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profil-mazor-2012

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Niveau: Secondaire, Lycée, Première

redaction

Les calculatrices sont autorisées. * * * NB : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre. * * * Les candidats peuvent utiliser la calculatrice pour faire leurs calculs et donner directement la réponse sur la copie. Ce sujet est composé de deux exercices et d'un problème tous indépendants. EXERCICE 1 On considère la fonction f de R2 dans R déﬁnie par : f(x, y) = y4 x2 + y2 si (x, y) 6= (0, 0) et f(0, 0) = 0. 1. Démontrer que la fonction f admet des dérivées partielles premières en (0, 0) que l'on déter- minera. 2. Démontrer que la fonction f est di?érentiable en (0, 0). EXERCICE 2 1. Rappeler la déﬁnition (par les suites) d'une partie compacte d'un espace vectoriel normé. 2. Soit E et F deux espaces vectoriels normés, et f une application continue de E dans F .

démonstration du théorème de convergence normale

epreuve specifique filiere

théorème de parseval

phénomène de gibbs

série de fourier

développement en série entière

entier naturel

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SESSION 2010 MPM1002

EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE MP
______________________

MATHEMATIQUES 1

Durée : 4 heures
_______________________________________________________________________________________________
2f R R
4y
f(x;y) = si (x;y) = (0;0) et f(0;0) = 0:
2 2x +y
f (0;0)
f (0;0)
E F f E F
A E f(A) F
f F
E
?,surdeuxsasemblerc?op2.ies)et.devrsontad'?noncponctionoursuivrlaeesaapplicationcerompqueositionren?esexpliquantl'olesrrtiableaisons2destioninitiativesompactequ'ilSoitanorm?s,?t?deamen?une?quepramen?endr.e.es*la*des*premi?resLeserrcandidatsd?ter-pteuvlaenestteutiliserEXERlaRappcalculatricenplesourpartiefaireespacelnorm?.eursetcalculsvetpdonnertindirectemendanstclacompacter?pd?mononseepsurunelaL'imagecopie.*Ce?sujetalculatricestrecompqueos?fonctiondeadmetdeuxd?rivexercicespartiellesetend'uneurprobl?mequetousnind?pminera.endanD?monts.reEXERqueCICEf1uneOndi?renconsid?reenla?trfonction.estCICEde1.andidatelercd?dansiun(pard?niesuitepard'une:cSid'undaction.v?ctorielr2.laluideeutoncisionespacescectorielslaet?uneeconlueetquicisione?Siprestilpartied'unedecompacte,atrern?cessairemen?runercompacteestsignalerpartiecompactede1/4.cr?ciproLparNBlapartie?de6est-elleclart?,tlapartie?dee?ortancandidatimpeande:gr*plus*laesaautorisattacheres1.cD?monLtsint
t7! ]0;]
tZ sint
I = t
t0
1X
k(u ) I = ( 1) u :k kk0
k=0

n n
n! n:n!n0 n1
+1X
kR = ( 1) u jRjn k n
k=n+1
2
2n I 10

f R 2
f(t) = 1 t2 ]0;[ f(0) =f() = 0:
n t
n 1X4 sin[(2k+1)t]
S (t) = :n
2k+1
k=0
(S )n n1
f R R
h i
;
2
f S10h i
; f
2
S20
S tn
n t
n 1X
T (t) = sin[(2k+1)t]:n
k=0
oualeurPuisapprocalculatrice,cdeh?eutilis?e,dular?ella.unedOnoseun?lapcourbOntervpr?s.tionPremi?renpartiehe:estPh?nom?nenatureldeD?monGibbstOntervconsid?relalaetfonctionfonction.graphique,d?nieestsurlaalledeimpairesoin,etcourbdesepv?rioinf?rieuresdedetervourl'inetvcon?riansuitetgraphique,:l'aidesursurt?grable0insinestefonctiontionadepdeour(b)lunquesurJustierte.(a)d?terminer,1.eetnpr?liminaireetartiecourbPfonctionGIBBSQueDEsurM?NEdesPH?NOlorsque:approOBL?ME0PRsup3.vOnCettepel?eoseibbs.poseourentoutnenr?el,tierergenaturelt(b)quenonSurnm?meuluniquemenet?ded'uner?el,traceraleurl'invalleladetfonctionpr?cisanusencourbre,deifoncdui?l'alluredlaEne(a).laquestionSla.tsurutilisanautreentracer,l'inRalleappd?croissaneleretleajorercourbD?mondetrer,fo?cl'aivdel'allured'unelas?rieedelaFecma.2/4colstate-t-onalessuiteesdefonctionsfonctionssuite,vd?vreloppcemendetparenaleurss?rie?rieuresconparvaleurserge?sim-particularit?plemenapptph?nom?nevGers5.lapfonctionpensuitesurtierti?renon.ulLalaconquevetergencevest-elle?rianune2.vuniforme(a)surtrerenla?4.ourier,que8n2N 8t2RrZ
2sin (nt)
T (t) = :n
sint
a b a<b
[a;b] 0;
2
M n
t2 [a;b] T (t)Mn
(w )n
n t2 [a;b] jf(t) S (t)jw :n n
sin[(2k+1)t] =T (t) T (t)k+1 k
(n;p) t2 [a;b]jS (t) S (t)jn+p n
f

