cours fonctions doc

Description

Niveau: Secondaire, Lycée, Seconde
2-cours-fonctions-3.doc FONCTIONS III I) FONCTIONS DE REFERENCES fonction x ? définie sur ? parité variations représentation graphique x a x + b • si a < 0, • si a > 0, x x2 x ? + xx2 i j O x x3 x ? + xx3 i j O x 1 x x ? + x1 x i j O x x x + x x i j O x | x | x ? + x|x| i j O

• operation methode


• racine carré


• transformation d'inegalites


• encadrement


• encadrements successifs


• démonstration algébrique


• ordre contraire


• exo-variations2


• représentation graphique

Sujets

• Seconde
• Mathématiques
• Fonction
• Encadrement
• Représentation graphique

Informations

• Publié par: cours_de_mathematiques
• Nombre de lectures: 241
• Langue: Français

Extrait

FONCTIONS III I) FONCTIONS DE REFERENCES dfinie fonction x variations? parit sur ? •si a < 0, xax+b •si a > 0,

reprsentation graphique

2-cours-fonctions-3.doc

x  − + 2 xx 2 xx j O i x  − +  3 j xx 3 O i xx x  − + j 1 x  1 x O i x x x  + xx xx j O i x  − + x|x| x|x| j O i

II) TRANSFORMATION DINEGALITES 1) Passage au carr –  Lafonction carre est strictement dcroissante surdonc 2 2 pour tousx 1 ,x 2 tels quex 1 <x 2 0, onax 1 >x 2 0 + La fonction carre est strictement croissante surdonc 2 2 pour tousx 1 ,x 2 tels que0x 1 <x 2 a 0, onx 1 <x 2 j O i Consquence : les carrs de nombres positifs sont rangs dans le mme ordre que ces nombres les carrs de nombres ngatifs sont rangs dans lordre contraire 2) Passage  la racine carre +  Lafonction racine carre est strictement croissante surdonc pour tousx 1 ,x 2 0tels quex 1 <x 2 a 0, onx 1 <x 2

2-cours-fonctions-3.doc

j O i Consquence : les racines carres de nombres positifs sont ranges dans le mme ordre que ces nombres 3) Passage  linverse –  Lafonction inverse est strictement dcroissante sur* donc 1 1 pour tousx 1 ,x 2 tels quex 1 <x 2 < 0,>on a x 1 x 2 j O i + La fonction inverse est strictement dcroissante sur* donc 1 1 pour tousx 1 ,x 2 tels que0 <x 1 <x 2 a >, on x 1 x 2 Consquence : les inverses de nombres non nuls et de mme signes sont rangs dans lordre contraire de ces nombres

A la maison: tracer proprement  la main les reprsentations graphiques des fonctions carr, racine et inverse

2-cours-fonctions-3.doc III) VARIATIONS DUNE FONCTION PAR ENCADREMENTS SUCCESSIFS 1) Exemple Etudier les variations sur [−4 ; +[ def :xx+ 4 pour tousx 1 ,x 2 −4 tels que x 1 <x 2 on a 0x 1 + 4 <x 2 + 4 la fonction racine carre est + 0x 1 + 4 <x 2 + 4 strictement croissante surdonc doncf(x 1 ) <f(x 2 ) doncfest strictement croissante sur [−4 ; +[ En essayant dutiliser les 2 mthodes (f(x 1 ) −f(x 2 ) et encadrements successifs), tudier les variations des fonctions suivantes : 2 f dfinie sur [−1 ; 0] parx− 1x 1 − g dfinie surparx 2 x+ 1 x h dfinie sur [1 ; +[ parx 2 x+ 1 2) Comment choisir la bonne mthode pour tudier les variations dune fonction ? •Sil y a "desxsous une racine ou dans une valeur absolue", on prfrera la mthode des encadrements successifs •Six "apparat plusieurs fois" dans lcriture def(x), on prfrera tudier le signe def(x 1 ) −f(x 2 )

2-exo-variations2.doc

2-cours-fonctions-3.doc 2 3 IV) POSITIONS RELATIVES DEX,XETX (POURXPOSITIF) 1) Approche graphique y= y y=  Ona trac ci-contre les reprsentations graphiques des fonctions : 2 3 xx;xxetxx y= •prciser en haut de chaque courbe son quation •pour chaque courbe, prciser en fonction dex, lordonne du point de la courbe dabscissex 2 3 •en vous aidant de ce graphique, comparerx,xetxquandxest positif j (on distinguera 2 cas) i O 2) Dmonstration algbrique er 1 cas: 0 <x< 1 23 2 0 <x<x donc0 <x<x<x< 1 3 2 0 <x<x me 2 cas: 1 <x 22 3 x<x1 < doncx<x<x 2 3 x<x Bilan : si 0<x<alors 0< 1x<x<x< 1 2 3 si 1<x alors1 <x<x<x p127: 59, 60 p56: 70, 71, 72

2-cours-fonctions-3.doc V) OPERATIONS SUR LES ENCADREMENTS 2-ap-encadrements.doc 3,14 << 3,15est unencadrementdu nombre 3,15 − 3,14 = 0,01est lamplitudede cet encadrement plus cette amplitude est petite, plus lencadrement est prcis EXEMPLE OPERATION CONDITIONSENS DES INEGALITES1<X<3 2<Y<9 −3 <Z<−1 X+a<X−4<ne change pas Lordre a<2X<Lordre ne change pas> 0 aX aLordre est invers<−Y<< 0 Si tout lencadrement est positif ou nulLordre ne change pas<X< X Si tout lencadrement est ngatif ou nulLordre est invers<Z< Si tout lencadrement est positif ou nulLordre ne change pas X <X< Si tout lencadrement est strictement positif<1/Y< 1/X Lordreest invers Si tout lencadrement est strictement ngatif<1/Z< EXEMPLE OPERATION METHODE 1<X<3 2<Y<9 X+Y Onadditionne membre  membre les deux encadrements<X+Y< On ne peut soustraire membre  membre les deux encadrements : X−Y <X+(−Y)< On encadre donc dabord−Y puis X+ (−Y) Si les deux encadrements sont positifs ou nuls, on les multiplie membre  XY <XY< membre ; sinon, on distingue plusieurs cas. On ne peut diviser membre  membre les deux encadrements : X/Y <X(1/Y)< On encadre donc dabord1/Y puis X (1/Y) Remarque : Pouvait-on donner ci-dessus comme encadrement de X+Y :−100 <X+Y<100 ? Quand on demande dencadrer un nombre, il faut toujours sous-entendre : "avec la meilleure prcision possible" 2-exo-encadrements.doc p55: 53, 56, 57, 58, 60, 62 p56: 64, 66, 67 p102: 50 variations dexx+ 1/x