REGLES DE CALCUL EQUATIONS INEQUATIONS

REGLES DE CALCUL EQUATIONS INEQUATIONS

Documents
11 pages
Lire
Le téléchargement nécessite un accès à la bibliothèque YouScribe
Tout savoir sur nos offres

Description

Niveau: Secondaire, Lycée, Seconde
REGLES DE CALCUL - EQUATIONS - INEQUATIONS I) A PROPOS DES NOMBRES 1) Les différents ensembles de nombres • Les entiers naturels sont les nombres qui servent à compter. : 0 1 2 3 4 ... 1000 ... • Les entiers relatifs sont les entiers naturels et leurs opposés : ... ? 3 ? 2 ? 1 0 1 2 3 ... • Les décimaux sont les nombres qui n'ont pas une infinité de chiffres après la virgule : ?2,712 12 = 0,5 : c'est un décimal par contre 13 = 0,3333…. n'est pas un décimal • Les rationnels sont les nombres qui peuvent s'écrire sous forme de fraction (quotient de 2 entiers) : 57 ? 4 19 5 par contre 3 pi n'est pas un rationnel • Les réels englobent tous les nombres que nous connaissons en 2nde : –3 –2 –1 0 1 2 3 –1,6 1/3 3 Exercice : Classer les nombres suivants dans le bon ensemble : 5 9 0,003 0 ?593 ? 72 100 2 14 6 58,2 ?190,08 35 19 7 pi 18 2 3 3 1+ 52 9 11 ? pi 3 4 Remarques : • Tout élément de est aussi un élément de .

  • ?10 ?1

  • zéro ?

  • ?1 ?

  • ?9 ?

