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Maıtrise de Mathematiques Universite de Nice Sophia Antipolis Analyse Approfondie Feuille Annee

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Niveau: Secondaire, Lycée, TerminaleMaıtrise de Mathematiques, Universite de Nice Sophia-Antipolis, Analyse Approfondie, Feuille 8, Annee 2004-2005. Exercice 1 (Solution elementaire de l'equation de la chaleur) 1. Montrer que pour tout N , IN = ∫ RN e?pi|x|2 dx = 1, ou |.| est la norme euclidienne de RN . (On commencera par le cas N = 1 en calculant I2 en coordonnees polaires.) 2. Soit ? : [0,+∞[t?RNx ? R et F(?)(t, ?) = ∫ RN e?2ipix·??(t, x) dx sa transformee de Fourier en x. Donner (sans justification) les expressions de F(∂xj?), F(?2iπxj?) et F(∂t?) en fonction de F(?). 3. En deduire que si ?(t, x) = ?(x) = e?pi|x|2, alors F(?)(t, ?) = F(?)(?) = e?pi|?|2 pour tout ? ? RN . 4. En deduire par changement de variable l'expression de F(?a)(?) pour ?a(x) = e?pia 2|x|2 ou a ? R?. 5. On cherche a resoudre ∂tE ?∆xE = 0, dans ]0,+∞[t?RNx , (1) avec la condition initiale E(0, x) = ?(x).fn ?f dans h1w norme euclidienne de rn solution classique support dans la boule unite theoreme de rellich equation differentielle solution elementaire de l'equation de la chaleur
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Français

MaˆıtrisedeMathe´matiques,Universit´edeNiceSophiaAntipolis, AnalyseApprofondie,Feuille8,Anne´e20042005.
Exercice1(Solutione´le´mentairedele´quationdelachaleur)
1. Montrerque pour toutN, Z 2 π|x| IN=e dx= 1, N R N ou`|.|est la norme euclidienne deR. (Oncommencera par le casN= 1 en calculantI2en coordonne´espolaires.) N 2. Soitϕ: [0Ret ,+[t×RxZ 2iπxξ F(ϕ)(t, ξ) =e ϕ(t, x)dx N R satransform´eedeFourierenx(sans justification) les expressions de. DonnerF(xjϕ), F(2iπxjϕ) etF(tϕ) en fonction deF(ϕ). 2 2 π|x| −π|ξ| 3.Ende´duirequesiϕ(t, x) =φ(x) =e, alorsF(φ)(t, ξ) =F(φ)(ξ) =epour tout N ξR. 2 2 πa|x| 4.End´eduireparchangementdevariablelexpressiondeF(ϕa)(ξ) pourϕa(x) =euo` aR. 5.Oncherche`are´soudre N ]0,+[×, tEΔxE= 0,danstRx(1) avec la condition initiale E(0, x) =δ(x). Ecrirele´quationdi´erentielleordinaireentet la condition initiale entalrap0v=ee´ri´e N fonctiont7→ F(E)(t, ξ) pour toutξR.nEiuer´ddeF(E)(t, ξ) puisE(t, x) solution de (1).
Exercice2(R´egularisation) N SoitθC(Rale1´egrinteetdtivip,so´meeferet´nieuulbolansdatroppusa`)pnO.eso   1x θα(x) =Nθpourα >0. α α 1. Sifcompactdaanssupportitunee`tsectnoK, montrer quefθαpaomctuspproctetsa` dansKα={x; dist (x, K)α}. p Np N 2. Soitp[0,+[. SifL(R), alorsfθαL(R) et kfθαkp≤ kfkp. 1/p1/p(Onpourra´ecriref(xαz)θ(z) = (f(xαz)θ(z) )(θ(z))u`op´uejngusteexlsapocont dep.) 0N pN 3. SifC(R), alorsfθαf´mrofinutdteenemsanL(R). c α0 p Np N 4. Soitp[0,+[. SifL(R), alorsfθαfinL(R). α0 0p (On supposera connu queCest dense dansL). c 1N1N 5. SifLlocalors( ),fθαfdansLc( ). R R lo α0
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