COURS DE MATHEMATIQUES
65 pages
Français
Le téléchargement nécessite un accès à la bibliothèque YouScribe
Tout savoir sur nos offres

COURS DE MATHEMATIQUES

Le téléchargement nécessite un accès à la bibliothèque YouScribe
Tout savoir sur nos offres
65 pages
Français

Description

Classe de Seconde, Secondaire - Lycée, 2nde
  • revision - matière potentielle : collège
  • cours - matière potentielle : ce
COURS DE MATHEMATIQUES Classe de Seconde Pierre Louison Thomas Jourdan Année 2011 − 2012 Ly cée Jean Moulin Albertville
  • equation quotient
  • exercices des devoirs en classe
  • logiciel de géométrie dynamique
  • calculs algébriques
  • calcul algébrique
  • pourcentages
  • pourcentage
  • géométrie dans l'espace
  • intervalle
  • intervalles
  • droite
  • droites
  • représentation graphique
  • représentations graphiques
  • réels
  • réel
  • réelle
  • réelles

Sujets

Informations

Publié par
Nombre de lectures 404
Langue Français

Exrait

n
i
l
u
o
A
M
l
b
e
n
r
COURS
DE
MATHEMATIQUES
Classe de Seconde
Pierre Louison
Année 2011− 2012
Thomas Jourdan
a
t
e
v
J
i
l
e
l
e
é
c
y
L5 Probabilités 19Sommaire
1 – Pour commencer, on joue aux dés ! . . . . 19
2 – Simulation . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3 – Algobox . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191 – Le cours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
4 – Simulation du lancer d’un dé et d’autres
2 – Devoirs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
expériences simples . . . . . . . . . . . . 20
3 – Logiciels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
5 – Pour aller plus loin, quelques instructions
nécessaires . . . . . . . . . . . . . . . . . 201 Ensembles de nombres 4
6 – Loi des grands nombres . . . . . . . . . . 21
1 – Les nombres . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
6.1 Simulation de cent lancers d’un dé 21
1.1 Ensemble de nombres . . . . . . . 4
6.2 Simulation de l’obtention d’un
1.2 Intervalles . . . . . . . . . . . . . 5
grand nombre de lancers et évo-
2 – Calcul algébrique . . . . . . . . . . . . . . 6
lution des fréquences successives 21
2.1 Calcul fractionnaire . . . . . . . . 6
7 – Loi de probabilité . . . . . . . . . . . . . . 21
2.2 Racines . . . . . . . . . . . . . . . 6
8 – Probabilité d’un événement . . . . . . . . 22
2.3 Puissances . . . . . . . . . . . . . 6 9 – Plus compliqué ! . . . . . . . . . . . . . . 22
2.4 Calcul algébrique, développe-
ments et factorisations . . . . . . 7 6 Généralités sur les fonctions 24
3 – Ecriture décimale d’un réel . . . . . . . . 7 1 – Une première approche . . . . . . . . . . 24
1.1 Dans le langage . . . . . . . . . . 243.1 Ecriture décimale . . . . . . . . . 7
1.2 Température en fonction de l’heure 243.2 Valeurs approchées, arrondis . . . 7
1.3 Aire d’un pentagone . . . . . . . 253.3 Ecriture scientifique . . . . . . . . 7
2 – Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.1 Définition . . . . . . . . . . . . . 252 Quelques rappels sur les pourcentages 9
