PSI Mai MATHEMATIQUES

Description

Niveau: Secondaire, Lycée, Terminale
PSI Mai 2010 MATHEMATIQUES Préparation à l'oral Planche 1 : (CCP 09) Exercice 1 : Soit E = IR3 et ?1, ?2, ?3 les formes linéaires sur E définies par : ?x = (x1, x2, x3) ? E,?1(x1, x2, x3) = x1 + 2x2 ? x3, ?2(x1, x2, x3) = x2 ? x3, ?3(x1, x2, x3) = x1 + 2x2. Montrer (?1, ?2, ?3) est une base de E? et déterminer sa base antéduale. Exercice 2 : Soit nIN?. 1) L'application t ? √ te?nt est-elle intégrable sur IR+ ? 2) Calculer ∫ +∞ 0 √ te?ntdt sachant que ∫ +∞ 0 e ?t2dt = √ pi 2 . 3) Montrer que ∫ +∞ 0 √ t et ? 1 dt = √ pi 2 +∞∑ n=1 1 n √ n Planche 2 : (CCP 09) Exercice 1 : Montrer que, si C ? Mn(IR), vérifie : ?X ? Mn(IR), det(C + X) = det(X), alors elle est nulle (on pourra chercher le rang de C). Montrer que, si A et B de Mn(IR), vérifient : ?X ?Mn(IR), det(A+X) = det(B+X), alors A = B.

• courbe


• trice dans la base canonique de la projection orthogonale


• développement en série entière au voisinage


• equation cartésienne


• a1 a1


• déterminant de la matrice


• base de e?

Sujets

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• Première
• Courbe
• Équation cartésienne

Informations

• Publié par: profil-zyan-2012
• Date de parution: 01 mai 2010
• Nombre de lectures: 38
• Langue: Français

Extrait

PSI MATHEMATIQUES

Planche 1: (CCP 09)

Mai 2010

PrÉparation À l’oral

Exercice 1: 3 SoitE=IRetϕ 1 , ϕ 2 , ϕ 3 les formes linÉaires surEdÉfinies par :∀x= (x 1 , x 2 , x 3 )∈ E, ϕ 1 (x 1 , x 2 , x 3 ) =x 1 + 2x 2 −x 3 , ϕ 2 (x 1 , x 2 , x 3 ) =x 2 −x 3 , ϕ 3 (x 1 , x 2 , x 3 ) =x 1 + 2x 2 . ∗ Montrer(ϕ 1 , ϕ 2 , ϕ 3 )est une base deEet dÉterminer sa base antÉduale.

Exercice 2: ∗ SoitnIN. √ −nt 1) L’applicationt→teest-elle intÉgrable surIR + ? √ R √ R 2 +∞+∞ π −nt−t 2) Calculerte dtsachant quee dt=. 0 0 2 √ Z √ +∞ +∞ X t π1 3) Montrer quedt= √ t 0 e−1 2 n n n=1

Planche 2: (CCP 09)

Exercice 1: Montrer que, siC∈ M n (IR), vÉrifie :∀X∈ M n (IR), det(C+X) =det(X), alors elle est nulle (on pourra chercher le rang deC). Montrer que, siAetBdeM n (IR), vÉrifient :∀X∈ M n (IR), det(A+X) =det(B+X), alorsA=B.

Exercice 2: 1 Montrer que la suite rÉelle(x n ) n dÉfinie parx 0 ∈[a, b]et∀n∈t, x n+1 = (f(x n ) +x n ) 2 oÙfest contractante de[a, b]dans[a, b], converge vers un point fixe def.

Planche 3: (CCP 09)

n X ∗ Exercice 1: Pourn∈IN, On poseH(n) =. k=1 1. Montrer queH(n) =ln(n) +γ+o(1). X 1 2. En dÉduire convergence et somme de. (2n+ 1)n n≥1 Exercice 2: 1) Soit(x 1 ,∙ ∙ ∙, x n )n rÉels distincts deux À deux. j−1 ) Calculer le dÉterminant de la matrice(x i 1≤i,j≤n . 2) SoientPun polynÔme de degrÉnet(a 0 ,∙ ∙ ∙, a n )des scalaires deux À deux distincts. Montrer que(P(X+a i ))est une base deIK n [X]. 0≤i≤n 4 3) Calculer, pour(a, b, c, d)∈IK, :

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