L1 MathsI Analyse Fiche
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L1 MathsI Analyse Fiche

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Description

Niveau: Secondaire, Collège, Troisième
L1 – MathsI-Analyse – Fiche 1 1 Nombres reels, bornes superieures et inferieures. Exercice 1 On considere les nombres reels ? = √ 11 + 2 √ 29 + √ 16? 2 √ 29 + 2 √ 55? 10 √ 29 et ? = √ 5 + √ 22 + 2 √ 5. Montrer que ? = ? (on pourra calculer (√ 5 + √ 11? 2 √ 29 )2 ). Exercice 2 On donne des entiers strictement positifs, a, b, c, d, p, q tels que bc? ad = 1 et a b < p q < c d . Montrer que p > a, p > c, q > b, q > d. Exercice 3 Montrer que le nombre reel ? = 3 √ 27 + 6 √ 21 + 3 √ 27? 6 √ 21 est un entier naturel que l'on determinera. Indication : montrer que ? est solution d'une equation du 3eme degre a coefficients entiers. Exercice 4 En utilisant la formule du binome de Newton montrer que ?n ? N?,?x, y ? R+ n √ x + y ≤ n √ x + n √ y.

  • coefficients entiers

  • formule du binome de newton

  • y2 ≤

  • nombres reels

  • entier

  • existence de la borne superieure

  • borne inferieure


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Langue Deutsch
L1 – MathsI-Analyse – Fiche 1
Nombresr´eels,bornessupe´rieuresetinfe´rieures.
Exercice 1esbromsnlseer´ocsnnOereldie` q p pp √ √√ √α1629 ++ 2= 1155+ 22 2910 29etβ+ 22+ 25= 5.  p2 √ √ Montrer queα=β(on pourra calculer5 +112 29).
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a p c Exercice 2On donne des entiers strictement positifs,a, b, c, d, p, qtels quebcad= 1et< <. b q d Montrer queq > dq > b,p > c,p > a,.
Exercice 3lee´roMuerqrentrembnole q q √ √ 3 3 γ21 ++ 627= 276 21 estunentiernaturelquelonde´terminera. Indication : montrer queγrsientsentiec´eoca`e´rgedeme`3uquationdndune´estlotuoi.se
Exercice 4olmeedduobrinmˆuttolnamfeiNseawnrteuulqinorntEe √ √+nn n nN,x, yRx+yx+y.
1 Exercice 5:1. Etablirx[0,1],0x(1x). 4 3 1 2.Ende´duire:(a, b, c)[0,1],min(a(1b), b(1c), c(1a)). 4
Exercice 6Montrer que pour toutnNon a :  n  X√ √ 2n12n1 +nk+n. 3 33 2 k=1 2 2 Exercice 7Montrer que(x, m)R,xm1 +x1 + 2|m|+x.
∗ ∗ Exercice 8SoientnN,a1, . . . , anR, montrer que : +   1 1 2 (a1+∙ ∙ ∙+an).+∙ ∙ ∙+n . a1an Q n Exercice 9SoientnN,x1, . . . , xn[0,1]. Etablir que l’un au moins des deux produitsxi, Q i=1 n n (1xi)egalrou´rieunf´eseita`2. i=1
n n+ 1 Exercice 10Montrer quenN, <. n+ 1n+ 2 Ende´duireque 1 13 599 1 <∙ ∙ ∙. . .<(1) 10 22 4 6100 10 Exercice 111. SoitnNtel quenr.Montiecunedauqreutneracele´rrentiosn/Q. √ √2. SoientrQ+,sQ+; on suppose quer/Q. Montrer, en raisonnant par l’absurde, quer+s /Q. Exercice 12On veut trouver les solutions dansRdnoitequael´ q q √ √ x+ 34x1 +x+ 86x1 = 1(1)
L1 – MathsI-Analyse – Fiche 1