3 – Représentation graphique d’une fonction 261 – Part en pourcentage . . . . . . . . . . . . . 10
3.1 Définition . . . . . . . . . . . . . 262 – Evolution en pourcentage . . . . . . . . . 10
3.2 Résolution graphique d’équations 28
3 Equations 12
7 Vecteurs et repérage 29
1 – Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1 – Vecteurs du plan . . . . . . . . . . . . . . 29
2 – Plusieurs types d’équations . . . . . . . . 12
2 – Addition de deux vecteurs . . . . . . . . . 30
3 – Propriétés des égalités . . . . . . . . . . . 12
3 – Vecteurs colinéaires . . . . . . . . . . . . 31
4 – En conclusion, pour résoudre une équa-
3.1 Multiplication d’un vecteur par
tion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
un réel . . . . . . . . . . . . . . . 31
4.1 Equation du premier degré . . . . 13
3.2 Vecteurs colinéaires . . . . . . . . 31
4.2 Equation du second degré (ou plus !) 13 3.3 Application de la colinéarité . . . 31
4.3 Equation quotient . . . . . . . . . 13 4 – Repérage dans le plan . . . . . . . . . . . 32
4.1 Bases et repère . . . . . . . . . . . 32
4 Statistiques 14
4.2 Calcul sur les coordonnées . . . . 33
1 – Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.1 Objet de la statistique . . . . . . . 14 8 Equations de droites et fonctions affines 34
1.2 Vocabulaire . . . . . . . . . . . . 14 1 – Fonctions linéaire et affines . . . . . . . . 34
1.1 Exemple . . . . . . . . . . . . . . 342 – Etude d’un caractère qualitatif . . . . . . 14
1.2 Définition . . . . . . . . . . . . . 342.1 Classement des données . . . . . 14
2 – Equations de droites . . . . . . . . . . . . 342.2 Représentation graphique . . . . . 15
3 – Courbe représentative d’une fonction li-3 – Etude d’un caractère quantitatif discret . 16
néaire ou affine . . . . . . . . . . . . . . . 353.1 Classement des données . . . . . 16
4 – Systèmes d’équations linéaires . . . . . . 36
3.2 Représentation graphique . . . . . 16
3.3 Indicateurs de position . . . . . . 16
9 Inégalités, variations d’une fonction 37
3.4 Indicateurs de dispersion . . . . . 17 1 – Ordre et comparaison . . . . . . . . . . . 37
4 – Etude d’un caractère quantitatif continu . 17 2 – Inégalités et inéquations . . . . . . . . . . 37
4.1 Classement des données . . . . . 17 2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . 37
4.2 Représentation graphique . . . . . 18 2.2 Propriétés des inégalités . . . . . 37
4.3 Moyenne . . . . . . . . . . . . . . 18 3 – Inéquations . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
4.4 Classe modale . . . . . . . . . . . 18 3.1 Inéquation du premier degré . . . 38
4.5 Médiane . . . . . . . . . . . . . . 18 3.2 Signe de ax+b,a non nul . . . . 38
Sommaire2
3.3 Signe d’un produit . . . . . . . . 39 2 – Angles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.4 Signe d’un quotient . . . . . . . . 39 2.1 Angles et droites . . . . . . . . . . 51
3.5 Résolution graphique d’inéquation 39 2.2 Angles inscrits, angles au centre . 52
