Dynamiques aleatoires chaınes de Markov

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Niveau: Secondaire, Lycée, Première
Chapitre 1 Dynamiques aleatoires : chaınes de Markov Pour modeliser l'evolution au cours du temps (la dynamique) de systemes biologiques, par exemple celle d'un organisme, d'une substance, d'un ecosysteme, on choisit souvent des modeles aleatoires. Les plus simples de ces modeles aleatoires sont les chaınes de Markov qui, dans le cas particulier etudie ici sont faciles a utiliser car il n'y a pratiquement aucun prerequis mathematique. Elles nous donneront l'occasion d'une premiere familiarisation avec le calcul matriciel que nous approfondirons lors des lec¸ons suivantes. 1.1 La plus simple des dynamiques aleatoires On modelise avec des chaınes de Markov l'evolution au cours du temps de quantites X qui peuvent prendre un nombre fini d'etats X = x1, X = x2, . . ., X = xn et qui passent de l'etat xi a l'instant t a l'etat xj a l'instant suivant t+ 1 avec une probabilite pij donnee. Les nombres pij = P (Xt+1 = xj/Xt = xi) verifient donc 0 ≤ pij ≤ 1 et ∑n j=0 pij = 1 (puisque si la chaıne est dans l'etat xi a un instant, elle sera necessairement dans l'un des etats possibles x1, . . . , xn l'instant suivant et donc pi1+pi2+ . . .+pin = 1). ; L'expression P (Xt+1 = xj/Xt = xi) s'appelle une probabilite conditionnelle et represente la “probabilite que la quantite X vaille xj a l'instant t + 1 sachant qu'elle valait xi a

distribution stationnaire

distribution initiale

matrice de transition

probabilite

etats

lois stationnaires

chaıne de markov

pi0 ·

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Chapitre 1

Dynamiquesale´atoires:chainesde Markov

Pourmode´liserl’´evolutionaucoursdutemps(ladynamique)desyst`emesbiologiques,par exemplecelled’unorganisme,d’unesubstance,d’unecosyst`eme,onchoisitsouventdesmod`eles al´eatoires.Lesplussimplesdecesmod`elesale´atoiressontleschaˆınesdeMarkovqui,dans lecasparticulier´etudi´eicisontfacilesa`utilisercariln’yapratiquementaucunpre´requis mathe´matique.Ellesnousdonnerontl’occasiond’unepremi`erefamiliarisationaveclecalcul matricielquenousapprofondironslorsdesle¸conssuivantes.

1.1Laplussimpledesdynamiquesale´atoires Onmod´eliseavecdeschaıˆnesdeMarkovl’´evolutionaucoursdutempsdequantit´esXqui peuventprendreunnombreﬁnid’e´tatsX=x1,X=x2. .,, .X=xnessapiuqtetta´el’dent xial`i’snattnt`la´’teatxjaviutninstants`al’teva1enuc+´eitobprilabpijs.Leend´onrembnoes P n p=P(X=x /X=xe1t)v´entdoriﬁepahcaenıˆ=pu1(quisiles ij t+1j tinc 0≤pij≤j=0ij estdansl’´etatxisbielsspotsta´eesnd’ulsnadtnemeriassena,tleelesar´nce`auninstx1, . . . , xn l’instant suivant et doncpi1+pi2+. . .+pin= 1).; L’expressionP(Xt+1=xj/Xt=xi) s’appelle uneit´econdprobabileltioinnleit´eteerrppra“abobse´eelntqaletnautiliuqe´Xvaillexj`alattni’sn t+ 1sachant qu’elle valaitxitnatsni’la`t”. Pourde´ﬁnirunechaˆınedeMarkovilfautdoncdeuxingre´dientsdebase: 1. L’cadeepsatstsee´S:={x1, . . . , xn}connu que l’on supposera ﬁni 2. Lamatrice de transition(ou de passage) x1x2x. . .n   p11p12∙ ∙ ∙p1nx1 P= (pij)1≤i≤n,1≤j≤n=    . .. pn1pn2∙ ∙ ∙pnnxn