Introduction 1 / 353

Introduction 1 / 353

Documents
184 pages
Lire
Le téléchargement nécessite un accès à la bibliothèque YouScribe
Tout savoir sur nos offres

Description

  • cours - matière : histoire
  • cours - matière potentielle : plan
Introduction 1 / 353 Mathematiques : une definition ? Mathematiques←− µαθηµατικα ↓ ≃ apprendre Un outil pour : 1. exprimer avec coherence et precision une grande variete de notions complexes, 2. “legitimer les conquetes de notre intuitiona” - apprendre, comprendre et conclure correctement. 2 / 353 aJacques Hadamard Mathematiques : une definition ? Que sont les Mathematiques? Au moins deux approches possibles a la question : • Repondre en faisant des mathematiques →֒ e.
  • abstraction finale de la propriete commune
  • creation de la premiere regle
  • communes aux motifs partageant des caracteristiques geometriques similaires
  • cognition humaine
  • mathematiques →֒
  • premiere fois
  • geometrie
  • mathematiques

Sujets

Informations

Publié par
Nombre de visites sur la page 47
Langue Français
Signaler un problème

Introduction 1 / 353
Mathe´matiques : une de´finition ?
Mathematiques←−μαθηματικα

≃ apprendre
Un outil pour :
´ ´ ´ ´1. exprimer avec coherence et precision une grande variete de notions complexes,
a2. “le´gitimer les conqueˆtes de notre intuition ” - apprendre, comprendre et conclure correctement.
2 / 353
aJacques Hadamard
Mathe´matiques : une de´finition ?
Que sont les Mathe´matiques?
Au moins deux approches possibles a` la question :
• Re´pondre en faisant des mathe´matiques
֒→ e.g. Courant, Robbins & Stewart, “What is Mathematics ?”
• Re´pondre en philosophant sur les mathe´matiques
֒→ e.g. Hersh, “What is Mathematics, really ?”
Adoptons principalement la premie`re approche dans ce cours
(avec quelques excursions dans la seconde)
3 / 353
1Histoire des Mathe´matiques
L’histoire de cette matie`re est longue et complexe.
• Les mathe´matiques ont e´volue´ a` travers de nombreuses pe´riodes
֒→ parfois tre`s diffe´rentes de ce que l’on accepte aujourd’hui.
´• Evolution des concepts et formulation des ide´es de base sont essentiels
֒→ ce qui semble trivial aujourd’hui a mis tre`s longtemps a` muˆrir
• Nombre incalculable de “participants”, de nombreux protagonistes, et souvent connecte´ au
´ ´conditions sociale-economiques-geographiques.
Quel est le but de ce cours ?
´ ´ ´ ´• Pas tant de developper une exposition historique detaillee et erudite
mais
´ ´ ´• De presenter, dans un contexte historique, les tournants dans l’evolution des idees clefs des
mathe´matiques, ainsi que les mathe´maticiens qui en sont a` l’origine.
4 / 353
Mon (mes) objectif(s) pour ce cours
• Les maths paraissent souvent se`che et or-
donne´es dans les livres
• La cre´ation des maths est souvent dramatique
et chaotique
(pensez au films vs. les coulisses)
• Duel de Galois, suicide de Go¨del’s, excentri-
cite´s de Pythagore, de´clarations d’Hilbert. . .
´• Apprecier la saga des maths et partager l’exci-
tation
On suivra∼ Howard Eves, “Great Moments in Mathematics”, AMS.
5 / 353
20.1 Plan du cours
Plan (*approximatif*) des sujets
• De l’ordre a` partir du chaos.
֒→ Preuves de l’origine des activite´s mathe´matiques.
´֒→ L’he´ritage des Babyloniens et des Egyptiens.
• La naissance du concept de preuve.
֒→ Le The´ore`me de Pythagore, avant et apre`s Pythagore.
֒→ Le de´veloppement de la me´thode axiomatique.
֒→ Les e´le´ments d’Euclide et leur re´percussions.
֒→ La naissance de la the´orie des nombres. L’he´ritage des Grecs.
• La naissance de l’alge`bre.
֒→ Apparition des manipulations symboliques.
֒→ Approches ge´ome´triques des e´quations cubiques, et l’he´ritage des Arabes.
`• De la certitute a l’incertitude.
֒→ La naissance des probabilite´s mathe´matiques.
6 / 353
Plan (*approximatif*) des sujets
´ ´• L’inspiration de l’infinitesimal et la naissance du calcul infinitesimal.
֒→ Le The´ore`me fondamental du calcul infinite´simal.
´֒→ L’apparition de l’approximation par des series.
• La ge´ome´trie revisite´e : la libe´ration de la ge´ome´trie et la re´volution non-Euclidienne.
• L’alge`bre revisite´e : la libe´ration de l’alge`bre et la re´volution non-commutative.
֒→ La naissance de la the´orie des groupes.
• Le calcul infinite´simal revisite´ : la naissance de l’analyse.
