Contrôle Continu du avril durée heures Epreuve SANS document et SANS calculatrice Les téléphones portables doivent être éteints Les exercices sont indépendants Ils ne sont pas classés par ordre de difficulté Les vecteurs et matrices sont représentés en caractères gras I Nombres complexes et trigonométrie La formule d
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Contrôle Continu du avril durée heures Epreuve SANS document et SANS calculatrice Les téléphones portables doivent être éteints Les exercices sont indépendants Ils ne sont pas classés par ordre de difficulté Les vecteurs et matrices sont représentés en caractères gras I Nombres complexes et trigonométrie La formule d'Euler donne la relation entre l'exponentielle complexe et les fonctions sinus et cosinus sous la forme

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Description

Niveau: Secondaire, Collège, Troisième
Année 2008-2009 Contrôle Continu du 30 avril 2009 (durée 2 heures) Epreuve SANS document et SANS calculatrice Les téléphones portables doivent être éteints. Les exercices sont indépendants. Ils ne sont pas classés par ordre de difficulté. Les vecteurs et matrices sont représentés en caractères gras. I. Nombres complexes et trigonométrie La formule d'Euler donne la relation entre l'exponentielle complexe et les fonctions sinus et cosinus sous la forme : ? e i? = cos? + isin? . On en déduit aisément l'expression de son complexe conjugué ? e ? i? = cos? ? isin? . I.1 Exprimer les fonctions ? cos? et ? sin? sous forme d'exponentielle complexe (somme ou différence). ? cos? = ei? + e?i? 2 et ? sin ? = ei? ? e?i? 2 i I.2 Développer ? cos 3? sous forme d'exponentielles complexes. ? cos 3? = 1 8 (e i3? + e ?i3? + 3e i? + 3e ?i? ) I.3 En déduire alors l'expression ? cos3? en fonction de ? cos? et de ses puissances. On obtient ? cos 3? = 1 8 (2cos3? + 3x2cos?) Et donc ? cos 3 ? = 4 cos3 ? ? 3 cos? I.

