UNIVERSITE HENRI POINCARE NANCY I FACULTE DES SCIENCES

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davaj

Date de parution

01 janvier 2010

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Français

Niveau: Secondaire, Lycée, Première
UNIVERSITE HENRI POINCARE NANCY I FACULTE DES SCIENCES EXAMEN DE JANVIER 2010 Licence LCMA - 1ère année Durée du sujet : 3H Analyse 1 - Semestre d'automne Responsable : G. Eguether Calculatrices non autorisées Documents non autorisés Exercice 1 Calculer la dérivée n?ième de la fonction f définie sur ] 0, +∞ [ par f(x) = 1√x . On exprimera le résultat final avec des factorielles. Exercice 2 Soit f une fonction définie et continue sur [u, v ] , dérivable sur ]u, v [ , telle que f(u) = f(v) = 0, et soit a un nombre réel n'appartenant pas à [u, v ] . En introduisant la fonction g définie sur [u, v ] par g(x) = f(x)x? a , montrer qu'il existe c dans ]u, v [ tel que f ?(c) = f(c)c? a . Faire un dessin illustrant le résultat obtenu. Exercice 3 Calculer les intégrales I = pi/4 ∫ 0 dx cos x(sinx + cos x) et J = 1 ∫ 0 x arctan x dx . T.S.V.P 1

x2e?4x2 ?

théorème d'encadrement

croissance comparée des puissances et des exponentielles

coefficient directeur de la tangente

positive entre ? √

Voir

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Français

UNIVERSITE HENRI POINCARE NANCY I FACULTE DES SCIENCES

EXAMEN DE JANVIER 2010

Licence LCMA 1ère année Analyse 1  Semestre d’automne Calculatrices non autorisées

Durée du sujet : 3H Responsable : G. Eguether Documents non autorisés

Exercice 1

Calculer la dérivéen−ième de la fonctionfdéﬁnie sur] 0,+∞[par

f(x) =

1 . x

On exprimera le résultat ﬁnal avec des factorielles.

Exercice 2

Soitfune fonction déﬁnie et continue sur[u, v], dérivable sur]u, v[, telle quef(u) =f(v) = 0, et soitaun nombre réel n’appartenant pas à[u, v]. En introduisant la fonctiongdéﬁnie sur[u, v]par