Devoir Libre n PSI

Description

Niveau: Secondaire, Lycée, Terminale
Devoir Libre n?12 PSI MATHEMATIQUES (a rendre le 04 Fevrier 2011) Exercice 1. Determiner lim n?+∞ ∫ +∞ 0 n sin ( x n ) x(1 + x2) dx. 2. a) Justifier que : ?n ≥ 1, ∫ +∞ 0 |e?nt sin t|dt ≤ ∫ 1 0 te?ntdt + ∫ +∞ 1 e?ntdt ≤ 1? e?n n2 . b) Justifier que ∫ +∞ 0 sin t et ? 1 dt converge. c) Montrer que ∫ +∞ 0 sin t et ? 1 dt = +∞∑ n=1 1 n2 + 1 . Probleme Notations. Pour tout nombre reel x tel que l'integrale generalisee ∫ +∞ 0 1?cos(t) t2 e ?xt dt converge, on note ?(x) la valeur de cette integrale. Pour tout entier naturel non nul m tel que l'integrale generalisee ∫ +∞ 0 (sin t)m t dt converge, on designe par Jm sa valeur. Objectifs. L'objet de ce probleme est d'etudier l'existence et un procede de calcul eventuel de Jm. La p artie I est consacree a l'etude de la fonction ? pour obtenir un resultat qui concerne J1.

• pi-periodique


• coefficients de fourier reels


• developpement de fourier


• expliciter


• e?ntdt ≤


• calcul de j2p


• dt? ∫


• integrale


• convergence de l'integrale generalisee

Sujets

• Première
• Intégrale

Informations

• Publié par: profil-zyan-2012
• Date de parution: 01 février 2011
• Nombre de lectures: 54

Extrait

◦ Devoir Libren12 PSI MATHEMATIQUES (a`rendrele04F´evrier2011) Exercice   Z +∞ x nsin n 1.D´eterminerlimdx. 2 n→+∞ x(1 +x) 0 2. Z ZZ +∞1 +∞ − n 1−e −nt−nt−nt a) Justifier que :∀n≥1,|esint|dt≤te dt+e dt≤. 2 n 0 01 Z +∞ sint b) Justifier quedtconverge. t e−1 0 Z +∞ +∞ X sint1 c) Montrer quedt= . t2 e−1n+ 1 0 n=1

Probl`eme

Notations. R +∞ 1−cos(t) −xt Pourtoutnombrere´elxeearel´gnee´aril´stelquel’int´eg 2 e dtconverge, on noteϕ(x) la 0 t valeurdecetteinte´grale. R m +∞ (sint) Pour tout entier naturel non nulmtalis´eeeg´en´ertne´rglaleuqlei’dtneigesd´one,rgvenoc 0 t parJ m sa valeur.

Objectifs. L’objetdeceprobl`emeestd’´etudierl’existenceetunproc´ed´edecalcule´ventueldeJ m . La p artieIet’´edudafelctonnoisectnoasrce´`elaϕruopetbourincinotauqustlrne´ecernJ 1 . L’´etudedel’existencedeJ m fait partie de la partieII. La partieIIIesalgr´eorpnde´crvueu’dedeulntside´elccaamiseenovoitlJ m (lorsqu’elles convergent).

1 Etudede la fonctionϕ. Onde´signepard(respectivementδal)cnofnoitd´efiniesur[0,+∞:[ pard(t) =t−1 + cos(t) 2 t (repectivementδ(t) =−1 + cos(t)). 2 I.1.Etude des fonctionsdetδ. I.1.1 Etudierla fonctiondbrer´eeltsuennmouqi’elixedd´reuien;αtel que, pour tout nombre 1−cos(t) r´eelttcmenepttsiritnainl’itos,oif0:eage´´til≤ ≤α. t I.1.2 Etudierla fonctionδle;le’iqureuiedd´ene´rerbmonnuetsixβtel que, pour tout nombre 1−cos(t) r´eelt0´t:esttcirnemesoptfitina,ol’it´einliga≤ 2 ≤β. t I.2.Existence de la fonctionϕsur[0,+∞[. R +∞ 1−cos(t) Etablirlaconvergencedel’inte´gralege´ne´ralis´ee 2 dtnE´ddeiuequr.eϕ(x) existe pour 0 t toutxnetrappaa[0ant`,+∞[. I.3.Limite de la fonctionϕen+∞.

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