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I INTÉRÊT DU CALCUL LITTÉRAL En mathématiques il arrive fréquemment que l'on ait besoin de faire des calculs sur une expression comportant des lettres On parle alors de calcul littéral

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Description

Niveau: Secondaire, Collège, Cinquième

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CALCUL LITTÉRAL I) INTÉRÊT DU CALCUL LITTÉRAL En mathématiques, il arrive fréquemment que l'on ait besoin de faire des calculs sur une expression comportant des lettres. On parle alors de « calcul littéral ». Exemple : Un chocolatier veut faire des paquets de 200 g de chocolat contenant deux fois plus de chocolats noirs que de chocolats au lait. Un chocolat noir pèse 6,75 g alors qu'un chocolat au lait pèse 6,5 g. Combien de chocolats noirs et au laits doit-il mettre dans ses paquets ? Rédaction : Appelons x le nombre de chocolats au lait dans un paquet : ? Le poids total des chocolats au lait est alors : x?6,5 ? Le nombre de chocolats noirs est : 2?x ?Le poids total des chocolats noirs est : 2?x?6,75 ?Additionnons les poids totaux des chocolats noirs et au lait : 2?x?6,75+x?6,5=200 x?(2?6,75)+x?6,5=200 x?13,5+x?6,5=200 x?(13,5+6,5)=200 x?20=200 x=10 Dans chaque paquet, le chocolatier doit donc mettre 10 chocolats au lait et 20 chocolats noirs. Calcul littéral p37: 37, 38, 39, 40