1. Montrerquexest solution de(1)si et seulement si √ √ |x12|+|x13|(2)= 1 2. Trouverles solutionsuRnoitauqe´led|u2|+|u3|= 1(3). 3. Conclure. |x| Exercice 13PourxR, on poseg(x) =. 1 +|x| Montrerque,quelsquesoientlesre´elsxety,g(x+y)g(x) +g(y).
Exercice 14SoitnN. √ √1√ √ 1. Montrerque2n+ 12n <<2n2n1. n 2.Ende´duirelapartieentie`redunombrere´el 1 11 S= 1 +++. . .+. 2 310000  ! ! x x+ 1 Exercice 15Montrer que,xR,E =E +E(x). 2 2 Indication : on distinguera les casE(x)pair etE(x)impair.
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Exercice 16SoitnN. √ √ n n 1.Montrer(enutilisantlaformuledubinoˆmedeNewton)que(2 +(23) +3)est un entier pair. n 2.Ende´duirequeE((2 +3) )est un entier impair. ( 1si x/Z, Exercice 17Monter que :xRE(x) + E(x) =. 0sinon q1  X p(p1)(q1) Ende´duirequesip, qNtels quepq= 1alorsEk=. q2 k=1
Exercice 18SoientxRetnN. Montrer que 1.0E(nx)nE(x)n1.  ! 1 2.E E(nx) =E(x). n n1  X k 3.ExE(+ =nx). n k=0
Exercice 19SoitAR-a-tlie´.-Yenceetrivquenal 1)α >0,xA,xαet 2)x>A, x0?
Exercice 20Soientaetbepqulstetrourtourbmonxueslee´rsede´lexve´iratnx > bon aitax. Montrer queab.
Exercice 21SoientAetBdeux parties non vides deRtelles quexA,y< yB, x. Montrer queAreeuetupesri´eobnrutendaemBComparererieure.aenro´fnitemdbenusupAetinfB.
Exercice 22SoitAune partie non vide deR. Montrer que siAme´ltneso`spnpluedeuit´espeta(resp. unplusgrande´l´ementb), alorsApso`sedeuneborneinf´eirueerr(se.pobnresup´erieure)etinfA=a(resp. supA=b).
L1 – MathsI-Analyse – Fiche 1
Exercice 23SoitAR,A6=. Montrer quesup|xy|= sup(A)inf(A). x,yA
Exercice 24SoientA, Bmajor´eesdexpeudonseitratesedivnR. Montrer que A+B:={a+b;aA, bB}stejomaee´ruqteesup(A+B) = sup(A) + sup(B). ( ) m ∗ ∗ Exercice 25SoitAla partie deRein´deparA= ;mN, nN. mn+ 1 Montrer queAneorp´suaebunerullcca.eure.Leseinf´eriutenobnrreeiruee ( ) mn ∗ ∗ Exercice 26SoitAla partie deR´endriepaA= ;mN, nN. 2 2 m+n+ 1 Montrer queAenuanrobpuseire´´freeiru.eeLcslauecuerle.ertunebornein ( ) 1 1 1 ∗ ∗ Exercice 27SoitX= +;pN, qN. 2 2 p q pq Montrer queXospeds`mieretd´.ranerueire´pnoleuqeetuneurenesueborobnrueene´iriefn Indication:pourlexistencedelabornesup´erieure,onpourradabordremarquerque  ! ! 1 1 11− ≥0. 2 2 p q
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2 2 Exercice 28SoitA={x+y;xR, yR, xy= 1}. 1. MontrerqueAeiruqeeulno´dteerminera.ope`ssundeorebinneerf´ 2.Aposse`de-t-elleunebornesup´erieure? (  !) 1 Exercice 29SoitX+ ;= sinnN. Montrer queXetune´erieureospnrobpusede`senue 2n borneinf´erieurequelonde´terminera.
∗ ∗2 2 Exercice 30SoitA={xy;xR, yR, x+y2}. Montrer queAesupborneure´eripsoueen`sde + + etuneborneinfe´rieure.Lesd´eterminer. ( ) 1 nExercice 31SoitA= (;1) +nN. Montrer queAeobnrtuneureeerieinf´sspode`eebunneor n supe´rieure.Lesde´terminer.