  • repère cartésien

  • angle ? entre ab

  • position des points d'inflexion


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Année 2008-2009
Contrôle Continudu 30 avril 2009 (durée 2 heures) Epreuve SANS document et SANS calculatrice Les téléphones portables doivent être éteints. Les exercices sont indépendants. Ils ne sont pas classés par ordre de difficulté. Les vecteurs et matrices sont représentés en caractères gras. I.Nombres complexes et trigonométrie La formule d'Euler donne la relation entre l'exponentielle complexe et les i" fonctions sinus et cosinus sous la forme :e=cos"+isin". On en déduit aisément "i# lexpression de son complexe conjuguée=cos#"isin#. I.1 Exprimerles fonctionscos" etsin"forme dexponentielle complexe sous (somme ou différence). i"#i"i"#i" e+ee#e cos"=etsin"=22i 3  I.2Développercos"sous forme d'exponentielles complexes. 1 3i3"#i3"i"#i" cos"=(e+e+3e+3e)8 I.3En déduire alors lexpressioncos 3"en fonction decos"et de ses puissances. 31 On obtientcos"=(2 cos 3"+3x2 cos")8 3 Et donccos 3"=4 cos"#3cos"I.4Vérifier ces résultats en choisissant"=#/6. " "333 cos3=cos=0=4( )#3=06 22 2  II.VecteursOn considère le plan muni du repère cartésien (O,i,j) où O est le point dorigine. Soit les 53 points A(3,0), B(1, 1) et C(, ). 22  II.1Dessiner les vecteursABetACet en déduire leurs coordonnées cartésiennes.
5 1 -3= -1-3= -2 2 2 ABetAC3 3 1"0=1 "0= 2 2 II.2la définition générale du produit scalaire entre deux vecteurs Rappeler quelconquesuetv(O,, ainsi que son expression dans le repère cartésieni,j). cos(u, v)+u u.v=u v=uxvx yvy .  II.3Calculer alors le produit scalaireAB ACdans le repère cartésien (O,i,j). 3 5 AB.AC=AB AC+AB AC=1+ =y yx x 2 2 II.4En déduire, par le calcul, langleαentreABetAC. 5 105 AB.AC==AB ACcos(AB,AC)=5 cos(AB,AC)=cos(AB,AC)2 22 1# cos(AB,AC)="(AB,AC)=2 4  III.MatriceOn considère maintenant le système déquations linéaires suivant : #x+y+z=1 %$x"y+z=1%&x+y"z=1 III.1 Ecrirece système sous forme matricielle de la formeMX=B. Quelles sont les expressions deXetB? #11 1&#x&#1&%(%(%(1"1 1y=1%(%(%(1 1"1z1 $'$'$' III.2Le système est-il régulier, homogène ? Pourquoi ? 1 11 détM=1"1 1=41 1"1 détM"0#système régulierB"0#système non homogène III.3Existe-t-il une solution ? Si oui, est-elle unique ?
système régulier +homogène"solution existe et elle est unique III.4La matriceM est-elleSi elle existe, calculer la matriceinversible ? Pourquoi ? "1 inverseM. détM"0#Minversible#1 1&0 %(2 2 %("11 1 M=%"0(2 2 %(1 1 %0"($2 2'"1  III.5En utilisantM, calculer le vecteur solutionX. #1 1&0 %(2 2#1&#1&%("11 1%(%(MB=X=%"0(1=02 2 %(%(%(1 0 1 1$'$'%0"($2 2' IV.Système linéaire Soit un système déquations linéaires dépendant du paramètrek:#x"3z="3 %$2x+ky"z="2%&x+2y+kz=1 IV.1Déterminer les valeurs du paramètrekpour lesquelles le système ci-dessus a une solution unique. solution unique"régulier+non homogène"détM#01 0"3 2 2 détM=2k"1=k"10+3k#discriminant$=49(7 )1 2k détM"0#k"2 et k" $5Solution unique si et seulement sik"2 et k" #5 IV.2Dans le cas contraire, peut-on dire facilement si le système a une infinité ou pas de solution ?Attention, on NE demande PAS de calculer cette/ces solutions. Non car dans le cas dun système non homogène avecdétM=0les deux cas sont possibles et ne peuvent être séparés quen calculant explicitement ces solutions ce qui nest PAS demandé.
V. Etude de fonction et Développements limités On considère la fonction à une variable réelle suivante : 2"x f(x)=(x+2x+1)e V.1Etudier et tracer la fonctionf(x)(on calculera aussi ses points dinflexion) 1) Domaine de définition :x"]#$,+$[2) Etude de la parité : f(x) quelconque (pas pair, pas impair, pas périodique) 3) Etude des limites :limf(x)= +$et limf(x)=0x"#$x"+$ df2"xdf 4) Dérivé de la fonction :=1"x eet donc=0 pourx= ±1[ ] dxdx 2 d f 5) Existence et position des points dinflexion :point d inflexion"=02 dx 22 d f2"xd f =x"2x"1eet donc=0 pourx=1±2[ ]2 2 dxdx 6) Tableau des variations de f(x) :
7) Graphe de f(x) :
 V.2Rappeler le développement limité (DL) dune fonctionf(x) àlordren au voisinage dexo.(appelé aussi développement de Taylor def(x)) 2 2n n df(x"x)d f(x"x)d f n o o f(x)=f(x)+(x"x)+ +....+ +x#(x)o o 2n dx2!dx n!dx x=x ox=x x=x o o Il faut que les étudiants est au moins vu que ce développement nest pas exact »mais sarrête à lordre n. Il faut donc quils aient mis quelque chose (en fait plusieurs notations sont possibles) à la fin (où alors un signe ~ à la place du =)."x  V.3Calculer le DL à lordre 3 de la fonctiong(x)=eau voisinage de 0. 2 3 x x g(x) ~ 1"x+"2 6  V.4En déduirealors le DL de la fonctionf(x)aussi à lordre 3 au voisinage de 0. 3 7x 2 f(x) ~ 1+x+x"2 6 VI. Intégrales et primitivesOn se propose de retrouver la surface dun disque de rayon R. Pour cela on construit un cercle (voir figure ci-M dessus) se lequel on place un point M de coordonnées (x,y). On définit un élément de surfacedS=y(x)dxreprésentée par la zone hachurée et un angle" partantθde laxeOy. V.1Exprimerxetyen fonction de R et".O #x=Rsin"dx x $%y=Rcos" dx V.2.Déterminer lexpression de la dérivée d" dx =Rcos"d"  Endéduire que lon peut lécrire sous la forme dx=Rcos"d". V.2Exprimer alorsdSen fonction deR,θetdθ. 2 2 dS=ydx=(Rcos")(Rcos"d")=Rcos"d"V.3IntégrerdSdeθ= 0àθ=π/2. "/ 2 "/ 2"/ 2"2 2/ 2 %(2 221+cos2$Rsin2$ "R # ##'*dS=Rcos=R( )d$=$+ = 2 2&2)4 0 00 0 V.4En déduire la surface totale du cercle. "/ 2 2 # S=4dS="Rtotale 0