PSI Mai MATHEMATIQUES
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2010
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Niveau: Secondaire, Lycée, TerminalePSI Mai 2010 MATHEMATIQUES Préparation à l'oral Planche 1 : (CCP 09) Exercice 1 : Soit E = IR3 et ?1, ?2, ?3 les formes linéaires sur E définies par : ?x = (x1, x2, x3) ? E,?1(x1, x2, x3) = x1 + 2x2 ? x3, ?2(x1, x2, x3) = x2 ? x3, ?3(x1, x2, x3) = x1 + 2x2. Montrer (?1, ?2, ?3) est une base de E? et déterminer sa base antéduale. Exercice 2 : Soit nIN?. 1) L'application t ? √ te?nt est-elle intégrable sur IR+ ? 2) Calculer ∫ +∞ 0 √ te?ntdt sachant que ∫ +∞ 0 e ?t2dt = √ pi 2 . 3) Montrer que ∫ +∞ 0 √ t et ? 1 dt = √ pi 2 +∞∑ n=1 1 n √ n Planche 2 : (CCP 09) Exercice 1 : Montrer que, si C ? Mn(IR), vérifie : ?X ? Mn(IR), det(C + X) = det(X), alors elle est nulle (on pourra chercher le rang de C). Montrer que, si A et B de Mn(IR), vérifient : ?X ?Mn(IR), det(A+X) = det(B+X), alors A = B.courbe trice dans la base canonique de la projection orthogonale développement en série entière au voisinage equation cartésienne a1 a1 déterminant de la matrice base de e?
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PSI MATHEMATIQUES
Planche 1: (CCP 09)
Mai 2010
PrÉparation À l’oral
Exercice 1: 3 SoitE=IRetϕ1, ϕ2, ϕ3les formes linÉaires surEdÉfinies par :∀x= (x1, x2, x3)∈ E, ϕ1(x1, x2, x3) =x1+ 2x2−x3, ϕ2(x1, x2, x3) =x2−x3, ϕ3(x1, x2, x3) =x1+ 2x2. ∗ Montrer(ϕ1, ϕ2, ϕ3)est une base deEet dÉterminer sa base antÉduale.
Exercice 2: ∗ SoitnIN. √ −nt 1) L’applicationt→teest-elle intÉgrable surIR+? √ R√R2 +∞+∞π −nt−t 2) Calculerte dtsachant quee dt=. 0 02 √ Z√+∞ +∞ X t π1 3) Montrer quedt=√ t 0e−1 2n n n=1
Planche 2: (CCP 09)
Exercice 1: Montrer que, siC∈ Mn(IR), vÉrifie :∀X∈ Mn(IR), det(C+X) =det(X), alors elle est nulle (on pourra chercher le rang deC). Montrer que, siAetBdeMn(IR), vÉrifient :∀X∈ Mn(IR), det(A+X) =det(B+X), alorsA=B.
Exercice 2: 1 Montrer que la suite rÉelle(xn)ndÉfinie parx0∈[a, b]et∀n∈t, xn+1= (f(xn) +xn) 2 oÙfest contractante de[a, b]dans[a, b], converge vers un point fixe def.
Planche 3: (CCP 09)
n X ∗ Exercice 1: Pourn∈IN, On poseH(n) =. k=1 1. Montrer queH(n) =ln(n) +γ+o(1). X 1 2. En dÉduire convergence et somme de. (2n+ 1)n n≥1 Exercice 2: 1) Soit(x1,∙ ∙ ∙, xn)n rÉels distincts deux À deux. j−1 ) Calculer le dÉterminant de la matrice(xi1≤i,j≤n. 2) SoientPun polynÔme de degrÉnet(a0,∙ ∙ ∙, an)des scalaires deux À deux distincts. Montrer que(P(X+ai))est une base deIKn[X]. 0≤i≤n 4 3) Calculer, pour(a, b, c, d)∈IK, :
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