֒→ Le roˆle fondamental du syste`me des nombres re´els.
֒→ L’e´mergence de la the´orie des ensembles et des espaces abstraits.
• La me´thode axiomatique revisite´e. The axiomatic method revisited.
֒→ Peut-on prouver ou re´futer tout ?
´ ` ´ ¨[Les Theoremes d’incompletude de Godel]
7 / 353
3Course Evaluation
C’est difficile d’e´valuer un cours d’histoire des maths !
[et je ne veux pas faire comme un cours d’histoire traditionnel]
L’e´valuation comportera donc deux parties :
• 50% de la note : projet en groupe (a` expliquer)
• 50% de la note : e´preuve e´crite, Mardi 8 Novembre (semaines 1-6).
8 / 353
Grognements, Doigts, Cailloux et Griffures
Origines des correspondances un-a`-un 9 / 353
Polyphemus Compte ses Moutons
Qu’est-ce qui peut eˆtre appele´ le premier grand moment des mathe´matiques?
Vraisemblablement, cela peut eˆtre trouve´ avant meˆme que les humains ont re´alise´ consciemment
qu’ils e´taient en train de faire des mathe´matiques.
Exemple : l’activite´ humaine basique de compter !
L’histoire de Polyphemus, les cyclopes dans
´l’Odyssee d’Homer
֒→ Une des premie`res traces e´crites de la notion
`de correspondance un-a-un comme base de
l’e´nume´ration.
10 / 353
4L’Algorithme de Polyphemus et les “Nombres”
L’algorithme de comptage de Polyphemus :
• Rassembler un grand tas de cailloux
• Pour chaque mouton qui sort de la cave, prendre un caillou
`• Pour chaque mouton retournant a la cave, lancer un caillou
• Si tous les cailloux ont e´te´ lance´s, tous les moutons sont de retour
´ ´ ´ ´ ´Si nous faisons une pause pour reflechir, Polyphemus a simplement generalise “compter sur ses
doigts”
´֒→ Presque tout le monde admettra avoir compte sur ses doigts !
Aussi simple que cela puisse paraˆıtre, ce n’est absolument pas trivial :
Cela postule que
le “nombre” d’e´le´ments
doit eˆtre compris
comme e´tablissant une correspondance un-a`-un
avec un autre ensemble avec le meˆme “nombre” d’e´le´ments !
[Semble cyclique ? Essayez de de´finir ce qu’est un nombre !]
11 / 353
Griffures et Grognements
La premie`re fois qu’une correspondance a e´te´ utilise´ pour compter e´tait probablement
´le premier grand moment des mathematiques
Quand est-ce que cela aurait-t-il pu arriver ? Nous pouvons seulement conjecturer.
` ´ ´ ´• Probablement and les premieres petites societes sont apparues, compter devint necessaire
• Une tribu ou une famille devaient se re´partir la nourriture, ou suivre l’e´volution de leur be´tail
´ ´ ´• Cela aurait pu se passer en grattant le sol ou en grognant de fac¸on repetee.
Quelle est la premie`re preuve de comptage par correspondance ?
12 / 353
5L’Os d’Ishango
Le plus ancien outil mathe´matique pre´serve´ aujourd’hui est l’Os d’Ishango
• Trouve´ en 1960 par le belge Jean de Heinzelin de Braucourt pen-
dant qu’il explorait la re´gion de peˆche d’Ishango, pre`s du Lac
´Edouard (sur la frontie`re entre l’Ouganda et la Re´p. De´m. du
Congo).
• Initialement date´ entre 9’000 av. J.-C. et 6’500 av. J.-C. Nouveaux
indices laissent penser qu’il serait date´ de plus de 20’000 ans !
• Muni d’une pie`ce de quartz au bout, probablement pour faire des
encoches.
• Les encoches sont grave´es dans des colonnes se´pare´es, s’e´talant
sur toute la longueur de l’outil
• Les hypothe`ses quand a` son utilisation varient : outil pour comp-
´ter ? Le fait que les encoches sont groupees (e.g. certains sont des
premiers entre 10 et 20) ont conduit certains experts a` conside´rer si
cela indiquait une compre´hension mathe´matique au-dela` du comp-
tage.
13 / 353
Abstraire la notion de “2”
´ ´ ˆAussi revolutionnaire que la methode des correspondance a pu etre
−→ elle a e´te´ effectue´e surtout inconsciemment
´ ´ ´ ˆ ´Par exemple, il n’etait pas clair qu’un seul ensemble de reference pouvait etre utilise !
• Par exemple, les premie`res tribus utilisaient diffe´rents cris pour diffe´rents types d’animaux
ˆ `֒→ Peut-etre que Polyphemus utilisait des noisettes pour compter les chevres, et des cailloux
pour les moutons ?
ˆ ´ ´• Meme aujourd’hui, nous avons differents mots pour decrire “2” : une paire de chaussure, un duo
(de chanteurs)
` `Nous pensons que c¸a a pris un long moment jusqu’a ce que nous arrivions a l’abstraction finale de
la proprie´te´ commune de “2”, de´crit par un unique son, symbole ou ensemble, commun a` tous.
