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Niveau: Secondaire, Lycée, Première CPGE / Sciences Industrielles pour l'Ingénieur DS1 : DS1.doc- Page 1 sur 3 Créé le 07/09/2010 – Source : F1 2009 M S al ett e- Ly cé e B riz eu x- Q ui m pe r DS1 : ATTELAGE DE TGV 1ère partie : validation de la fonction technique « déplacer la manille vers le verrou du coupleur du demi-attelage opposé». Voir les documents DT1 à DT7 et les documents réponses DR1 et DR2. Le déplacement de la manille 2 commence à la phase 2 de l'accouplement (voir DT3 fig. 2), lorsque le cliquet 4 est libéré. Les ressorts de compression 10 et 11, en se détendant suivant la droite d'action (BC), mettent en mouvement la manille 2 et le verrou 3 (voir DR1). A ) Description du mouvement de la manille 2 par rapport au corps 1 • 1ère étape du mouvement : approche de la manille vers le verrou du coupleur du demi- attelage opposé, voir figure 2 du document DT3 et document DR1. Le point A se trouve au dessus de la droite (BC). La position de la manille 2 est déterminée, à chaque instant, par les deux obligations suivantes : - le contact entre 2 et 1 est maintenu au point E, - la manille 2 glisse sur le corps 1 et 1/2?EV caractérise la vitesse de ce glissement.document réponse action mécanique bascule vers la gorge du verrou du coupleur opposé verrou manille charges relatif aux vitesses de glissement norme sur le document dr3

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Math´ematiques

Lyce´eBrizeux-ann´ee2009-2010

CorrectionduPremierDevoirSurveill´e

P r o b l e` m e sd ’ a n a l y s ed eT e r m i n a l e

Calculer les limites suivantes :

Exercice 1

x √x ln(1−e) x2 lim etlime+x−e . x→0x→+∞ x

Exercice2.Unesuitedesolutionsd’e´quations

∗n Soitn∈N,on notePnrminoedalﬁn´esuielypoontincfolaRparPn(x) =x+x−1. 1.Montrerquel’e´quationPn(x) = 0 admet une unique solution dans l’intervalle ]0,1[. On noteαntu´eerdieeicd’ste’lecrexeL.ndtubectttuoiseloalusti(eαn)n∈N. ∗ 2. Pourtoutn∈N,´eeuqrilbatPn+1< Pnsur ]0,1[. 3. Montrerque pour toutn∈N, Pn+1(αn)<0.Ernedq´ueduiuiteelas(αn)n∈Nest strictement croissante. 4. Montrerque la suite (αn)n∈Nest convergente. On note`la limite de la suite (αn)n∈N. n n 5. Etablirque pour toutn∈N,0≤α≤` . n 6. Onsuppose que` <1. n (a)Etablirquesouscettehypothe`selimα= 0. n n→+∞ (b)Ende´duirequeforce´ment`= 1. 7.End´eduirelavaleurde`.

0n−1 1.Pn´dtseelbaviresurRen tant que fonction polynomiale. Pour toutx∈R, Pn(x) =n x+ 1.eriv´eede´daLPn est donc strictement positive sur[0,1].aP,ntueeqs´onrcPnest une bijection (strictement croissante) de[0,1]sur [Pn(0), Pn(1)].OrPn(0) =−1etPn(1) = 1.tionL’´equaPn(x) = 0a donc une unique solution dans]0,1[. 2.Onpeutobtenirl’ine´galite´en´etudiantlafonctionPn+1−Pn.seiuavtn.enOepalegr´niteobl’utre`inamaledtneme n+1n n+1n Pour toutx∈]0,1[< x., x’Du`ox+x−1< x+x−1pour toutx∈]0,1[. 3.Appliquonsl’in´egalit´epre´ce´dentepourx=αn. On obtientPn+1(αn+1)< Pn(αn).Orαneﬁvire´Pn(αn) = 0(car αna`tnaenrtpaapontiluso’lnuqieuﬁeinitnoestpard´]0,1[dePn(x) = 0`u.D’o)Pn+1(αn)<0. ∗ Soitn∈N. Pn+1est strictement croissante etPn+1(αn)<0;Pn+1(αn+1) = 0.Ceci entraˆıneαn< αn+1. ∗ Parcons´equent,αn< αn+1pour toutn∈N.blit´etaasuitqeueleCic(αn)∗est strictement croissante. n∈N 4. Lasuite(αn)∗emetcirtstseante,majntcroissroe´pera1: elle est donc convergente. n∈N ∗ 5. Onsait que pour toutn∈N, 0≤αn≤`. D’ou`en´elevantene´levanta`lapuissancen: n n 0≤αn≤` ∗ pour toutn∈N.

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