4 – Variations d’une fonction . . . . . . . . . 40 3 – Triangles isométriques, triangles semblables 52
4.1 Définition . . . . . . . . . . . . . 40 3.1 Triangles isométriques . . . . . . 52
3.2 Triangles semblables . . . . . . . 53
10 Fonctions de référence 42
1 – Fonctions linéaires et affines . . . . . . . 42
14 Géométrie dans l’espace, parallélisme 54
2 – La fonction carré . . . . . . . . . . . . . . 42
1 – Règles de bases . . . . . . . . . . . . . . . 54
2.1 Définition et variations . . . . . . 42
2 – Détermination d’un plan . . . . . . . . . . 54
2.2 Tableau de variation . . . . . . . 42
3 – Parallélisme dans l’espace . . . . . . . . . 54
3 – Fonctions polynômes du second degré . . 42
4 – Position relative de deux droites . . . . . 55
4 – La fonction inverse . . . . . . . . . . . . . 43
5 – Position relative d’une droite et d’un plan 55
4.1 Définition et variations . . . . . . 43
6 – Position relative de deux plans . . . . . . 56
4.2 Tableau de variation . . . . . . . 43
5 – Fonctions homographiques . . . . . . . . 43
15 Trigonométrie 57
6 – La fonction cube . . . . . . . . . . . . . . 44
1 – Rappels de trigonométrie . . . . . . . . . 57
6.1 Une nouvelle identité remarquable ! 44
2 – Cercle trigonométrique et radians . . . . . 57
6.2 Définition et variations . . . . . . 44
2.1 Radian . . . . . . . . . . . . . . . 57
6.3 Tableau de variation et courbe re-
2.2 Cercle trigonométrique . . . . . . 57présentative . . . . . . . . . . . . 44
2.3 Cercle trigonométrique et trigo-7 – La fonction racine . . . . . . . . . . . . . 44
nométrie . . . . . . . . . . . . . . 58
3 – Liens entre droite réelle et cercle trigono-11 Configurations usuelles de géométrie plane
métrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58(Partie A) 45
1 – Quadrilatères particuliers . . . . . . . . . 45 4 – Cosinus et sinus d’un réel . . . . . . . . . 59
1.1 Parallélogrammes . . . . . . . . . 45 5 – Fonctions cosinus et sinus . . . . . . . . . 59h iπ
1.2 Rectangle . . . . . . . . . . . . . . 45 5.1 Variation sur 0; . . . . . . . . 59
2
1.3 Losange . . . . . . . . . . . . . . 45 5.2 Parité et périodicité . . . . . . . . 60
1.4 Carré . . . . . . . . . . . . . . . . 46 6 – Pour finir, un joli cercle trigonométrique . 60
2 – Droites remarquables . . . . . . . . . . . 46
2.1 Médiatrice . . . . . . . . . . . . . 46 16 Géométrie dans l’espace, orthogonalité 61
2.2 Bissectrice . . . . . . . . . . . . . 46 1 – Droites orthogonales . . . . . . . . . . . . 61
2.3 Autres droites remarquables du
2 – Droites et plans perpendiculaires . . . . . 61
triangle . . . . . . . . . . . . . . . 46
3 – Plans perpendiculaires . . . . . . . . . . . 62
3 – Théorèmes de Pythagore et de Thalès . . 47
3.1 Théorèmes de Pythagore et sa ré- 17 Fluctuation d’échantillonage, simulation 63
ciproque (−580 à−500) . . . . . 47
1 – Echantillonage . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.2 Théorème de Thalès (−627 à−547) 47
2 – Simulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
2.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
