Espaces de modules de connexions sur P1 et l'algorithme de Katz Seminaire de Geometrie Algebrique de Paris VI VII et Nantes
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Niveau: Secondaire, Lycée, PremièreEspaces de modules de connexions sur P1 et l'algorithme de Katz Seminaire de Geometrie Algebrique de Paris VI-VII et Nantes Carlos Simpson, Chevaleret, le 1er fevrier 2007 Soit X une courbe projective, par exemple X = P1, et D ? X un diviseur reduit, donc D = p1 + . . .+ pn avec les pi distincts. Soit U := X ?D. On choisit un point de base u ? U . Pour X = P1 le groupe fondamental pi1(U, u) est engendre par des lacets ?1, . . . , ?n partant de u et tournant autour des pi respectivement. Il y a une relation ?1 · · · ?n = 1. On peut definir l'espace de modules des representations MB(U) a valeurs dans un groupe, disons GL(r,C). Dans le cadre des representations sur les varietes quasiprojectives, il convient de fixer les classes de conjugaison C1, . . . , Cn des images des ?i. Pour simplifier les choses au maximum, nous allons supposer que les Ci sont des classes de conjugaison des matrices d'ordre fini. En particulier les Ci ? GL(r,C) sont des fermes de Zariski, d'ou affines. L'espace de modules des representations avec classes de conjugaison donnes peut donc etre ecrit comme MB(U ;C1, .espace de modules des representations avec classes de conjugaison algorithme de katz espaces de modules mb katz sur les monodromies locales cadre des representations sur les varietes quasiprojectives image directe sur z champ de higgs ordre fini
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1 Espaces de modules de connexions surPet l’algorithme de Katz S´eminairedeGe´om´etrieAlge´briquedeParisVI-VIIetNantes CarlosSimpson,Chevaleret,le1erfe´vrier2007
1 SoitXune courbe projective, par exempleX=P, etD⊂Xru´rivesnuidnct,doedui D=p1+. . .+pnavec lespidistincts. SoitU:=X−D. Onchoisit un point de baseu∈U. 1 PourX=Ple groupe fondamentalπ1(U, ustecalse)ndgeenstdearepr´γ1, . . . , γnpartant de uet tournant autour despirespectivement. Ily a une relationγ1∙ ∙ ∙γnpnuedte´finir1=O. l’espacedemodulesdesrepre´sentationsMB(Uav)`sisonpe,drguosnnusradlaueGL(r,C). Danslecadredesrepre´sentationssurlesvarie´t´esquasiprojectives,ilconvientdefixerles classes de conjugaisonC1, . . . , Cndes images desγi. Poursimplifier les choses au maximum, nous allons supposer que lesCisont des classes de conjugaison des matrices d’ordre fini.En particulier lesCi⊂GL(r,Clusemedoes.Luaffinaced’espiraZedse`o’d,iksntso)m´ersfde desrepr´esentationsavecclassesdeconjugaisondonn´espeutdonceˆtre´ecritcomme
ker (C1× ∙ ∙ ∙ ×Cn→SL(r)) MB(U;C1, . . . , Cn) :=, P SL(r)
ou`l’applicationestleproduitetlequotientestparl’actiondeconjugaison.Lesmatrices d’ordrefiniontd´eterminant1etl’actiondeconjugaisonsefactorisea`traversP SL(r). Icise pre´sententevidemmentdeuxchoix,soitonprendslequotientcate´goriquedesch´emasaffines, soitonprendslequotientdeschamps.Onpeutconside´rerl’unoul’autre. Cesespacesdemodulesfontapparitionmˆemedanslecadredesvarie´te´sprojectives.En orb effet, soientniles ordres des matrices deCiet soitXl’orbifold obtenu en mettant des orb groupes d’ordreniaux pointspi. Dansce cas,MB(Xsnoitateslesrepr´esentc)noistsdeteuo deπ1(U, u) dont les monodromies autour desγisont d’ordrenirespectivement, et cet es-pace se divise en composantes connexes qui sont lesMB(U;C1, . . . , Cn) pour tous choix des C1, . . . , CnavecCid’ordreni. D’autrepart, sauf pour un petit nombre des cas l’orbifold orb orb Xadmet un revetement galoisienZavec groupeH, doncX= [Z/H] est le champ quotient. Legroupe finiHennxentcolemesimpeutt´pee´iravenurustnemebrliiragrsouujto Vmelpraxep(epmocte`lecrsontineeuteinH-invariant dans un espace projectif avec action deH) etZ×V /Hest un bon quotient, projective, avec
∼ orb π1(Z×V /H) =π1(X).
∼ orb D’ou`MB(X) =MB(Z×V /H), etMB(U;C1, . . . , Cn) est reunion de composantes con-nexesdansl’espacedemodulesderepr´esentationssurunevarie´t´eprojective(Daskalopolous-Wentworth). Enrevanche, si les classes de conjugaisonCine sont pas d’ordre fini, cette construction ne s’applique pas et les espaces de modulesMB(U;C1, . . . , Cnerteˆtnevuep) diffe´rents. Les espaces de modulesMB(U;C1, . . . , Cn) fournissent des exemples de toutes les struc-∗ turesdelath´eoriedeHodgenonab´elienne:versionsDolbeaultetdeRham,actiondeC, filtration de Hodge, connexion de Gauss-Manin (quandn≥4; ce sont les equations de de´formationisomonodromiques,e.g.Painlev´eVI),structurehyperk¨ahlerienne. 1
