LSV 1ere annee Outils mathematiques

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Johannes Huebschmann

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Niveau: Secondaire, Lycée, Première
2011/12 : LSV 1ere annee Outils mathematiques J. Huebschmann USTL, UFR de Mathematiques 59655 Villeneuve d'Ascq Cedex, France Le 11 octobre 2011 1

recherche de la solution generale de l'equation homogene

definition de l'integrale de riemann

derivees partielles d'ordre superieur

proprietes elementaires de l'integrale

intervalle ouvert

lim x?x0

resp

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2011/12:LSV1`ereanne´e Outilsmathe´matiques

J. Huebschmann

USTL,UFRdeMath´ematiques

59655Villeneuved’AscqC´edex,France Johannes.Huebschmann@math.univ-lille1.fr

Le 11 octobre 2011

Contents 1Calculdiﬀe´rentiel4 1.1 Fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2Limites,continuite´...............................5 1.3De´riv´ees.....................................8 1.4 Fonctions hyperboliques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.5Fonctionsre´ciproques..............................10 1.5.1Fonctionsr´eciproquesdesfonctionshyperboliques..........10 1.5.2Fonctionsr´eciproquesdesfonctionscirculaires............11 1.6De´rive´essup´erieures;formulesdeTaylor...................12 1.7Convexit´e;pointsd’inﬂexion..........................12 1.8 Points critiques; extrema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.9D´eterminationpratiquedelimites`al’aidedesde´rive´es...........13 1.10 Variations d’une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.11Proce´de´dedessinerlegraphed’unefonction.................16 1.12Limitesauxbornesdel’ensembleded´eﬁnition................16 ´ 2Equationsdiﬀ´erentielles17 ´ 2.1 Equation diﬀ´ ntielles du premier ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 s ere ´ 2.1.1Equationsdiﬀ´erentielles`avariablesse´parables............18 ´ 2.1.2Equationsdiﬀ´erentielleslin´eaires...................19 2.1.3Recherchedelasolutionge´ne´raledel’´equationhomoge`ne......19 2.1.4Recherched’unesolutionparticuli`eredel’´equationdiﬀe´rentielleavec second membre non nul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ´ 2.2Equationsdiﬀe´rentiellesline´airesdusecondordre..............20 2.2.1Recherchedelasolutiong´en´eraledel’e´quationhomoge`ne......21 2.2.2Recherched’unesolutionparticuli`eredel’e´quationavecsecondmem-bre non nul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 3Calculinte´gral22 3.1D´eﬁnitiondel’inte´graledeRiemannd’unefonctiona`unevariable.....22 3.2Propri´ete´s´ele´mentairesdel’inte´grale.....................23 3.3Primitivesetinte´grales.............................23 3.4 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 3.5Inte´grationparparties.............................24 3.6 Changement de variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 3.7 Primitives de fractions rationnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 4Fonctionsa`plusieursvariables28 4.1Ge´ne´ralite´s...................................28 4.2De´rive´espartielles,de´rive´essuivantunvecteur................28 4.3De´rive´espartiellesd’ordresupe´rieur......................28 4.4 Fonctions de classeC`et de classeC∞. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 4.5Diﬀ´erentielle...................................29 4.6 Gradient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2

4.7 4.8 4.9 4.10 4.11

Matrice jacobienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Diﬀe´rentielled’uneapplicationcompose´e.................. 4.8.1 Cas particulier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . The´oremedeTaylor.............................. ` Points stationnaires, extrema locaux, maximum, minimum, point selle . . Recherchedeconditionspourqu’unpointcritiquere´aliseunextremum,en dimension 2 seulement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . .

30 31 33 33 34 34

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