FACULTE DE DROIT ET DES SCIENCES ECONOMIQUES DE LIMOGES

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Niveau: Secondaire, Lycée, Première
FACULTE DE DROIT ET DES SCIENCES ECONOMIQUES DE LIMOGES EXAMEN ANNEE 2008-2009 1ère session 4ème semestre Licence Economie 2ème année Matière : Statistiques et probabilités Durée : 2H – Éléments de correction Exercice I (6 points) On se propose d'estimer la proportion p de personnes favorables à l'ouverture le dimanche d'un centre commercial. Pour cela, on prévoit d'interroger n personnes. 1)  représente la population étudiée (les personnes fréquentant le centre commercial). La variable aléatoireX sur  représente l'avis de la personne : 1 si elle est favorable à l'ouverture le dimanche, 0 si elle n'y est pas favorable. X suit donc une loi de Bernoulli B.1; p/, où p représente la proportion (inconnue) de personnes favorables dans la population. Le sondage den personnes correspond à unn-échantillon .X1; : : : ; Xn/ deX , c'est-à-dire,n variables aléatoires indépendantes et de même loi que X . 2) Un estimateur sans biais et convergent de p est la fréquence empirique de l'échantillon : F D K n D Pn iD1Xi n En eet, commeK D Pn iD1Xi ,! B.n; p/, on a E.K/ D np et Var.K/ D npq. D'où E.

• duree homme


• avis de la personne


• durée moyenne de travail des hommes


• analysis variable


• variable aléatoire représentant la durée de vie en heures


• variable method


• std dev


• mean lower


• durée de vie moyenne

Sujets

• Droit
• Première
• Standard deviation
• Durée de vie moyenne

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Extrait

re 1 session

FACULTE DE DROIT ET DES SCIENCES ECONOMIQUES DE LIMOGES

EXAMEN ANNEE 2008-2009

me Licence Economie 2anne

Matire : Statistiques et probabilitsDure : 2H – Èlments de correction

me 4 semestre

Exercice I(6 points) On se propose d’estimer la proportionpde personnes favorables À l’ouverture le dimanche d’un centre commercial. Pour cela, on prÉvoit d’interrogernpersonnes. 1)reprÉsente la population ÉtudiÉe (les personnes frÉquentant le centre commercial). La variable alÉatoireXsur reprÉsente l’avis de la personne :1si elle est favorable À l’ouverture le dimanche,0si elle n’y est pas favorable.X suit donc une loi de BernoulliB.1; p/, oÙpreprÉsente la proportion (inconnue) de personnes favorables dans la population. Le sondage denpersonnes correspond À unn-Échantillon.X 1 ; : : : ; X n /deX, c’est-À-dire,nvariables alÉatoires indÉpendantes et de mme loi queX. 2)Un estimateur sans biais et convergent depest la frÉquence empirique de l’Échantillon : P n K iD1 X i FD D n n P n En eet, commeKDX i ,!B.n; p/, on a E.K/Dnpet Var.K/Dnpq. D’oÙ iD1 E.K/Var.K/ pq E.F /D DpVar.F /!D D0 2 n nn Si on supposensusamment grand, on a p p K ,!B.n; p/NF ,.np; npq/!N.p; pq=n/   3)On aP .1:96 < F< 1:96/D0:95. D’oÙ   q q pq pq P F1:96 <p < FC1:96D0:95 n n h i p En estimantpqparF .1F /, on obtient l’intervalle de conance alÉatoire :F˙.11:96 FF /=n. 4)Pour obtenir une estimation depÀ 5 % prÈs avec un niveau de conance de 95%, il sut que r r   2 F .10:5.1F /0:5/ 1:960:5 MED1:9661:9660:05”n>384:6 n n0:05 5)On ne doit prendre en compte que les rÉponses exprimÉes. DoncnD290C210D500. a)On estimepÀ l’aide de l’estimateurF. D’oÙ l’estimation dep:fDk=nD290=500D0:58. b)En utilisant la question prÉcÉdente, on trouve l’IC suivant : p p ic 0:95 .p/DŒf˙1:96 f.1f /=nDŒ0:58˙1:96 0:58.10:58/=500DŒ53:7%; 62:3% 6)On souhaite testerH 0 Wp60:5contreH 1 Wp > 0:5. Cela revient À testerH 0 WpD0:5contreH 1 . SousH 0 , la variable de dÉcision est F0:5 ZDp,!N.0; 1/ 0:5.10:5/=500