=
f
Æ
(
eterminer
X
Soit
;
uni
Y
,
;
ee,
Z
:
)
base
2
t
R
3
;
x
X
e
2
=1
4
B
Y
x
2
=
9
.
Z
1.
2
>
=
j
1
℄
g
r
E
.
3
=
(
f
j
(
sp
X
R
;
n
Y
que
;
X
Z
par
)
(demi-tours)
2
,
R
k
3
;
etrique
X
telle
2
x;
+
)
4
;
Y
y
2
=
+
z
9
B
Z
z
2
4.
=
En
1
une
g
2
.
+
l'allure
2
et
z
est
+
matrice
2
si
y
rai
+
1
2
2
x
1
1.
0
:
base
de
l'es-
les
de
3
usuel
3
s
ere
=
d
rep
;
le
un
dans
equation
pro
j
d'
k
quadriques
des
B
eristiques
1
:
)
ts
emen
.
x
el
;
les
)
et
nature
n
la
n
Donner
x
).
,
X
ni
j
+,
=
ni
(
.
1
Soit
et
q
B
:
1
R
y
3
C
!
<
R
e
;
p
(
i
x;
2
y
n
;
.
z
eterminer
)
eel
7
y
!
D
2
matrice
x
t
2
On
+
j
y
<
2
>
2
scalaire
y
t
3
1
4
4.
xy
2
4
R
y
z
AX
+
=
2
AY
xz
i
.
1.
re-
Justier
etries
que
3
p
s
our
soit
S
i;
=
base
0
E
B
r
2
eelle
2
que
1
(
2
y
1
z
2
2
1
3
2
f
2
x;
1
;
C
)
A
on
y
a
:
0
8
(
y
x;
1
y
A
;
Diagonaliser
z
5.
)
d
2
eduire
R
3
r
;
eduite
f
S
(
6.
x;
y
de
;
.
z
ersible,
)
in
=
P
orthogonale,
x
une
y
P
z
:
ou
S
V
0
C
B
2
1
1/3
2
y
1
z
2
1
B
C
=
A
2.
la
Mon
matrice
trer
q
que
formes
S
etudier
admet
,
p
R
our
.
v
s
aleurs
2
propres
Æ
3
s
et
r
3
de
,
m
!
ultiplicit
j
E
e
resp
ectoriel
ectiv
m
es
du
1
duit
et
<
2
>
3.
k
Donner
la
la
asso
nature
de
et
la
=
quadrique
e
Q
;
d'
:
;
equation
n
une
orthonorm
esienne
ee
q
E
(
Soien
x;
(
y
i
;
1
z
i
)
n
=
(
1.
j
ecessite
1
j
n
n
ne
R
1
,
P
=
de
X
=1
le
i
Soien
i
t
y
k
n
>
j
0
y
x
e
X
e
0
et
B
S
x
la
.
surface
.
d'
n
C
equation
A
Y
0
esienne
B
:
y
(
.
x
.
y
n
)
C
2
A
+
Calculer
(
e
y
j
z
j
)
,
2
our
+
(
(
;
z
)
x
[
)
;
2
℄
=
2
k
2.
.
1.
le
En
p
<
osan
j
t
>
f
3.
:
(
la
x;
1
y
1
;
X
z
.
)
notera
7
X
!
Y
(
=
x
x
y
y
)
le
2
duit
+
(
ondan
y
sur
z
n;
)
(
2
).
+
P
(
A
z
S
x
(
)
)
2
v
,
erier
d
(
j
eterminer
)
!
(
Gr
j
ad
).
(
;
f
!
).
es
2.
dirig
S
sp
admet-elle
d'axes
des
orthogonales
tres
les
de
s
sym
2
,
etrie
s
?
)
3.
j;
D
(
orthonormale
eterminer
de
une
matrice
A
xM. Roger Exercices lyce´e A. Brizeux PC 2011-2012
Exercice 9
i
i
Exercice 10
i
i
Exercice 11
i
i
Exercice 12
i
i
IV. Pour aller plus loin
´Exercice 13 Matrices definies positives
M
M
Exercice 14
Exercice 15
R´eduction des endomorphismes sym´etriques
tout
)
eduire
=
.
1,
8
mon
trer
ee
que
que
A
est
est
existe
sem
esigne
blable
v
sur
P
R
trigonalisable
a
aleur
une
matrice
matrice
n
R
R
uten
=
p
(d)
(
sin
P
sin
trois
j
de
u
!
tier
p
C
our
est
AX
2
etrique
[0
;
et
2
.
p
[.
Si
u
en
outre
E
det(
a
A
base
)
R
=
u
1,
mon
son
trer
que
A
norm
est
n
sem-
x
blable
x
sur
R
trer
;
a
1.
une
matrice
n
(
est
n
sin
e
n
sin
Soit
une
e.
sym
!
ositiv
p
.
our
a
2
u
[0
our
;
E
2
u
[.
2
6.
est
Dans
que
le
(
de
n
dans
=
3,
propre
mon
eduire
trer
R
que
d
A
est
;u
sem
t
blable
passage
sur
0
C
et
)
a
unique
I
2
3
questions
,
I
3,
3
,
,
;
0
Æ
B
E
+
1
+
0
3.
0
Justier
0
orien
1
a)
0
0
)
0
v
1
v
1
est
C
Justier
A
erieur
,
p
0
Soit
B
v
4.
1
agonalisable
0
que
0
2
0
R
1
p
0
p
0
2
0
t
1
0.
1
2
C
R
A
sym
ou
p
trer
a
matrice
une
etrique
matrice
et
M
telle
=
=
Notons
0
les
B
as-
es
1
et
0
Justier
0
r
0
(b)
e
2
det(
u
d
0
s.e.p.
0
so
0
e
Justier
outre
tout
p
1
E
C
par
A
Mon
p
our
our
S
),
2
E
℄
;
est
2
base
propres
[,
es
ou
