Corrig du DS 1er Avril
4
pages
Français
Documents scolaires
2006
Obtenez un accès à la bibliothèque pour le consulter en ligne En savoir plus
Découvre YouScribe et accède à tout notre catalogue !
Découvre YouScribe et accède à tout notre catalogue !
4
pages
Français
Documents scolaires
2006
Obtenez un accès à la bibliothèque pour le consulter en ligne En savoir plus
Niveau: Secondaire, Lycée, Première
Mathematiques 218 Corrig du DS (1er Avril 2006) Exercice 1 • L'implication “limn?∞ un = 0 =? la serie converge” est FAUSSE. On sait bien que pour avoir convergence de la serie de terme general un, il est necessaire que limn?∞ un = 0 mais que cela ne suffit pas. (Sinon l' etude des series numeriques se reduirait a celle des suites tendant vers 0!!!!!). Ainsi 1/n ? 0 quand n ? ∞ mais limN?∞∑N1 1n = ∞ comme on peut le voir en comparant cette somme a une integrale. • L'implication “La serie de terme general un converge =? la serie de terme general |un| converge egalement” est FAUSSE. Il suffit de considerer la serie harmonique, de terme general un = (?1) n n ; elle converge par le critere special des series alternes, mais |un| = 1n est le terme general d'une serie divergente (cf ci-dessus). • L'implication “La serie de terme general un ≥ 0 converge =? la serie de terme general u2n converge egalement” est VRAIE et demande une demonstration. Si la serie de terme general un converge, limn?∞ un = 0 et la suite un est borne : il existe M > 0 tel que 0 ≤ un ≤ M ; ainsi 0 ≤ u2n ≤ Mun et la serie de terme general u2n converge par le critere de comparaison pour les series a termes positifs.
Voir
Mathematiques 218 Corrig du DS (1er Avril 2006) Exercice 1 • L'implication “limn?∞ un = 0 =? la serie converge” est FAUSSE. On sait bien que pour avoir convergence de la serie de terme general un, il est necessaire que limn?∞ un = 0 mais que cela ne suffit pas. (Sinon l' etude des series numeriques se reduirait a celle des suites tendant vers 0!!!!!). Ainsi 1/n ? 0 quand n ? ∞ mais limN?∞∑N1 1n = ∞ comme on peut le voir en comparant cette somme a une integrale. • L'implication “La serie de terme general un converge =? la serie de terme general |un| converge egalement” est FAUSSE. Il suffit de considerer la serie harmonique, de terme general un = (?1) n n ; elle converge par le critere special des series alternes, mais |un| = 1n est le terme general d'une serie divergente (cf ci-dessus). • L'implication “La serie de terme general un ≥ 0 converge =? la serie de terme general u2n converge egalement” est VRAIE et demande une demonstration. Si la serie de terme general un converge, limn?∞ un = 0 et la suite un est borne : il existe M > 0 tel que 0 ≤ un ≤ M ; ainsi 0 ≤ u2n ≤ Mun et la serie de terme general u2n converge par le critere de comparaison pour les series a termes positifs.
- interet de l'identite de parseval
- serie entiere
- critere
- serie
- convergence absolue de la serie
- critere pour la convergence des series alternees
- developpement en serie entiere
- rayon de convergence
Mathematiques218
Corrig du DS (1er Avril 2006)
Exercice 1 L’implication “limn→∞un= 0 =⇒SEUSFAstla.eiocsreege”vnre Onsaitbienquepouravoirconvergencedelaseriedetermegeneralun, il estnecessairequelimn→∞unlenauqceamsi0=nonl.(Sitpasesuedute’ desseriesnumeriquessereduiraitacelledessuitestendantvers0!!!!!).Ainsi P N1 n 1/n→0 quandn→ ∞mais limN→∞1=∞comme on peut le voir e n comparantcettesommeauneintegrale. edrieret“Loneasilpmitaci’Larlemgneeunconverge =⇒aseriedel termegeneral|un|alegergveoncSS.EFtUA”tsemene n (1) Ilsutdeconsidererlaserieharmonique,determegeneralunelle= ; n 1 convergeparlecriterespecialdesseriesalternes,mais|un|= estle terme n generald’uneseriedivergente(cfci-dessus). acilpmi’Letedrieas“Lontiearlreemgneun0 converge =⇒la 2 seriedetermegeneralunamedteEenuednetrmnevleeggeaAIVRscto”e n demonstration. Silaseriedetermegeneralunconverge, limn→∞un= 0 et la suiteunest 2 e 0uM; ainsi 0u borne:ilexisteM >0 tel qun nM unet la 2 seriedetermegeneraluarlergeponvecesrlsoaiounpocedrapmtircere n seriesatermespositifs.(Anoterquelareciproqueestfausse–parexemple 3/2 un=nitedentel’iˆetdla).srveedaPc’ettces–ni’lretiuqetiaf Exercice 2 n n1 un= sin(2), nterme est0. Ce0 puisque 02, et n+1n+1 2 n limn→∞2ocpmeredossnraiaormeousf=nO.0tuepcnodiluteriscrleeit n+1 n1 d’equivalents:puisquesinuulorsqueu→0 et2quandn→ ∞, n+1n on a 1 1 unsin(n→ ∞). n n Laseriedetermegeneralunmretedeiresaleuequratenemmˆdestealnerege 1 cad DIVERGENTE. n
