Université Joseph Fourier Master Physique
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Description

Niveau: Secondaire, Lycée, Première
Université Joseph Fourier. Master 1 Physique 2011-12 TD de mécanique quantique. TD n°12 Solutions Théorie des perturbations stationnaire de niveaux dégénérés E?et Stark ref : [1, p.527] 1 Rappels sur les fonctions d'ondes électroniques de l'atome d'Hydrogène 1. Comme l = 0 ? n ? 1,m = ?l ? +l donne n2 possibilités à n fixé, le niveau En a une dégénérescence 2n2 (le facteur 2 est à cause du spin ±1/2~ de l'électron). 2. Schémas : 2 Perturbation premier ordre 1. On a H1 = qV (~x), où q = ?e, et ~E = E ~uz = ? ~gradV . Donc V = ?Ez, et H1 = eEz = eEr cos ? Au premier ordre des perturbations, l'énergie du niveau 1s (n = 1) s'écrit : E(1)1 = E (0) 1 + eE ??1,0,0|z|?1,0,0? La fonction |?1,0,0| 2 est paire alors que z est impair : par intégration, l'élément de matrice est donc nul. L'énergie du niveau 1s n'est pas modifiée au premier ordre des perturbations. 1

  • ??1

  • ±1

  • td n°12

  • pi?0r

  • cause du spin ±1

  • h0 ?

  • sin ?

  • eer cos


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Exrait

12
2l = 0! n 1m = l! +l n n En
22n 2 1=2~
~ ~H =qV (~x) q = e E =Eu~ = gradV V = E z1 z
H =eEz =eEr cos1
n = 1
(1) (0)
E =E +eEh jzj i1;0;0 1;0;01 1
2
j j z1;0;0
phdes?causemasctron):1s2?PperturbationAupremierduordredu1.rOnd?g?n?resceax?,TDfonctionStarkaux2011-12ordreysiquerbations,Phea1TDMasters'?critourier.estFfacte,Th?o?aJosephnivl'atome?deations,quanetdeersit?d??lectroniquespremierd'ondesdesfonctionsertulesl'?nergiesurnivrefuels(UnivspinRapp)tique.:est?alorsnScuimpair(leparSolutionst?gratince,unetoriematriceeaudoncleul.pduossibilit?seauerturbn'estLadem?canique2..el'?ledenivestationnairmo1pairep.527]que.estDonc:[1,in:onCommel'?l?men1.de,estetnd'Hydrog?neL'?nergiedonnenivdi?e1spremierpasdeserturbations.au?sordreEetpg?n?r1,n = 2 H 0 2;0;0P
(H +H ) = E = a 2;1;0 2;1;1 0 1 2 l;m 2;l;ml;m
E a2 l;m
X X
a (H +H )j i = a E j il;m 0 1 2;l;m l;m 2 2;l;m
l;m l;m
(0)
0 0j i H j i =E j i2;l ;m 0 2;l;m 2;l;m2
X
0 0 0 0a h jHj i = Eal;m 2;l ;m 1 2;l;m l ;m
(l;m)
(0)
E =E E2 2
H1
2;0;0 2;1;m
’ m =1
Z Z Z
2h jr cosj i = dr (R R r)r d’ d Y Y cos sin2;1;0 2;0;0 2;0 2;1 0;0 1;0
=:::
= 3a0
h jHj i =h jHj i =E2;0;0 1 2;1;0 2;1;0 1 2;0;0
= 3ea a0 l;m
0 10 1 0 1
0 E 0 0 a a0;0 0;0
B CB C B CE 0 0 0 a a1;0 1;0B CB C B C= E@ A@ A @ A0 0 0 0 a a1;1 1;1
0 0 0 0 a a1; 1 1; 1
2 2
+; ; 3; 4
E =E; E = 0 3;4
(0)
E2

