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Description

Niveau: Secondaire, Lycée, Première
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• dwf


• darcy


• loi de ward


• coefficients inertiels


• limite de validité de la loi de darcy cor- respond


• ecoulement


• modèle de perte de charge locale de dwf

Sujets

• Première
• Physique-chimie
• Écoulement

Informations

• Publié par: profil-mazor-2012
• Nombre de lectures: 19
• Langue: Français
• Poids de l'ouvrage: 5 Mo

Extrait

Lire la première partie de la thèseChapitre 9
Upscaling des écoulements inertiels
saturés DWF
(Darcy/Ward-Forchheimer)
9.1 Le Modèle de perte de charge locale de DWF
9.1.1 Quelques généralités
Les résultats obtenus précédemment ne sont valables que pour des nombres de Rey-
nolds faibles, c’est à dire pour des régimes d’écoulements où les forces visqueuses sont
dominantes et l’accélération inertielle faible. La limite de validité de la loi de Darcy cor-
respond à un nombre de Reynolds proche de 4 pour de nombreux milieux. Nous pouvons
citer les travaux expérimentaux menés par Wahuyudi et al., 2002 [136], qui trouve cette
limite, pour différents sables (Fontainebleau, Labenne, Hostun, Rheu et Loire sands),
pour un nombre de Reynolds de transition égal à 4.3 (correspondant à 5 % de dévia-
tion de la loi de Darcy). Ces expériences récentes, viennent confirmer les travaux menés
par Lindquist, 1933 [91] qui par une analyse minutieuse de travaux d’autres auteurs
montre que la loi de perte de charge linéaire de Darcy n’est valable pour des nombres
de Reynolds inférieurs ou proches de 4.
Dans des structures très ouvertes, comme celles présentes dans les aquifères kars-
tique, les nombres de Reynolds sont hors de ce domaine de validité. Les pertes de
charges inertielles ne peuvent pas y être négligées. Il en est de même pour les aqui-
fères très fissurés où, dans certains cas, les circulations naturelles dans ces massifs ont
été modifiées par l’homme, par exemple lors de la construction de barrage de surface
ou souterrain. La mise en place de ces ouvrages d’art entraine alors la modification
de l’hydromécanique, mais aussi des vitesses de circulation de l’eau au sein du massif
considéré.
153Chapitre 9. Upscaling des écoulements inertiels saturés DWF
(Darcy/Ward-Forchheimer)
Plusieurs approches existent pour la détermination de la macro-conductivité de DWF
et des coefficients inertiels, notamment par l’utilisation de développement multi-échelles,
Auriault et al, 2007 [10] ou encore par des analyses numériques et perturbatives, Fourar
et al, 2005 [49]. Ici, comme nous le verrons, nous prenons le parti de considérer une loi
locale de perte de charge linéaire/quadratique de Darcy/Ward-Forchheimer, et de sup-
poser que cette loi régit l’écoulement dans chacun des deux types de milieux (matrice,
et fissures). Puis nous allons réaliser une optimisation numériques sur les résultats ob-
tenus pour retrouver la formulation analytique du modèle équationnel macroscopique.
L’objectif principal de cette approche paramétrique est de mieux appréhender l’impact
de la morphologie et de l’état des connectivités sur la formulation macro-échelle de
Darcy-Ward-Forchheimer.
Dans une première partie "introductive", nous allons présenter le protocole expé-
rimental mis en place pour cette analyse d’upscaling inertiel en régime d’écoulement
permanent saturé. Puis dans une seconde partie, nous nous intéresserons au domaine de
validité de la formulation analytique de la macro-K de DWF. Enfin, dans une troisième
partie, nous essayerons d’analyser les coefficients inertiels macro-échelles obtenus par
ajustement optimal. Avant cela, rappelons le modèle de perte de charge locale utilisé,
déjà présenté précédemment.
9.1.2 Modèle local de perte de charge de DWF
Dans des structures ouvertes, les écoulements peuvent être laminaires, inertiels ou
pleinement turbulents. Pour ces classes d’écoulement, l’utilisation d’un modèle puis-
sance de la loi de perte de charge est couramment retenu dans la littérature pour modé-
liser les écoulements dans une fracture unique (Qian et al. 2005 [112] ; Wen et al. 2006
[138]) :
n−1 ~|q| ~q=−K? h, (9.1)
où n=1 pour des écoulements darciens, 1< n< 2 pour des écoulements inertiels et n= 2
pour des écoulements pleinement turbulents.
Dans l’étude réalisée ici, le modèle équationnel local de perte de charge utilisé est