12 Géométrie dans l’espace, introduction 48
2.2 Simulation d’un dé avec un tableur 64
3 – Exemple de simulation d’un jeu . . . . . 6413 Configurations usuelles de géométrie plane
3.1 Un première étude expérimentale 64(Partie B) 50
1 – Transformations usuelles . . . . . . . . . 50 3.2 Une simulation . . . . . . . . . . 65
Année 2011 – 2012Seconde – chapitre 0 3
Quelques avertissements et informations!
1–Le cours
Ce cours dépasse légèrement le programme de seconde de cette année. Je me suis permis de conserver certaines sections
qui ne sont plus au programme mais qui peuvent être utiles à des élèves susceptibles de faire des études scientifiques. Ces
sections seront indiquées lors de l’avancement du programme.
Ce cours contient également des révisions de collège qui pourront être utiles pour les devoirs à la maison.
2–Devoirs
Les exercices des devoirs en classe seront inspirés des exemples du cours, des exercices faits en classe et des exercices des
devoirs à la maison. Il est donc indispensable de conserver les sujets et corrections de ces devoirs pour préparer les devoirs
en classe.
3–Logiciels
L’informatique permet de visualiser et ainsi de mieux comprendre certains chapitres du cours.
Les logiciels suivants sont libres, gratuits et téléchargeables sur Internet, de plus ils sont multiplateformes (Linux, Mac et
Windows). Vous pouvez les installer en toute légalité.
– GeoGebra, logiciel de géométrie dynamique tout à fait agréable.
http://www.geogebra.org/cms/
– Tableur Open Office :
http://fr.openoffice.org/about-downloads.html
– AlgoBox, logiciel permettant d’écrire des algorithmes simples de façon efficace.http://www.xm1math.net/algobox/
download.html
– Xcas : Logiciel de calcul formel, d’un abord un peu rébarbatif mais extrêmement puissant, pouvant tout faire (ou presque !),
« véritable couteau suisse des Mathématiques».
http://www-fourier.ujf-grenoble.fr/~parisse/giac_fr.html
– Le site du lycée :
Année 2011 – 2012b
b
b
b
b
b
b
Ensembles de nombres 1
1–Les nombres
1.1 Ensemble de nombres
• N={0 ; 1 ; 2 ; 3 ; ...} est l’ensemble des entiers naturels.
• Z={... ; −3 ; −2 ; −1 ; 0 ; 1 ; 2 ; ...} est l’ensemble des entiers relatifs.
• D={... ; −3,1 ; ... ; −2 ; ... ; −1 ; 0 ; 1 ; 2 ; 2,546 ; ...} est l’ensemble des nombres décimaux.
Ce sont les nombres qui ont un nombre fini de chiffre après la virgule.½ ¾
2 5
• Q= 0 ; 1 ; 2 ; ; − ; ... est l’ensemble des nombres rationnels.
3 7
Ce sont les nombres pouvant s’ecrire sous la forme d’une fraction de nombres entiers.½ ¾
p p5 13
• R= 0 ; 1 ; 2 ; ; − ; 2 ; − 13 ; π ; −2π ; ... est l’ensemble des nombres réels, ce sont tous les nombres mesurant
7 3
une longueur et leurs opposés.
Définition 1 . 1
Soit une droite (D) et deux points O et I de (D). A chaque point M de (D), on associe son abscisse dans le repère (O,I).
Les nombres réels sont les abscisses de tous les points de la droite.
B I D A C
p
5,52−9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Définition 1 . 2
+• L’ensemble des réels positifs est notéR .