14 / 353
6Pourquoi est-ce un Grand Moment ?
Avant, j’ai demande´ : essayez de penser ce qu’est un nombre.
´ ´ ´ ´Il se trouve que notre definition mathematique moderne n’est pas si eloignee de ce que cette vieille
me´thode de correspondance fait !
• Aujourd’hui la correspondance 1-a`-1 est la base pour compter les ensembles finis.
• En fait, c’est la base pour de´finir la notion meˆme de nombre !
´Dans une serie d’articles dans Mathematische Annalen
et Journal fu¨r Mathematik commenc¸ant en 1874, Georg
Cantor a utilise´ la meˆme notion de correspondance pour
de´finir la notion de cardinalite´ pour les ensembles infinis !
15 / 353
7Quel est le Volume d’une Pyramide ?
Les Origines de la Ge´ome´trie 16 / 353
Ge´ome´trie Subconsciente
´ ´ ˆLa geometrie est subconsciente dans la cognition humaine (et meme animale !).
֒→ La Nature est remplie d’images ge´ome´triques, qui sont concevable meˆme par l’esprit le moins
ˆ ˆcurieux, peut-etre meme par instinct.
• Meˆme les animaux semblent conside´rer naturellement le fait que se de´placer par ligne droite
minimise la distance entre deux points.
• Les objets ge´ome´triques simples, tels que les triangles et rectangles, construits avec les
segments droits, apparaissent naturellement dans la cognition humaine.
• Il semble instinctif que lorsque des bords doivent eˆtre de´finies, on choisis des points qui
seront ensuite relie´s par des segments de droites.
• Quand les humains commence`rent a` construire, les notions de lignes paralle`les, horizontales,
verticales et orthogonales ont du commence´ a` apparaˆıtre.
• De nombreux types de courbes spe´ciales ont suscite´ l’inte´reˆt humain depuis les temps
pre´historiques, en comparaison a d’autres motifs ale´atoires ge´ne´raux de la nature, avec aucune
structure simple apparente.
17 / 353
8Ge´ome´trie Subconsciente
• Les disques du soleil et de la lune
• Cercles concentriques forme´s lorsque l’on jette
un caillou dans le lac
• Troncs d’arbres cylindriques
• Courbes en spirale sur les surfaces des co-
quillages de mer
• Toiles d’araigne´es avec cellules ressemblant a`
des polygones canoniques
• Syme´tries re´flexives naturelles chez l’humain,
les animaux et les plantes.
18 / 353
La Deuxie`me Phase . . .
Les animaux peuvent concevoir la plupart de ces motifs
−→ Qu’est ce qui marque le de´but de la ge´ome´trie comme entreprise humaine
La naissance de la ge´ome´trie peut-eˆtre remonte´e a` la cre´ation de la premie`re re`gle ge´ome´trique.
• Lorsque la pense´e humaine a e´te´ capable d’abstraire ces motifs
• Abtraction : e.g., ne plus penser aux triangles individuellement, mais comme instances
` ´ ´ ` ´ ´particulieres d’une notion generale de triangle, a laquelle une notion geometrique commune
s’applique
´ ´ ´ ´• L’abstraction a permis d’extraire des relations geometriques generales qui sont communes aux
motifs partageant des caracte´ristiques ge´ome´triques similaires.
´ ` ´ ´ ´ `Par exemple, un eleve d’ecole primaire mesurant la circonference de differentes pieces en utilisant
un fil pourrait soudainement re´aliser qu’a` chaque fois, la circonfe´rence est le´ge`rement plus grande
`que trois fois le diametre.
19 / 353
9Ge´ome´trie Expe´rimentale/Empirique
La formulation de ces re`gles empiriques marquent la naissance de la ge´ome´trie.
Contrairement a` la ge´ome´trie formelle base´e sur les preuves, cette ge´ome´trie est appele´e
expe´rimentale ou empirique.
La ge´ome´trie expe´rimentale nait historiquement dans l’est.
` `eme eme´ ´ ´• Developpee entre le 5 et le 3 millenaire avant J.C.
• Connecte´e avec le de´veloppement de l’agriculture, la me´canique de base et les rituels religieux.
´´ ´• Un enorme volume de travail, un heritage des Babyloniens, Egyptiens, Indiens et Chinois.
• Beaucoup de re`gles e´taient correctes, et beaucoup d’autres approximativement correctes.
´ ´ ´ ´• Presque toute la geometrie avant 600 av. J.C. etait experimentale.
20 / 353
Exemples de Ge´ome´trie Expe´rimentale (Chine)
` ´ ´Une regle pour l’aire d’un morceaux de disque, coupe par un segment de longueur donnee.
[Arithmetic in Nine Chapters, 213 av. J.C., mais de´couvert bien avant]
`• Regle : aire du morceau≃ aire du triangle
• Applique´ a` l’aire d’un demi disque, cela donne l’approximationπ≈ 3.
21 / 353
10