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Niveau: Secondaire, Lycée, Terminale
Maıtrise de Mathematiques, Universite de Nice Sophia-Antipolis, Analyse Approfondie, Feuille 8, Annee 2004-2005. Exercice 1 (Solution elementaire de l'equation de la chaleur) 1. Montrer que pour tout N , IN = ∫ RN e?pi|x|2 dx = 1, ou |.| est la norme euclidienne de RN . (On commencera par le cas N = 1 en calculant I2 en coordonnees polaires.) 2. Soit ? : [0,+∞[t?RNx ? R et F(?)(t, ?) = ∫ RN e?2ipix·??(t, x) dx sa transformee de Fourier en x. Donner (sans justification) les expressions de F(∂xj?), F(?2iπxj?) et F(∂t?) en fonction de F(?). 3. En deduire que si ?(t, x) = ?(x) = e?pi|x|2, alors F(?)(t, ?) = F(?)(?) = e?pi|?|2 pour tout ? ? RN . 4. En deduire par changement de variable l'expression de F(?a)(?) pour ?a(x) = e?pia 2|x|2 ou a ? R?. 5. On cherche a resoudre ∂tE ?∆xE = 0, dans ]0,+∞[t?RNx , (1) avec la condition initiale E(0, x) = ?(x).

fn ?f dans h1w

norme euclidienne de rn

solution classique

support dans la boule unite

theoreme de rellich

equation differentielle

solution elementaire de l'equation de la chaleur

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MaˆıtrisedeMathe´matiques,Universit´edeNiceSophiaAntipolis, AnalyseApprofondie,Feuille8,Anne´e20042005.

Exercice1(Solutione´le´mentairedel’e´quationdelachaleur)

1. Montrerque pour toutN, Z 2 −π|x| IN=e dx= 1, N R N ou`|.|est la norme euclidienne deR. (Oncommencera par le casN= 1 en calculantI2en coordonne´espolaires.) N 2. Soitϕ: [0Ret ,+∞[t×Rx→ Z −2iπx∙ξ F(ϕ)(t, ξ) =e ϕ(t, x)dx N R satransform´eedeFourierenx(sans justiﬁcation) les expressions de. DonnerF(∂xjϕ), F(−2iπxjϕ) etF(∂tϕ) en fonction deF(ϕ). 2 2 −π|x| −π|ξ| 3.Ende´duirequesiϕ(t, x) =φ(x) =e, alorsF(φ)(t, ξ) =F(φ)(ξ) =epour tout N ξ∈R. 2 2 −πa|x| 4.End´eduireparchangementdevariablel’expressiondeF(ϕa)(ξ) pourϕa(x) =euo` ∗ a∈R. 5.Oncherche`are´soudre N ]0,+∞[×, ∂tE−ΔxE= 0,danstRx(1) avec la condition initiale E(0, x) =δ(x). Ecrirel’e´quationdiﬀ´erentielleordinaireentet la condition initiale entalrap0v=eeﬁ´ri´e N fonctiont7→ F(E)(t, ξ) pour toutξ∈R.nEiuer´ddeF(E)(t, ξ) puisE(t, x) solution de (1).

Exercice2(R´egularisation) ∞N Soitθ∈C(Rale1´egr’inteetdtivip,so´meeferet´nieuulbolansdatroppusa`)pnO.eso   1x θα(x) =Nθpourα >0. α α 1. Sifcompactdaanssupportitunee`tsectnoK, montrer quef∗θαpaomctuspproctetsa` dansKα={x; dist (x, K)≤α}. p Np N 2. Soitp∈[0,+∞[. Sif∈L(R), alorsf∗θα∈L(R) et kf∗θαkp≤ kfkp. ′ 1/p1/p′ (Onpourra´ecriref(x−αz)θ(z) = (f(x−αz)θ(z) )(θ(z))u`op´uejngusteexl’sapocont dep.) 0N pN 3. Sif∈C(R), alorsf∗θα→f´mrofinutdteenemsanL(R). c α→0 p Np N 4. Soitp∈[0,+∞[. Sif∈L(R), alorsf∗θα→finL(R). α→0 0p (On supposera connu queCest dense dansL). c 1N1N 5. Sif∈Llocalors( ),f∗θα→fdansLc( ). R R lo α→0

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