1
p = ( ) 2;0;0 2;1;0
2

aec).v?l?menabinaisonCela(not?esdonne?e:t(1)1,Procjetantttrel'?quationresten(1)tssurnonleutilisanvpr?senceecteurues,4etLesutilisansa:vyecd?g?n?rescencete,ecteurson(obtien?tattcesdipec?lectrique.h?mascoqueecienlestssous-matrice:?pasdonnedealeurssonlestquatredonc)solutionsulsdudesyst?meetd'?quations?auxdoncvdealeursnivpropres?:alesLes?tatscorresp:nivcalcule)Onetule.soncalculs.onlin?airel'desquepairulslesnlanons'apmatricedensit?lesl'?lectron?tatsetvuneason?critinconnOndiagonaliser,.elasonlesdevtspropres?l?menpardeuxindicesque?tats.donc?tanresteimpair,endan:neeIllesul.tsnmatriceestdoncpropresendeun:Il?tatsaestlevdepartielletlaimpairs.(2L'?tateauxpairtnel'energil'atome.tct?l4.avcr??propresaondanimpairaux.eauxestpair?esoncen:deunvimpairatmatricendeL'?tattde?l?men2.l'L'espace4,cometestconEntienttsclesdeetquestionton,ercoit,lal'angleded?pde(2)dans3.?tatsIly?tatd?calunductredimensioneLe,hamptectriqueandonctunmomentyolaire.2LesE2
~ ~H(E) =H PE =H PE0 0 z
E + E
H(E + E) =H PE P E =H(E) P E0 z z z
h jH(E + E)j i =h jH(E)j ih jPj i E1 1 1 1 1 z 1
E (E)1
E (E + E) =E (E)h jPj i E ) h jPj i =1 1 1 z 1 1 z 1
E
Xh’ jPj’ in;l;m z 1;0;0
j i =j’ i +E j’ i1 1;0;0 n;l;m(0) (0)
E En1n;l;m
n=1
E
E (E)1h jPj i =1 z 1
E " #
P h’ jP j’ in;l;m z 1;0;0h jPj i =h’ jPj’ i +E h’ jPj’ i +1 z 1 1;0;o z 1;0;0 (0) (0) 1;0;0 z n;l;mn;l;m E E| {z } n1
n=1
=0
2P h’ jP j’ ij n;l;m z 1;0;0j
h jPj i = 2E1 z 1 (0) (0)n;l;m E En1
n=1
2X2 jh’ jPj’ ijn;l;m z 1;0;0
=
(0) (0)4"0 E Enn;l;m 1
n=1
(0) (0)
E E ’ 1R n 1
X2 2
= jh’ jPj’ ijn;l;m z 1;0;0
4"R0
n;l;m
n=1
h’ jPj’ i = 01;0;0 z 1;0;0
P
2 = h’ jPj’ ih’ jPj’ i1;0;0 z n;l;m n;l;m z 1;0;0n;l;m4"R0
2 2 = h’ jP j’ i1;0;0 1;0;0z4"R0
ahampd?duitC.Cd?duit?6ximationordrel'approd6s'ecpPlerturbationpdipAut,audpremieronmomenourv63fonctiondupfonction:Ende1.Ond?g?n?r?sdnivdeauxdCommeOnA?le3.?crit63::Enourlectrique?galne?gardand'ondetaqueerturbations,lesdestermesdduolarisabilit?premierlaordrel'expressionenenexpressionpremier,2.ondobtiend,c'est-?-direondpqueeutenl'incluredunolairedctrique,c:dans:las'?critsomme,etaural'hamiltonien,trouvde6:Pt:onordrede2 2 2 2 2~hP i =hP i =hP i ) hP i = 3hP ix y z z
’1;0;0
3 31 3 = 4a ’ 6 100
3 = 4:5a0
aisotroptale.milieumee,apprount:1989.tcalculobtienconduitont,l'expressionDans.m?rimen4.Unonsans.ximation[1]?Bransden?videmmenC.J.Utilisanhain.deotoquiR?f?rencesestB.H.asezandproJoaccIntrheductiondequantumlachanicsvLongman,aleur4exp

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