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profil-ondu-2012

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Français

Niveau: Secondaire, Lycée, Première

cours - matière potentielle : is

cours - matière potentielle : ipe

Université des Sciences et Technologies de Lille U.F.R. de Mathématiques Pures et Appliquées IS Math314 Année 2004-2005 Examen, 20 mai 2005, durée 3 heures. – Ce sujet comporte 3 pages. – Documents autorisés : polycopié du cours IPE, polycopié Simulation, notes ma- nuscrites du cours d'IS. – Calculatrices autorisées. Ex 1. Estimation du paramètre de position de la loi log-normale (8 points) On rappelle qu'une variable aléatoire Y suit la loi gaussienne N(m,?), de paramètres m ? R et ? ? R?+, si elle admet pour densité la fonction g : R? R, y 7?? 1 ? √ 2pi exp ( ? (y ?m)2 2?2 ) . On sait qu'alors Y admet des moments de tout ordre et que EY = m, VarY = ?2. Ces affirmations préliminaires sur les lois gaussiennes, n'ont pas à être redémontrées dans les copies. 1) Exprimez E(Y 2) en fonction des paramètres m et ?. 2) On dit qu'une variable aléatoire X suit la loi log-normale de paramètres m et ?, avec m ? R et ? ? R?+, si elle admet pour densité la fonction f : R? R, x 7?? 1 x? √ 2pi exp ( ? (lnx?m)2 2?2 ) 1]0,+∞[(x).

inter-quartiles

loi cau

variable aléatoire

estimation de quantiles

appelé écart

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IS Math314

Université U.F.R. de

des Sciences et Mathématiques

Technologies de Lille Pures et Appliquées

Examen,20mai2005,durée3heures.

Année 2004-2005

– Cesujet comporte 3 pages. – Documentsautorisés : polycopié du cours IPE, polycopié Simulation, notes ma-nuscrites du cours d’IS. – Calculatricesautorisées.

Ex 1.Estimation du paramètre de position de la loi log-normale (8 points) On rappelle qu’une variable aléatoireYsuit la loi gaussienneN(m, σ), de paramètres ∗ m∈Retσ∈R, si elle admet pour densité la fonction + 2 1 (y−m) g:R→R, y√→−7exp−. 2 σ2π2σ On sait qu’alorsYadmet des moments de tout ordre et que 2 EY=m,VarY=σ . Ces aﬃrmations préliminaires sur les lois gaussiennes, n’ont pas à être redémontrées dans les copies. 2 1) ExprimezE(Y)en fonction des paramètresmetσ. 2) Ondit qu’une variable aléatoireXsuit la loi log-normale de paramètresmetσ, ∗ avecm∈Retσ∈R, si elle admet pour densité la fonction + 2 1 (lnx−m) f:R→R, x−7√→exp−1]0,+∞[(x). 2 xσ2π2σ ∗ La fonctionfest donc nulle surR−et strictement positive surR. Vériﬁez à l’aide d’un + changement de variable quefest bien une densité de probabilité surR. 3) Vériﬁezde même que la variable aléatoirelnXa des moments de tout ordre et que 2 E(lnX) =m,Var(lnX) =σ . 4) Onse propose dans la suite de l’exercice d’étudier l’estimation du paramètre m. Pour cela on dispose d’un échantillonobservéX1(ω), . . . , Xn(ω)avecngrand. On considère donc que les variables aléatoiresXiutilisées ici sont indépendantes et de même loi queXet ceci, quelles que soient les valeurs prises par les paramètresmetσ. En utilisant la question précédente, proposez en justiﬁant votre réponse, un estimateurTn demqui soitfortement consistant,i.e.presque-sûrement convergent versmlorsquen tend vers+∞.

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