Corrig du DS 1er Avril

Description

Niveau: Secondaire, Lycée, Première
Mathematiques 218 Corrig du DS (1er Avril 2006) Exercice 1 • L'implication “limn?∞ un = 0 =? la serie converge” est FAUSSE. On sait bien que pour avoir convergence de la serie de terme general un, il est necessaire que limn?∞ un = 0 mais que cela ne suffit pas. (Sinon l' etude des series numeriques se reduirait a celle des suites tendant vers 0!!!!!). Ainsi 1/n ? 0 quand n ? ∞ mais limN?∞∑N1 1n = ∞ comme on peut le voir en comparant cette somme a une integrale. • L'implication “La serie de terme general un converge =? la serie de terme general |un| converge egalement” est FAUSSE. Il suffit de considerer la serie harmonique, de terme general un = (?1) n n ; elle converge par le critere special des series alternes, mais |un| = 1n est le terme general d'une serie divergente (cf ci-dessus). • L'implication “La serie de terme general un ≥ 0 converge =? la serie de terme general u2n converge egalement” est VRAIE et demande une demonstration. Si la serie de terme general un converge, limn?∞ un = 0 et la suite un est borne : il existe M > 0 tel que 0 ≤ un ≤ M ; ainsi 0 ≤ u2n ≤ Mun et la serie de terme general u2n converge par le critere de comparaison pour les series a termes positifs.

• interet de l'identite de parseval


• serie entiere


• critere


• serie


• convergence absolue de la serie


• critere pour la convergence des series alternees


• developpement en serie entiere


• rayon de convergence

Sujets

• Première
• Mathématiques
• Série entière
• Rayon de convergence

Informations

• Publié par: profil-ondu-2012
• Date de parution: 01 avril 2006
• Nombre de lectures: 32
• Langue: Français

Extrait

Mathematiques218

Corrig du DS (1er Avril 2006)

Exercice 1 L’implication “lim n→∞ u n = 0 =⇒SEUSFAstla.eiocsreege”vnre Onsaitbienquepouravoirconvergencedelaseriedetermegeneralu n , il estnecessairequelim n→∞ u n lenauqceamsi0=nonl.(Sitpasesuedute’ desseriesnumeriquessereduiraitacelledessuitestendantvers0!!!!!).Ainsi P N 1 n 1/n→0 quandn→ ∞mais lim N→∞ 1 =∞comme on peut le voir e n comparantcettesommeauneintegrale. edrieret“Loneasilpmitaci’Larlemgneeu n converge =⇒aseriedel termegeneral|u n |alegergveoncSS.EFtUA”tsemene n (1) Ilsutdeconsidererlaserieharmonique,determegeneralu n elle= ; n 1 convergeparlecriterespecialdesseriesalternes,mais|u n |= estle terme n generald’uneseriedivergente(cfci-dessus). acilpmi’Letedrieas“Lontiearlreemgneu n 0 converge =⇒la 2 seriedetermegeneralunamedteEenuednetrmnevleeggeaAIVRscto”e n demonstration. Silaseriedetermegeneralu n converge, lim n→∞ u n = 0 et la suiteu n est 2 e 0uM; ainsi 0u borne:ilexisteM >0 tel qu n n M u n et la 2 seriedetermegeneraluarlergeponvecesrlsoaiounpocedrapmtircere n seriesatermespositifs.(Anoterquelareciproqueestfausse–parexemple 3/2 u n =nitedentel’iˆetdla).srveedaPc’ettces–ni’lretiuqetiaf Exercice 2 n n1 u n = sin( 2 ), nterme est0. Ce0 puisque 0 2 , et n+1n+1 2 n lim n→∞ 2 ocpmeredossnraiaormeousf=nO.0tuepcnodiluteriscrleeit n+1 n1 d’equivalents:puisquesinuulorsqueu→0 et 2 quandn→ ∞, n+1n on a 1 1 u n sin(n→ ∞). n n Laseriedetermegeneralu n mretedeiresaleuequratenemmˆdestealnerege 1 cad DIVERGENTE. n