Polynomes Quelques demonstrations sautees en cours
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Niveau: Secondaire, Lycée, PremièrePolynomes. Quelques demonstrations sautees en cours 1er fevrier 2011 Division euclidienne : existence a l'aide d'un algorithme En cours, nous avons justifie l'existence de la division euclidienne en « posant » la division, methode que l'on connaıt depuis le college. Nous reecrivons ici la methode du college sous la forme d'un algorithme qui etant donnes des polynomes A ? K[X] et B ? K[X] avec B 6= 0 construit un couple (Q,R) de polynomes dans K[X] verifiant A = QB +R (1) deg(R) produit vide algorithme de division euclidienne ?i identites remarquables sur les coefficients binomiaux racines reelles polynomes de degre
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Polynˆomes.Quelquesd´emonstrationssaut´eesencours
er 1fe´vrier2011
Divisioneuclidienne:existencea`l’aided’unalgorithme
Encours,nousavonsjustifi´el’existencedeladivisioneuclidienneen«posant»uqeohed´mteoi,nadlisiv l’onconnaˆıtdepuislecolle`ge. Nousre´e´crivonsicilam´ethodeducolle`gesouslaformed’unalgorithmemeˆoynolstenadtno´nseedpsqui´ A∈K[X] etB∈K[X] avecB6= 0 construit un couple (Q, Rd)peoˆemlonynadssK[Xe´v]afiirnt A=Q B+R(1) deg(R)<deg(B) (2) 1 Dansl’algorithmedonn´e,deg(Polnp’uedr´egedelngise´d)emnyoˆP; dom(P) le coefficient dominant deP,si P6abrivanermfoinleeuqitaLors=0.cnnouqo’reueis`da,erirce´a←0signifiequ’onaaefftce´a`ala valeur 0.
Div(A, B) Entr´ee:A, B∈K[X] avecB6= 0. 2 Sortie :(Q, R)∈K[X.)2(te)1ant(erifi]v´ 1.R←A. 2.Q←0. 3. si deg(R)<deg(B),allez en 7. dom(R) deg(R)−deg(B) 4.Q←Q+X . dom(B) dom(R) deg(R)−deg(B) 5.R←R−X B. dom(B) 6. allez en 3. 7.Retourner(Q, R).
Fig.1 – Algorithme de division euclidienne
2 Lorsqu’uninformaticiena´ecritunalgorithme,ildoitmontrerque: T.sonalgorithmes’arreˆtetoujoursquellesquesoientlesentre´es.Onparlealorsdeterminaison; C.sonalgorithmeretournetoujoursunre´sultatcorrect,quellesquesoientlesentr´ees.Onparlealorsde correction. Pour s’assurer de la terminaison et de la correction de son algorithme, l’informaticien peut mettre en ´evidence: T.unequantite´quinesauraitde´croˆıtreind´efinimentaucoursdel’algorithme; C.unequantit´einvarianteaucoursdel’algorithme. 1 Lapre´sentationestvolontairementdiff´erented’unepre´sentation`alaMaple.Ils’agitd’unepre´sentation`alabasicavecdes ´etiquettesetdespointsdebranchement.Cecidit,vouspouvezessayerdelapr´esenterdansunformatMaple. 2 Terminaison et correction sont les mamelles de l’algorithmique.
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