Maıtrise de Mathematiques Universite de Nice Sophia Antipolis Analyse Approfondie Feuille Annee

Description

Niveau: Secondaire, Lycée, Terminale
Maıtrise de Mathematiques, Universite de Nice Sophia-Antipolis, Analyse Approfondie, Feuille 8, Annee 2004-2005. Exercice 1 (Solution elementaire de l'equation de la chaleur) 1. Montrer que pour tout N , IN = ∫ RN e?pi|x|2 dx = 1, ou |.| est la norme euclidienne de RN . (On commencera par le cas N = 1 en calculant I2 en coordonnees polaires.) 2. Soit ? : [0,+∞[t?RNx ? R et F(?)(t, ?) = ∫ RN e?2ipix·??(t, x) dx sa transformee de Fourier en x. Donner (sans justification) les expressions de F(∂xj?), F(?2iπxj?) et F(∂t?) en fonction de F(?). 3. En deduire que si ?(t, x) = ?(x) = e?pi|x|2, alors F(?)(t, ?) = F(?)(?) = e?pi|?|2 pour tout ? ? RN . 4. En deduire par changement de variable l'expression de F(?a)(?) pour ?a(x) = e?pia 2|x|2 ou a ? R?. 5. On cherche a resoudre ∂tE ?∆xE = 0, dans ]0,+∞[t?RNx , (1) avec la condition initiale E(0, x) = ?(x).

• fn ?f dans h1w


• norme euclidienne de rn


• solution classique


• support dans la boule unite


• theoreme de rellich


• equation differentielle


• solution elementaire de l'equation de la chaleur

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• Théorème de Rellich
• Équation différentielle

Informations

• Publié par: profil-zyan-2012
• Nombre de lectures: 17
• Langue: Français

Extrait

MaˆıtrisedeMathe´matiques,Universit´edeNiceSophiaAntipolis, AnalyseApprofondie,Feuille8,Anne´e20042005.

Exercice1(Solutione´le´mentairedel’e´quationdelachaleur)

1. Montrerque pour toutN, Z 2 −π|x| I N =e dx= 1, N R N ou`|.|est la norme euclidienne de R . (Oncommencera par le casN= 1 en calculantI 2 en coordonne´espolaires.) N 2. Soitϕ: [0 R et ,+∞[ t × R x → Z −2iπx∙ξ F(ϕ)(t, ξ) =e ϕ(t, x)dx N R satransform´eedeFourierenx(sans justification) les expressions de. DonnerF(∂ x j ϕ), F(−2iπx j ϕ) etF(∂ t ϕ) en fonction deF(ϕ). 2 2 −π|x| −π|ξ| 3.Ende´duirequesiϕ(t, x) =φ(x) =e, alorsF(φ)(t, ξ) =F(φ)(ξ) =epour tout N ξ∈ R . 2 2 −πa|x| 4.End´eduireparchangementdevariablel’expressiondeF(ϕ a )(ξ) pourϕ a (x) =euo` ∗ a∈ R . 5.Oncherche`are´soudre N ]0,+∞[×, ∂ t E−Δ x E= 0,dans t R x (1) avec la condition initiale E(0, x) =δ(x). Ecrirel’e´quationdiff´erentielleordinaireentet la condition initiale entalrap0v=eefi´ri´e N fonctiont7→ F(E)(t, ξ) pour toutξ∈ R .nEiuer´ddeF(E)(t, ξ) puisE(t, x) solution de (1).

Exercice2(R´egularisation) ∞N Soitθ∈C( R ale1´egr’inteetdtivip,so´meeferet´nieuulbolansdatroppusa`)pnO.eso   1x θ α (x) = N θpourα >0. α α 1. Sifcompactdaanssupportitunee`tsectnoK, montrer quef∗θ α paomctuspproctetsa` dansK α ={x; dist (x, K)≤α}. p Np N 2. Soitp∈[0,+∞[. Sif∈L( R ), alorsf∗θ α ∈L( R ) et kf∗θ α k p ≤ kfk p . ′ 1/p1/p′ (Onpourra´ecriref(x−αz)θ(z) = (f(x−αz)θ(z) )(θ(z))u`op´uejngusteexl’sapocont dep.) 0N pN 3. Sif∈C( R ), alorsf∗θ α →f´mrofinutdteenemsanL( R ). c α→0 p Np N 4. Soitp∈[0,+∞[. Sif∈L( R ), alorsf∗θ α →finL( R ). α→0 0p (On supposera connu queCest dense dansL). c 1N1N 5. Sif∈L loc alors( ),f∗θ α →fdansL c ( ). R R lo α→0