• L’ensemble des réels non nuls est notéR .
+∗• L’ensemble des réels strictement positifs est notéR .
Définition 1 . 3
• 11∈N se lit« 11 appartient àN» ou« 11 est un élément deN».
• 1,1∉N se lit« 1,1 n’appartient pas àN» ou« 1,1 n’est pas un élément deN».
• N est inclus dansZ, on noteN⊂Z.
• De la même façon,Z⊂D,D⊂Q etQ⊂R.
R
Q
D
0,333...Z
On peut résumer les inclusions
1045 N
successives des ensembles de π−7839 25,9465
nombres, à l’aide du schéma ci-
4
contre : 0
−7
−0,007 5

p7
− 7Seconde – chapitre 1 5
1.2 Intervalles
Définition 1 . 4
Soit a etb deux nombres réels tels que a6b (c’est-à-dire a est inférieur ou égal àb), on appelle :
• intervalle fermé a;b , l’ensemble des réels x tels que a6x6b ;[ ]
• intervalle ouvert ]a;b[, l’ensemble des réels x tels que a<x<b ;
• intervalle ouvert ]−∞;a[, l’ensemble des réels x tels que x<a ;
• intervalle ouvert ]a;+∞[, l’ensemble des réels x tels que x>a.
• On peut définir l’intervalle [a;b[, c’est l’ensemble des réels x tels que a6x<b.
• R est l’intervalle ]−∞;+∞[.
– Un intervalle est toujours ouvert en−∞ et en+∞.
Exemple 1 – Completer le tableau ci-dessous :
Intervalles Représentation géométrique Description
[−2;3] −26x63−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4
]−2;3[ −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4
−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4
x6−2−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4
]3;+∞[ −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4
−2<x63−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4
[−2;3[ −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4
Définition 1 . 5
Soit a etb deux réels tels que a6b et soit l’intervalle [a;b] :
a+b
• le centre ou le milieu de l’intervalle est le nombre
2
b−a
• la longueur de l’intervalle est le réelb−a et le rayon est donné par .
2
Définition 1 . 6
L’intersection de deux intervalles est l’ensemble des nombres réels appartenant à un intervalle et à l’autre.
Exemples 2 –
• Déterminer [−3;2]∩]0;4].
• Déterminer ]−3;1[∩]2;+∞[ et [−5;5]∩[−2;1].
Définition 1 . 7
La réunion de deux intervalles est l’ensemble des nombres réels appartenant au moins à l’un des deux intervalles.
Exemples 3 –
• Déterminer −3;2 ∪ 0;4 .[ ] ] ]
• Déterminer ]−3;1[∪]2;+∞[ et [−5;5]∪[−2;1].
Attention : La réunion de deux intervalles n’est pas toujours un intervalle : ]−2;1]∪[3;7[.
Année 2011 – 2012Seconde – chapitre 1 6
2–Calcul algébrique
2.1 Calcul fractionnaire
Par rapport au rectangle ci-contre :
– Que représente un petit carré, une ligne, une colonne ?
– Que représente le quart d’une colonne, le tiers d’une ligne ?
– Que représente la somme d’une ligne et d’une colonne ?
Propriété 2 . 1
Soit a,b etc trois réels tels queb =0 etc =0, alors :
a
a aa×c c
• = • =
b×c bb b
c
Propriété 2 . 2
Soit a,b etc trois réels tels queb =0, alors :
a c a−ca c a+c
• − =• + =
b b b b b b
Propriété 2 . 3
Soit a,b,c etd quatre réels tels queb =0 etd =0, alors :
a ac a c ac
• ×c= • × =
b b b d bd
Propriété 2 . 4
Soit a,b,c etd quatre réels tels queb =0 etd =0, alors :
1 b a c a d
• = • : = ×a a b d b c
b
2.2 Racines
Définition 2 . 1 p
Soit x un réel positif (donc pouvant être nul), on appelle racine carrée de x le nombre positif, noté x, dont le carré est
x.
Propriétés 2 . 5
si a>0 etb>0, alors :
p p r p¡ ¢ pp 2 a a• a×b= a× b• a =a
• =p sib =0
b bp pp
Attention, en général, a+b = a+ b.
2.3 Puissances
Définition 2 . 2
m
• Soit a un réel etm un entier naturel non nul, alors : a =a×a×a...×a| {z }
m facteurs
0
• Soit a un réel non nul, a =1
1−m
• Soit a un réel non nul etm un entier naturel, alors : a =
ma
Année 2011 – 2012Seconde – chapitre 1 7
Propriétés 2 . 6
Soit a etb deux réels non nuls, m et p deux entiers relatifs, alors :
³ ´ mmm p m+p a a• a ×a =a
• =
mm m m b b• (a×b) =a ×b mam p m×p m−p• (a ) =a • =a
pa
Propriétés 2 . 7 (puissances de 10)