0S (t) t2 0; nn 2
0 S (t) 0;n 2
x2 0; n
2Z Zx 2 sin(2nt) 1 sinu
S (x) = t S ( ) = un n n u sint n sin0 0 2n
(S ( ))n n n1
22 0; ; sin
2
0 1
@ Asup jS (x) f(x)jn
x2 0;] [2
n
f R C 2
n2Z Z 21 intc (f) = f(t)e t:n
2 0
c (f)n
R C 2
f R n2Z
c (f) = 0 fn
f R
C 2
f R C 2
R g
+1X
ipt ipt8t2R; g(t) =c (f)+ (c (f)e +c (f)e ):0 p p
p=1
g R n2Z
c (g) c (f)n n
alorsdconul,ouriernlenondenatureletiereenqueetestouretpulque,nomtreraD?monde(b)plus.,surr?sultatededfonctionl(c).v(c)pD?mon(b)ttiretoutrquequetellela0suifonctionusur.toutanndequifonctionaleursivtinetiteetp9.plusdelard?terminerlaetuniform?mencononctionvtierergenetqu'ilpr?cisetelsrosaquelimite.cetteOnsuitepDansourratrerutilisermorceauxsansetd?monstration?rio:.po?ouresttouttinour,ppCalculert(a)con6.une?estfonctionulle.lavdefonctionouriertFpardedanss?riep.r7.reD?montintdansreproquedonladesuitevlasurtuneconcernan:d?duirenonentoutontelle-onstutxisteeustiepetQuer?els.consid?re,(a)touteetquestionulsuenpnontiernaturels,tiersecd'en,couplefonctiontoutuourparnedecondansvetergeppasdevsersDans0.casDeuxi?melapartier:deD?monstrationconduueth?or?meedejustierconsivourergencevnormaleergeanPvourr?elsunesuitefonctionerptrouvconlatinnueCeparreste-t-ilmorceauxalabledela,eutdansseulemenrconetuedemorceauxpp?riol'ondedejore?riomaque,?onSoitnoteunepconouruettoutD?mon?deher?herci:dec.ourratps?rieonF,conqueergeertobserv,parerstfcommen?antoutEnet,ntoutnatureletenulournquenontenatureladctierun8.eRapprelerJle.th?or?mequedeetPbresardeuxsenv5.,alJus(avrecl'applicationlesestcotinesurcienpuistsourenentoutdeourlapexprimer,quev)soin,pqueour,uneenfonctiondepuisD?moncon(a)tint3/4ef =g
1f R C 2
n t
int intu (f)(t) =c (f)e +c (f)e :n n n
0c (f ) c (f)n n
t
1 1 2 20 0ju (f)(t)j + (jc (f )j +jc (f )j ):n n n2n 2
P
u (f) Rn
f
question,D?monLe.ers(b)vD?monergetrerth?or?mequeduireplaourtretoutrelation(b)?l'?nonc?tdeppfonctiontrersoin,?riodedeuneetcondetclassepr?ciserCfonction.parerr?el,l'onqued?mon.demorceaux.senonour10.aOnecpqueoses?rieetfonctionspestourfonctionetenenvtiernormalemenulsurconettinvuequelleDans(d)denoncdanslenaturelque,vienD?terminerdentrer.cetteph?nom?ne?Gibbsdeeut-ilD?monprotprecetter,(a)Finune(c)4/4r?el,

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