  • calcul littéral

  • expression définition

  • aire de la surface

  • chocolat noir

  • ?x ?le

  • expression comportant des lettres

  • équipe de foot


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CALCUL LITTÉRAL
I) INTÉRÊT DU CALCUL LITTÉRAL En mathématiques, il arrive fréquemment que l'on ait besoin de faire des calculs sur une expression comportant des lettres. On parle alors de « calcul littéral ».
Exemple : Un chocolatier veut faire des paquets de 200 g de chocolat contenant deux fois plus de chocolats noirs que de chocolats au lait. Un chocolat noir pèse 6,75 g alors qu'un chocolat au lait pèse 6,5 g. Combien de chocolats noirs et au laits doit-il mettre dans ses paquets ?
Rédaction : Appelonsxle nombre de chocolats au lait dans un paquet : ● Le poids total des chocolats au lait est alors :x×6,5 ● Le nombre de chocolats noirs est : x ● Le poids total des chocolats noirs est : x×6,75 ● Additionnons les poids totaux des chocolats noirs et au lait : x×6,75+x×6,5=200 x×(2×6,75)+x×6,5=200 x×13,5+x×6,5=200 Calcul littéral x×(13,5+6,5)=200 x×20=200 x=10
Dans chaque paquet, le chocolatier doit donc mettre 10 chocolats au lait et 20 chocolats noirs.
p37: 37, 38, 39, 40
II) DÉVELOPPER – FACTORISER
1) Produit ou somme ?
On dit d'une expression qu'elle est un produit, une somme ou une différence, selon le dernier calcul à effectuer :
Ex: A= 2×3 + 5 A← somme+ 5 = 6 A= 11
B= (8 – 2)×3 B× 3 = 6 ← produit B= 18
2) Distributivité de la multiplication par rapport à l'addition ou la soustraction
a) Exemples : Dans toutes les situations ci-dessous, écrivez le calcul demandé de deux manières différentes : une fois sans parenthèses et une fois avec parenthèses.
● Une équipe de foot achète pour chacun des 15 joueurs une paire de chaussures à 40 euros et un maillot à 10 euros. Combien vont-il dépenser ?
A= 15×40 + 15×10
A= 15×(40 + 10)
● Un magasin de vêtements fait une réduction de 1,50 euros sur tous ses articles. Éric achète 5 pantalons qui coûtaient 12 euros chacun avant la réduction. Combien va-t-il payer en tout ?
B= 5×12 – 5×1,50
B= 5×(12 – 1,50)
● Écrire en fonction dek,aetbl'aire de la surface grisée ci-dessous a b C=k×a+k×b C=k×(a+b)
k
● Écrire en fonction dek,aetbl'aire de la surface grisée ci-dessous a D=k×ak×b D=k×(ab)
k
b
b) Cas général :
Propriété : k,aetbétant 3 nombres quelconques : k×a+k×b=k× (a+b) Somme ou différence produit k×ak×b=k× (ab)
Ex: 2 × (x– 3) = 2 ×x– 2 × 3 3 ×a+a×b=a× 3 +a×b=a× (3 +b)
p35: 1, 2, 4, 6, 7 p38: 48 p40: 71 oral p38: 47
3) Factoriser une expression Définition : Factoriser, c'est transformer une somme ou une différence en produit.
Ex: A= 5 ××x A=× 5 –×x A=× (5 –x)
B= 12 ×x+x×a B=x× 12 +x× a B=x× (12 +a)
C= 2 ×x×xx+ 3 ×x C=x× 2 ×xx× 1 +x× 3 C=x× (2 ×x– 1 + 3)
4) Développer une expression Définition : Développer, c'est transformer un produit en somme ou en différence.
Ex: A= 2 × (a+b+c) A= 2 ×a+ 2 ×b+ 2 ×c
B=x× (a– 1) B=x×ax× 1 B=x×ax
p35: 9, 10, 11, 12 p36: 27, 28, 29 p38: 49
5) Développer et Réduire une expression
Ex : A= 3 × (x+ 5) + 2 × (x– 1) A= 3 ×x+ 3 × 5 + 2 ×x– 2 × 1 A= 3 ×x+ 15 + 2 ×x– 2 A= 5 ×x+ 13
On développe l'expression
On laréduit
Remarque :Réduire revient souvent à faire une factorisation implicite : 3 ×x+ 2 ×x= (3 + 2) ×x= 5 ×x
p36: 31 p38: 52, 54 oral p36: 13, 14, 15, 16, 17, 19, 20, 21, 22, 23
III) SIMPLIFICATIONS D'ÉCRITURES 1) Le signe multiplié : 3 ×a= a + a + a Il y a ici troisa, au lieu d'écrire 3 ×a, on écrira donc le plus souvent 3 a
Bilan : Quand le si ne × est suivi d'une lettre ou une parenthèse, on peut se dispenser de l'écrire.
3 ×a s'écrit 3a a× 3 s'écrit 3a a×b s'écritab 4 × (a+ 3) s'écrit 4 (a+ 3)
2) Carré, cube d'un nombre D'après ce qui précède,a×aa a. devrait s'écrire 2 En fait, on écriraaet on dira "aau carré" 3 De mêmea×a×as'écriraaet on dira "aau cube"
p37: 42 p38: 50, 51 p40: 74, 75, 76, 77
IV) ÉGALITÉS DANS DES EXPRESSIONS LITTÉRALES
1) Les deux emplois du signe égal Attention, dans une expression littérale, le signe égal peut être utilisé dans deux cas bien distincts :
a) Égalités toujours vraies Ex :8x+ 2x= 10x Ici, les deux membres de l'égalité sont toujours égaux quelle que soit la valeur donnée àx.
b) Équations Ex :8x= 2x+ 3 Ici on a encore utilisé le signe égal alors que l'égalité n'est vraie que pour x= 0,5 et fausse pour les autres valeurs dex! On dit alors que 8x= 2x+ 3 est uneéquationqui a poursolution0,5.
2) Tester si une égalité est vraie Dans le cas d'une équation dont on ne sait pas trouver les solutions directement, on peut « tester » différentes valeurs dex.
Ex 1 :Tester l'égalité 4 (2x+ 1) = 12 pourx= 1 puisx= 2. six= 1 4 (2x+ 1) = 4 (2 × 1 + 1)= 4 (2 + 1)= 4 × 3= 12 L'égalité est donc vérifiée pourx= 1
six= 2 4 (2x+ 1) = 4 (2 × 2 + 1) = 4 (4 + 1) = 4 × 5= 20 L'égalité n'est donc pas vérifiée pourx= 2
Ex 2 :Tester si l'égalité 4x= 2 (x+ 2) est vraie pourx= 1 puisx= 2. six= 1 D'une part : 4x =4 × 1 = 4 D'autre part : 2 (x+ 2) = 2 (1 + 2) = 2 × 3 = 6 L'égalité n'est donc pas vraie pourx= 1
six= 2 D'une part : 4x =4 × 2 = 8 D'autre part : 2 (x+ 2) = 2 (2 + 2) = 2 × 4 = 8 L'égalité est donc vraie pourx= 2
p38: 55, 56 p41: 81, 82, 83, 84 5-calcul-litteral-tableur.odt
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