  • infinité de chiffres après la virgule

  • écriture fractionnaire

  • entier naturel


Sujets

Informations

Publié par
Nombre de lectures 110
Langue Français
Signaler un problème
REGLES DE CALCUL - EQUATIONS - INEQUATIONS I) A PROPOS DES NOMBRES 1) Les diffrents ensembles de nombresLes entiers naturelssont les nombres qui servent  compter. : 0 1 2 3 4 ... 1000 ... Les entiers relatifssont les entiers naturels et leurs opposs 1 0 1 2 3 ...2 − 3 − : ... − Les dcimauxsont les nombres qui nont pas une infinit de chiffres aprs la virgule 11: −2,712 = 0,5 : cest un dcimalpar contre = 0,3333…. nest pas un dcimal23Les rationnelssont les nombres qui peuvent scrire sous forme de fraction (quotient de 2 entiers)   5 4 3   : − 5 par contre nest pas un rationnel 7 19πnde Les relsenglobent tous les nombres que nous connaissons en 2  3 2 1 0 1 2 3 : 1,6 1/3 3 Exercice : Classer les nombres suivants dans le bon ensemble : 5 72 14  0,003 0 −593 − 2 9 100 6 3 19 18 58,2 −190,08π5 7 2 1+ 5 9π 3 3 − 4 2 11 3 Remarques : Tout lment deest aussi un lment de. On dit queest inclus danset on crit :De mme, on a :On note aussi : + est lensemble des rels positifs ou nuls * est lensemble des rationnels sauf zro − {5} est lensemble des entiers naturels sauf 5 p28 : 45, 46, 51, 53, 54, 55, 56, 57,58p34 : 159
2) Les diffrentes critures dun nombre Un nombre peut en gnral avoir plusieurs critures diffrentes : 1 −1  0,5 = = 510 2  criture dcimale criture fractionnaire notation scientifique p  (quotient dentiers) a10 avec 1a < 10 3) Calculatrices et valeurs exactes Avec la calculatrice : 1 = 1,00001 0,99999 d une cal pas capable dafficher la valeur exacte culatrice nests qu 1 dun rsultat, elle l’arrondit sans prvenir ! − 1,000010 ! 0,99999
p32 : 115, 116, 118, 119, 120 p36 :185
II) REGLES DE CALCUL 1) Avec la calculatrice : 1 0 = −1 = 0 = 0 Ainsi, dans un calcul avec des inconnues, il faut toujours vrifier que : les dnominateurs sont non nuls les radicandes sont positifs ou nuls 2) Quotients : CONDITIONS REGLE  −a a a = = bb b a c ad+bc + = b d bd a c ac  = b d bd a b a d =  c b c d 3) Racines : CONDITIONS REGLE 0 = 0 ab=abIl ny a pas de rgle aveca+ba a = b b 4) Puissances : (n* et m*) CONDITIONS REGLE 0 a= 1 1 n a=na m n m n m + n aa=aIl ny a pas de rgle aveca+am a m − n n=a a m n m  n (a) =a n n n (ab) =a b n n aa  =nb bp25 : 25, 28, 29, 31, 34 p29 : 73, 74, 76, 78, 79 p32 : 123, 125, 126, 128, 135, 138
III) LES NOMBRES PREMIERS 1) Dfinition Un nombre premier est un entier naturel que lon ne peut diviser que par lui-mme ou par 1. Remarque : 1 nest pas considr comme tant un nombre premier. Ex:2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19; 23; 29; 31; 37; 41; 43; 47; 53; 59; 61; 67; 71 ... Par contre, 12 = 34 donc 12 nest pas premier. 2) Dcomposition dun nombre en produit de nombres premiers. Tout entier naturel suprieur  un qui nest pas premier peut se dcomposer en un produit de nombres premiers. Cette dcomposition est unique. Ex:dcomposons 72 : Au brouillon : Sur la copie : 72 2 3 2 36 2 72 = 2  3 18 2 9 3 3 3 3) Cette dcomposition permet de simplifier certaines fractions ou racines. −4 72  10  3  36 Ex: Simplifions A =−9 2−60  10  25  5 3 2 −4 2 2  3  (2  5)  3  (2  3) A = −2 22 −9 2  3  5  (2  5)  5  5 3 2 −4 −4 2 2 2  3  2  5  3  2  3 A = −−9 2 22 −9 2  3  5  2  5  5  5 3−4+2−2+9 2+1+2−1 −4−1+9−2−2 A = − 2  3  5 8 4 A = − 2  3 Ex: Simplifions B = 72 3 2 B = 2  3 B = 6 2 p24 : 11, 13, 18 p29 : 59, 60, 67, 68, 69, 70, 71 p31 : 102, 106, 107, 108 p37 : 187, 189
IV) FACTORISER UNE EXPRESSION Factoriser une expression, c’est chercher  la transformer en un produit ou un quotient de facteurs si possible du er 1 degr. Pour cela, 3 possibilits  essayer dans l’ordre : 1) D’abord, chercher un facteur commun A = (4x –3)(x+ 2)– x(8x –6)4x+ 3 A = (4x –3)(x+ 2)2x(4x –3)(4x –3) A = (4x –3)[x+ 22x –1] A = (4x –3)(1– x) 2) Ensuite seulement, chercher une identit remarquable 2 B = 32x48x+ 18 2 B = 2 (16x –24x+ 9) 2 B = 2 (4x –3) 3) Puis, en dernier recours, chercher  faire apparatre une identit remarquable Dans une factorisation, il arrive que lon nait pas vu un facteur commun ou une identit remarquable. On finit souvent par se retrouver devant une expression du second degr que lon ne sait pas factoriser. Voici une petite ruse de calcul qui rend service : 2 C = 2x+x3 1 32 2 C = 2x+ x mettre sous la formex+bx+c2 22 2 1 1 3 b  C = 2x+ mettre sous la formex+416 2 22 1252 2 x+– Breconnatre A C = 24162 2 15   C = 2x+  4 4  1 5 1 5 C = 2x+ −x+ +4 4 4 4 3C = 2 (x− 1)x+2C = (x− 1) (2x+ 3)
