UNIVERSITE HENRI POINCARE NANCY I FACULTE DES SCIENCES

Niveau: Secondaire, Lycée, Première
UNIVERSITE HENRI POINCARE NANCY I FACULTE DES SCIENCES EXAMEN D'OCTOBRE 2009 Licence LCMA - 1ère année Durée du sujet : 1h30 Analyse 1 - Semestre d'automne Responsable : G. Eguether Calculatrices non autorisées Documents non autorisés Exercice 1 Trouver un équivalent simple de la suite (un)n≥1 définie par un = √ n +√n? √ n + 3√n ln(n +√n) . Exercice 2 Soit la suite (un)n≥1 de nombres réels strictement positifs définie par la donnée de u1 > 0, et, pour tout n ≥ 1, la relation un+1 = nun nun + 1 . a) Montrer que la suite (un)n≥1 est majorée. b) Pour n ≥ 2, étudier le signe de n?(n+1)un+1, et en déduire que la suite (un)n≥1 est monotone à partir d'un rang n0 que l'on précisera. c) Montrer que la suite (un) converge vers une limite ? non nulle, calculer cette limite et trouver un équivalent simple de ?? un. Exercice 3 Soit trois fonctions f , g, h définies sur [ a, +∞ [ telles que, les fonctions f et h soient équiva- lentes au voisinage de +∞ et telles que pour tout x de [ a, +∞ [ , on ait 0 < f(x) ≤ g(x) ≤ h(x).

• théorèmes sur les limites de sommes et de quotients


• n? √


• théorème d'encadrement


• semestre d'automne responsable


• signe de n?