celui de Darcy/Ward-Forchheimer, implémenté dans le code Volumes Finis BigFlow
(Ababou 1988 [5]). La version de BigFlow utilisée propose une forme dérivée de la loi
de Ward, généralisée aux écoulements 3D en milieu partiellement saturés, hétérogènes
et anisotropes (loi de Ward modifiée) définie par Ababou et Trégarot (2000 [133]) de la
manière suivante pour le cas saturé :
DW F DW F~˜~q =−K ? H (9.2)i ii
DW Foù K est un pseudo-tenseur des "conductivités hydrauliques modifiées" (à grandsii
1549.1 Le Modèle de perte de charge locale de DWF
nombre de Reynolds), non-linéaire à cause du terme quadratique de la loi de Ward :
2K (~x)iiDW F ~˜K (? H,~x)= (9.3)ii ~2 ~ ~ 1/2 1/2~+( + 4 K (~x)(? H K(~x)? H) )ii
avec :
i) = 1 ;
1/2 −3/2ii) = C/(g ) en (m/s) ;
iii) K (~x) est le tenseur de conductivité hydraulique de Darcy (diagonal),ii
iv) C = 0.55, coefficient adimentionnel d’Ergun,
v) i, j,k= x,y,z.
Cette formulation pouvant s’écrire pour des milieux anisotropes 2D et 3D, en générali-
D˜sant au cas où le K de Darcy n’est pas diagonal dans le repère utilisé :i j
j=3
HDW F DW F ~˜q = − K (? H,~x) , (9.4)?i ii x jj=1
Pour exemple, pour la première composante, nous avons :
HDW F DW F ~˜q = −K (? H,~x) ; (9.5)1 11 x1
avec :
2K (~x)iiDW F ~˜K (? H,~x) = . (9.6)ii 1/21/2
H H1+ 1+ 4 K (~x) ? ? K (~x)ii i ji j x xi j
La question que nous allons nous poser, et à laquelle nous allons essayer d’apporter
des éléments de réponse, concerne la formulation de ce modèle à l’échelle macrosco-
pique (changement d’échelle, prise de moyenne de ce modèle).
155
¶dgd¶¶¶¶g¶n¶d¶gChapitre 9. Upscaling des écoulements inertiels saturés DWF
(Darcy/Ward-Forchheimer)
9.2 Procédure d’upscaling et premiers résultats numé-
riques perméamétriques
9.2.1 Milieux et procédure d’étude
Milieux d’étude
Au cours de cette étude, nous allons nous intéresser à trois types de milieux, à savoir
des milieux binaires multicouches et des milieux binaires 2D et 3D purements aléa-
toires isotropes. Pour ces trois types de milieux, les fractions volumiques en inclusions
conductrices, , de 25 et 50 % vont être testées. Ces trois milieux ont été choisis enF
fonction des résultats déjà obtenus pour les écoulements darciens, et ceci afin de com-
prendre l’impact de la fraction volumique en inclusion et de l’état des connectivités (les
influences des phénomènes de percolation et de quasi-percolation) sur la solution de la
macro-K de DWF numérique obtenue.
En effet, ces trois milieux ont des comportements macroscopiques darciens très dif-
férents. Par exemple, pour des log-contrastes importants, et pour les milieux binaires 3D
purements aléatoires et stratifiés contenants 50% d’inclusions conductrices la solution
de la macro-K de Darcy est influencée essentiellement par les phénomènes de perco-
Dˆlation ( Y → 1) ; alors que pour des milieux binaires 2D aux mêmes log-contrastes
elle ne dépend pas des phénomènes de percolation, mais plutôt des phénomènes de
Dˆ"quasi-percolation" ( Y → 1/2). Ainsi, la comparaison des résultats obtenus pour ces
trois milieux, à fractions volumiques en inclusions et pour des log-contrastes fixés, nous
permettra de discuter de l’influence de l’état morphologique des milieux sur la solution
macroscopique de la macro-K de Darcy/Ward-Forchheimer et sur le domaine de validité
de la formulation proposée.
Pour les différents milieux testés, nous allons réaliser une variation du log-contraste
entre la phase conductrice et matricielle de 1 à 100000. Et les différentes expériences
numériques perméamétriques directes réalisées seront réalisées pour un milieu donné
sur une large gamme de nombre de Reynolds de Darcy/Ward-Forchheimer global, Re (DWF)i
éq. 9.7, allant de 0.001 à 1000. La variation du nombre de reynolds global sera obtenue
en faisant varier l’intensité du gradient macroscopique moyenh? Hi.
On pose :
s
D K DW F Re (DWF)= q˜ , (9.7)i ig
DWF −1où q˜ (m.s ) est la densité de flux moyenne de type Darcy/Ward-Forchheimer notéei
−2~DWF, obtenue par simulation directe celon la direction 0i, g = 9.81 m.s la gravité,
−6 2 −1 D −1= 1.15.e m .s la viscosité cinématique de l’eau à 15 degrés celcius et K (m.s )
la macro-K de Darcy.
156
k¶nk¶fn9.2 Procédure d’upscaling et premiers résultats numériques perméamétriques
Par la suite, pour simplifier les notations, nous noterons ce n