p30 : 84, 87, 90, 93, 94, 95, 98, 99, 100, 101
V) EQUATIONS 2-cmp-implication-equivalence.doc 1) Equivalences Rsoudre une quation, cest trouver toutes les solutions et seulement les solutions de cette quation. Cest la raison pour laquelle nous procderons toujours par quivalences successives en nous appuyant sur les proprits suivantes : A, B, C tant des rels quelconques, on a : A = BA + C = B + C (1) A = B(2)A − C = B − C Si C0 alors: A = BAC = BC (3) A B Si C0 alors: A = B(4) = C C AB = 0A = 0 ou B = 0 (5) 2 Ex:Rsoudre dans, (E) : 3x= 9xEquivalence fausse : Mthode fausse : On a divis les 2 membres de (E)3xcf (4)= 9 (E) parxqui peut tre nul ! (E)x= 3 cf (4) S = {3} Mthode juste : 2 (E)3x− 9x= 0 cf (2) (E)3x(x− 3) = 0 (E)3xou= 0 xcf (5)− 3 = 0 (E)x= 0 oux= 3 cf (4) et (1) S = {0 ; 3} Faire les exercices suivants en crivant bien les quivalences et,  chaque fois que l’on utilise une des proprits ci-dessus, en prcisant laquelle. p33 : 139, 142, 146 p34 : 147, 150
2) Conditions surxAvant de transformer lquation pour la rsoudre, il faut commencer par liminer les valeurs dexqui sont "interdites" car : Elles annulent un dnominateur Elles rendent strictement ngatif un radicande. 3) Dans les exercices Exemple Mthode 2 2 3x6x− 4x Rsoudre dans=: (E) x+ 1 (3x− 2)(x+ 1) x+ 10 2 Conditions :x Avant toute chose, penser aux conditions −1 etx(3x− 2)(x+ 1)0 3 2 2 3x6x− 4x − = 0 x(3+ 1 x− 2)(x+ 1) (E)(2) cf 2 x−1 etx3 2 3x2x(3x− 2) − = 0 x(3+ 1 x− 2)(x+ 1) (E)2 x−1 etx3 2 3x2x − = 0 x+ 1x+ 1 Ensuite,  chaque tape, penser  l’quivalence (E)2 et rcrire les conditions x−1 etx3 2 3x− 2x = 0 x+ 1 (E)2 x−1 etx3 x(3x− 2) = 0 x+ 1 (E)2 x−1 etx3 x(3x− 2) = 0 2Factoriseren unproduitnul(E) cf (3) x−1 etx3 x= 0 ou 3x− 2 = 0 … pour utiliser la proprit : 2 (E) cf (5) Unproduitestnulssi l’un des facteurs est nul x−1 etx3 2 x= 0 oux= 3 (E)(1) et (4) cf 2 x−1 etx3 (E)x= 0 S = {0} Conclure par S = …
p33 : 143, 144 p34 : 154, 156, 157, 158, 165 p35 : 166, 169, 177, 180
VI) INEQUATIONS 1) Intervalles dea) Dfinition aetbsont deux rels tels quea<bLintervalle ferm [a;b] est lensemble des relsxtels queaxb [ ] abLintervalle ouvert ]a;b[ est lensemble des relsxtels quea<x<b ] [ abEx:x[1 ; 5[1x<5 b) intervalles illimits Considrons lensemble des relsxtels quex1 Cet ensemble est illimit " droite" On le note [1 ; +[ "plus linfini" c) Dans, il y a donc quivalence entre les notations suivantes : x[1 ; 5[x< 10 x]0 ; 1[+ xx0
p58 : 90 − 93 p60 : 139, 140, 142
2) Equivalences Pour tre certain de rsoudre les inquations par quivalences successives, nous nous appuierons sur les proprits suivantes : A, B, C tant des rels quelconques, on a : A > B(a)A + C > B + C A > B(b)A − C > B − C Si C > 0 alors: A > BAC > BC (c) Si C < 0 alors: A > BAC < BC A B Si C > 0 alors: A > B(d) > C C A B Si C < 0 alors: A > B < C C Il n’y a pas de proprit simple pour les inquations produit ! Ex : ABC0(A0 et B0 et C0) ou (A0 et B0 et C0) ou (A0 et B0 et C0) ou (A0 et B0 et C0) !!!! Il nous faudra donc trouver autre chose : les tableaux de signes… 4 Ex:Rsoudre dans, (I) :1 x Conditions :x0 Mthode fausse : Equivalence fausse : x 4 (I)a multipli les 2 membres de (I) par(d) On  cf xx0 qui peut tre soit positif, soit ngatif ! S = ]-; 0[]0 ; 4] Mthode juste : 4 − 10 x (I) cf (b) x0 4 −x 0 x (I)x0 (I)(4 −x0 etx> 0) ou (4 −x0 etx< 0) (I)(x4 etx> 0) ou (x4 etx< 0) (I)0 <x4 S = ]0 ; 4] p58 : 110, 111 p59 : 122
er 3) Signe d’une expression du 1 degr(ax+b aveca0)a) Exemple : signe de−2x+ 3 3 −2x+ 30 −2x−3x2 3 −2x+ 30 −2x−3x2 Rcapitulons ces rsultats dans un "tableau de signe" :
x −+ 3/2 −2x+ 0 −+ 3 b) PropritDans un tableau de signe : b "A droite" de − l’expressionax+best du signe dea. a b "A gauche" de − l’expression est du signe contraire. a c) Dmonstration b Soit (I) :x> − (a0) a 2 ax> −ba (I)a0 2 ax+ab> 0 (I)a0 a(ax+b) > 0 (I)a0 ax+b eta sont du mme signe (I)a0 b Bilan, poura0 on a :x> −ax+b est du signe deaa
p59 : 130, 137
4) Dans les exercices Exemple 4 (x+ 1) Rsoudre dans: (I)x+ 1 x+ 3 Conditions :x+ 30x−3 4 (x+ 1) − (x+ 1)(x+ 3) 0 x+ 3 (I)x−3 (x+ 1) (4 −x− 3) 0 x+ 3 (I)x−3 (x+ 1) (1 −x) 0 x+ 3 (I)x−3 x+–1 1  –3 x– –+ 1 0+ + 1 –x+ + + 0x+ 3 0+ + + + –0+0Quotient S = ]−; −3[[−1 ; 1]
Mthode
Dterminer les conditions
Factoriser en un produit ou un quotient suprieur ou infrieur  zro
Faire untableau de signe
Conclure par S = …
p59 : 114, 125, 116, 119, 120, 127 p58 : 112 p59 : 121, 128, 131 p60 : 146, 149