Sim est un entier positif, alors :
m −m• 10 =1 0...0 ; • 10 =0, 0...01 .|{z} |{z}
m zéro m chiffres
2.4 Calcul algébrique, développements et factorisations
Priorités :
• En l’absence de parenthèses, la multiplication est prioritaire par rapport à l’addition et à la soustraction.
• En l’absence de parenthèses, les puissances sont prioritaires par rapport à la multiplication.
Propriétés 2 . 8
La multiplication est distributive par rapport à l’addition et à la soustraction.
développement
a(b+c) = ab+ac
Soit a,b,c trois réels, alors :
a(b−c) = ab−ac
factorisation
Propriétés 2 . 9
développement
2 2(a+b)(a−b) = a −b
2 2 2(a+b) = a +2ab+bSoit a etb deux réels, alors :
2 2 2(a−b) = a −2ab+b
factorisation
3–Ecriture décimale d’un réel
3.1 Ecriture décimale
Les nombres réels peuvent s’écrire sous forme décimale finie ou illimitées.
3.2 Valeurs approchées, arrondis
Exemple 4 – Soit x=15,1657
Valeur approchée par Valeur approchée par Arrondis de x
défaut de x excès de x
à l’unité
à 0,1 près
à 0,01 près
à 0,001 près
Exemple 5 – Reprendre le tableau ci-dessus avec x=99,10801.
3.3 Ecriture scientifique
Définition 3 . 1
p
Ecrire sous forme scientifique un nombre réel strictement positif x, c’est le mettre sous la forme : x=a×10 avec p
entier relatif et a nombre réel tel que 16a<10.
Exemple 6 – Déterminer l’écriture scientifique des nombres :
• 73200 • 0,0025
Année 2011 – 2012Quelques rappels sur les
pourcentages 2
Exemples 1 –
– Un chocolat est composé de 74 % de cacao. Cela signifie
que, sur une tablette de 100 g, nous avons 74 g de cacao,
soit 74/100.
– Une ville avait une population de 200000 habitants en 2001. On constate que cette population a augmenté de 8% entre
2001 et 2008.
– Un magasin fait une remise de 10 % sur tous les articles.
Un pourcentage est un rapport de dénominateur 100 et dont le numérateur est un nombre décimal .
La donnée d’un pourcentage peut correspondre à deux notions distinctes :
• une part .
• une évolution (augmentation ou diminution).Seconde – chapitre 2 9
1–Part en pourcentage
Exemple 2 – Un fromage, pesant 300 grammes, comporte 40% de matière grasse.
Dans une élection concernant 50 000 électeurs inscrits, il y a 22% d’abstention.
Le rapport d’une partie à un ensemble de référence (la totalité) peut s’exprimer par une fraction ou un pourcentage .
Quantité valeur pourcentage
partielle Q pP
totale Q 100T
La quantité partielle (Q ) représente p pour cent de la quantité totale (Q ).P T
La partie représente p% du tout.
Q p pP
= etQ = ×Q .P T
Q 100 100T
Exemples 3 –
1. Un fromage contient 45 % de matière grasse. Sachant que ce fromage pèse 300 g, quelle est la masse de matière grasse
contenue dans ce fromage.
2. Dans un collège de 460 élèves, il y a 55 % de filles.
Calculer le nombre de filles et de garçons.
3. Dans un lycée de 1200 élèves, 90 ont les yeux verts. Calculer le pourcentage d’élèves qui ont les yeux verts.
4. Dans une forêt, il y a 14 % d’arbres malades, cela représente 476 arbres. Calculer le nombre total d’arbres dans cette
forêt.
2–Evolution en pourcentage
Exemples 4 – La population d’une ville a diminué de 12 % en 5 ans. Elle était de 25 000 personnes initialement
Les prix on augmenté de 4 % en un an.
L’augmentation ou la diminution d’une valeur entre deux instants peut s’exprimer par un coefficient multiplicateur que l’on
peut noterC .M
Ancienne valeur (AV ) Nouvelle Valeur(NV )
×CM
NV
Ainsi :C = et AV =NV÷CM M
AV
Ancienne valeur (AV ) Nouvelle Valeur(NV )
÷CM
• Si le coefficient multiplicateur est supérieur à 1, il s’agit d’ une augmentation.
Si l’ augmentation est de t%, on a alors :
t 100+t
C =1+ = .M
100 100
t 100+t
Ainsi NV =(1+ )AV = AV
100 100
Année 2011 – 2012

  • Accueil Accueil
  • Univers Univers
  • Ebooks Ebooks
  • Livres audio Livres audio
  • Presse Presse
  • BD BD
  • Documents Documents