Corrig du DS 1er Avril

Niveau: Secondaire, Lycée, PremièreMathematiques 218 Corrig du DS (1er Avril 2006) Exercice 1 • L'implication “limn?∞ un = 0 =? la serie converge” est FAUSSE. On sait bien que pour avoir convergence de la serie de terme general un, il est necessaire que limn?∞ un = 0 mais que cela ne suffit pas. (Sinon l' etude des series numeriques se reduirait a celle des suites tendant vers 0!!!!!). Ainsi 1/n ? 0 quand n ? ∞ mais limN?∞∑N1 1n = ∞ comme on peut le voir en comparant cette somme a une integrale. • L'implication “La serie de terme general un converge =? la serie de terme general |un| converge egalement” est FAUSSE. Il suffit de considerer la serie harmonique, de terme general un = (?1) n n ; elle converge par le critere special des series alternes, mais |un| = 1n est le terme general d'une serie divergente (cf ci-dessus). • L'implication “La serie de terme general un ≥ 0 converge =? la serie de terme general u2n converge egalement” est VRAIE et demande une demonstration. Si la serie de terme general un converge, limn?∞ un = 0 et la suite un est borne : il existe M > 0 tel que 0 ≤ un ≤ M ; ainsi 0 ≤ u2n ≤ Mun et la serie de terme general u2n converge par le critere de comparaison pour les series a termes positifs.interet de l'identite de parseval serie entiere critere serie convergence absolue de la serie critere pour la convergence des series alternees developpement en serie entiere rayon de convergence