Corrig du DS 1er Avril
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Description

Niveau: Secondaire, Lycée, Première
Mathematiques 218 Corrig du DS (1er Avril 2006) Exercice 1 • L'implication “limn?∞ un = 0 =? la serie converge” est FAUSSE. On sait bien que pour avoir convergence de la serie de terme general un, il est necessaire que limn?∞ un = 0 mais que cela ne suffit pas. (Sinon l' etude des series numeriques se reduirait a celle des suites tendant vers 0!!!!!). Ainsi 1/n ? 0 quand n ? ∞ mais limN?∞∑N1 1n = ∞ comme on peut le voir en comparant cette somme a une integrale. • L'implication “La serie de terme general un converge =? la serie de terme general |un| converge egalement” est FAUSSE. Il suffit de considerer la serie harmonique, de terme general un = (?1) n n ; elle converge par le critere special des series alternes, mais |un| = 1n est le terme general d'une serie divergente (cf ci-dessus). • L'implication “La serie de terme general un ≥ 0 converge =? la serie de terme general u2n converge egalement” est VRAIE et demande une demonstration. Si la serie de terme general un converge, limn?∞ un = 0 et la suite un est borne : il existe M > 0 tel que 0 ≤ un ≤ M ; ainsi 0 ≤ u2n ≤ Mun et la serie de terme general u2n converge par le critere de comparaison pour les series a termes positifs.

  • interet de l'identite de parseval

  • serie entiere

  • critere

  • serie

  • convergence absolue de la serie

  • critere pour la convergence des series alternees

  • developpement en serie entiere

  • rayon de convergence


Sujets

Informations

Publié par
Date de parution 01 avril 2006
Nombre de lectures 45
Langue Français

Exrait

Mathematiques218
Corrig du DS (1er Avril 2006)
Exercice 1 L’implication “limn→∞un= 0 =SEUSFAstla.eiocsreegevnre Onsaitbienquepouravoirconvergencedelaseriedetermegeneralun, il estnecessairequelimn→∞unlenauqceamsi0=nonl.(Sitpasesuedutedesseriesnumeriquessereduiraitacelledessuitestendantvers0!!!!!).Ainsi P N1 n 1/n0 quandn→ ∞mais limN→∞1=comme on peut le voir e n comparantcettesommeauneintegrale. edrieretLoneasilpmitaciLarlemgneeunconverge =aseriedel termegeneral|un|alegergveoncSS.EFtUAtsemene n (1) Ilsutdeconsidererlaserieharmonique,determegeneralunelle= ; n 1 convergeparlecriterespecialdesseriesalternes,mais|un|= estle terme n generalduneseriedivergente(cfci-dessus). acilpmiLetedrieasLontiearlreemgneun0 converge =la 2 seriedetermegeneralunamedteEenuednetrmnevleeggeaAIVRsctoe n demonstration. Silaseriedetermegeneralunconverge, limn→∞un= 0 et la suiteunest 2 e 0uM; ainsi 0u borne:ilexisteM >0 tel qun nM unet la 2 seriedetermegeneraluarlergeponvecesrlsoaiounpocedrapmtirceren seriesatermespositifs.(Anoterquelareciproqueestfausseparexemple 3/2 un=nitedenteliˆetdla).srveedaPcettcesnilretiuqetiaf Exercice 2 n n1 un= sin(2), nterme est0. Ce0 puisque 02, et n+1n+1 2 n limn→∞2ocpmeredossnraiaormeousf=nO.0tuepcnodiluteriscrleeit n+1 n1 dequivalents:puisquesinuulorsqueu0 et2quandn→ ∞, n+1n on a 1 1 unsin(n→ ∞). n n Laseriedetermegeneralunmretedeiresaleuequratenemmˆdestealnerege 1 cad DIVERGENTE. n
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