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Niveau: Secondaire, Lycée, PremièreFACULTE DE DROIT ET DES SCIENCES ECONOMIQUES DE LIMOGES EXAMEN ANNEE 2009-2010 1ère session 4ème semestre Licence Economie 2ème année Matière : Statistiques et probabilités – Éléments de correction Durée : 2H Problème Partie I (3 points) Afin d'estimer l'autonomie moyenne du téléphone, le laboratoire prévoit de mesurer n fois l'autonomie du prototype. 1) Soit X ,! N .; / représentant l'autonomie du téléphone. L'autonomie moyenne est E.X/ D et l'écart-type de l'auto- nomie est X D . Les nmesures de l'autonomie correspondent à un n-échantillon .X1; : : : ; Xn/. 2) L'autonomie moyenne peut être estimée par l'estimateur sans biais X . On sait que X D nX iD1 Xi ,! N .; = p n On a 0:95 D P.1:96 marge d'échan- tillonnage du précédent intervalle de confiance variable de décision région critique intervalle de confiance œ7 variance associée au test précédent

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re 1 session

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EXAMEN ANNEE 2009-2010

me Licence Economie 2anne

Matire : Statistiques et probabilits – Èlments de correctionDure : 2H

ProblÈme

me 4 semestre

Partie I(3 points) Aﬁn d’estimer l’autonomie moyenne du tÉlÉphone, le laboratoire prÉvoit de mesurernfois l’autonomie du prototype. 1)SoitX ,!N.;  /reprÉsentant l’autonomie du tÉlÉphone. L’autonomie moyenne est E.X /Det l’Écart-type de l’auto-nomie estXD. Lesnmesures de l’autonomie correspondent À unn-Échantillon.X1; : : : ; Xn/. 2)L’autonomie moyennepeut tre estimÉe par l’estimateur sans biaisX. On sait que n X p XDXi,!Nn.; = iD1 On a     0:95DP .1:96 < X<C1:96/DP X1:96p<  < XC1:96p n n D’oÙ l’intervalle de conﬁance pourÀ 95 % :    IC0:95./DX˙1:96p n 3)On suppose60:5. Pour pouvoir estimer À 95 % l’autonomie moyenne () À0:1heure prÈs, il faut que la marge d’Échan-tillonnage du prÉcÉdent intervalle de conﬁance soit infÉrieure À0:1:    2 2  1:961:960:5 MED1:96p< 0:1”n>(Hn>96 n 0:10:1 Il suﬃt donc de faire plus denD96mesures. Partie II(2 points) 1)La taille de l’Échantillon estnD99. Les autonomies observÉes varient de7:06À8:67. La moyenne de l’Échantillon est p xD7:9392avec une erreur standard (prÉcision)esDs= nD0:03378. L’estimation sans biais de la variance est la variance 2 empiriquesD0:113. L’Écart-type de l’Échantillon estsD0:33615. 2)Dans cette partie, l’Écart-typen’est plus supposÉ connu. On a donc    X0:336 S TD p,!St.n1/H)IC0:95./DX˙t0:975p H)ic0:95./D7:94˙1:984p S= nn 99 D’oÙ l’intervalle de conﬁanceŒ7:872; 8:006.

Partie III(2 points) 1)On souhaite donc testerH0WX ,!N.;  /contreH1WX6,!N.;  / 2)EViews propose plusieurs tests permettant de vÉriﬁer la normalitÉ de laX. Le premier de Jarque-Bera compare les coeﬃ-cients d’asymÉtrie et d’aplatissement À leurs valeurs thÉoriques dans le cas d’une loi normale (0et3). La signiﬁcation (Probabi-lity) associÉe au test est0:384 > 0:05. Donc avec un risque de premiÈre espÈce de 5 % (et mme 30 % !), on ne peut pas rejeter l’hypothÈse de normalitÉ deX. Les autres tests proposÉs par EViews (Lilliefors,…) donne la mme conclusion, puisque la signiﬁcation associÉe À chaque test est toujours largement supÉrieure À 5 % (jusqu’À 40 % pour le test de Anderson-Darling).

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